Politécnico Grancolombiano - Facultad de Ingeniería, Diseño
e Innovación
Tercera lista de ejercicios de Análisis funcional - I/2021
Explique de manera clara y ordenada, justificando el razonamiento. Cuide la redacción y ortografía
Fecha límite de entrega: Jueves 20 de mayo.
EJERCICIOS
1. Recuerde que `2es el espacio normado de las sucesiones reales xnn≥1tales que
+∞
X
n=1
x2
n<∞, y donde la
norma en `2viene dada por
xnn≥1
:= +∞
X
n=1
x2
n!1/2
Considere una sucesión acotada de números reales λnn≥1. Sea T:`2−→ `2la aplicación definida,
para cada xnn≥1∈`2, por:
Txnn≥1:= λ1x1, λ2x2, λ3x3, λ4x4,......
i) Pruebe que Tx∈`2, para todo x=xnn≥1∈`2.
ii) Pruebe que Tes una aplicación lineal acotada.
iii) Demuestre que, si λn>0, para todo n≥1, entonces Tes inyectiva.
iv) Demuestre que, si ´ınf
n≥1|λn|>0, entonces Tes biyectiva y su inversa es continua.
2. Considere dos espacios normados VyW. Suponga que L:V −→ W es una aplicación lineal acotada.
i) Pruebe que, para todo A1, A2∈ CL(V), se cumple que LA1+A2=LA1+LA2
ii) Pruebe que, para todo A∈ CL(V)yα∈R, se cumple que LαA=α[LA]
iii) Pruebe que la función ΦL:CL(V)−→ CL(V,W)definida por ΦL(A) = LA, para cada A∈ CL(V),
es una aplicación lineal acotada y que kΦLk≤kLk
Análisis funcional Tercera lista de ejercicios 8 de mayo de 2021