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Cap´ıtulo 1
Conjuntos convexos
1.1. Conceptos b´asicos.
Dados x, y ∈ Rn, se define [x, y] = {λx + (1 − λ)y | 0 ≤ λ ≤ 1 } (segmento cerrado), (x, y) = {λx + (1 − λ)y | 0 < λ < 1 } (segmento abierto),
y an´alogamente definimos los segmentos semiabiertos [x, y), (x, y]. Un subconjunto A ⊂ Rn^ se dice convexo si ∀x, y ∈ A, [x, y] ⊂ A. Son ejemplos de conjuntos convexos:
Un subespacio af´ın de Rn.
Una bola abierta: B(x, r) = {y ∈ Rn^ | ‖x − y‖ < r}, centrada en x ∈ Rn^ y de radio r > 0 (por la desigualdad triangular).
Dado B ⊂ Sn−^1 (x, r) = ∂B(x, r), el conjunto B(x, r) ∪ B es convexo. En particular, B(x, r) = Sn−^1 (x, r) ∪ B(x, r) es convexo.
Una funci´on f : A → R definida en un convexo A ⊂ Rn^ se dice convexa (ver figura 1.1) si
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1].
f se dice c´oncava si −f es convexa, es decir, si la desigualdad anterior se da para la desigualdad contraria. Se define el epigrafo y el hipografo de f : A → R como
epi(f ) = {(x, y) ∈ A × R | y ≥ f (x)} ⊂ Rn+1. hipo(f ) = {(x, y) ∈ A × R | y ≤ f (x)} ⊂ Rn+1.
2 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS CONVEXOS
x y
f f (x)
f (y)
Figura 1.1: Gr´afica de una funci´on convexa.
Lema 1.1.1 Sea A ⊂ Rn^ convexo, y f : A → R una funci´on.
- Si f es convexa, entonces epi(f ) es un convexo de Rn+1.
- Si f es c´oncava, entonces hipo(f ) es un convexo de Rn+1.
Demostraci´on. 2 es consecuencia directa de 1. Veamos 1: Dados (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ epi(f ) y λ ∈ [0, 1],
f (λx 1 + (1 − λ)x 2 )
(A) ≤ λf (x 1 ) + (1 − λ)f (x 2 )
(B) ≤ λy 1 + (1 − λ)y 2 ,
donde en (A) hemos usado que f es convexa, y en (B) que (xi, yi) ∈ epi(f ) y λ ∈ [0, 1]. Por tanto, λ(x 1 , y 1 ) + (1 − λ)(x 2 , y 2 ) ∈ epi(f ). (^2)
Proposici´on 1.1.
(1) Si {Ai}i∈I es una familia arbitraria de conjuntos convexos de Rn, entonces ∩i∈I Ai es vac´ıo o convexo.
(2) Si f : Rn^ → Rm^ es una aplicaci´on af´ın y A ⊂ Rn, B ⊂ Rm^ son conjuntos convexos, entonces f (A) es convexo de Rm^ y f −^1 (B) es vac´ıo o convexo de Rn.
(3) Si A, B ⊂ Rn^ son convexos y λ ∈ R, entonces A + B, λA son convexos. Adem´as, si λ, μ ≥ 0 , enotonces (λ + μ)A = λA + μA.
Demostraci´on. 1 es por comprobaci´on directa de la definici´on de convexo. Veamos 2: Como f es af´ın, f (x) = Ax + b con A ∈ Mm×n(R) y b ∈ Rm. Dados x 1 , x 2 ∈ Rn^ y λ ∈ [0, 1],
λf (x 1 )+(1−λ)f (x 2 ) = λ(Ax 1 +b)+(1−λ)(Ax 2 +b) = A(λx 1 +(1−λ)x 2 )+b = f (λx 1 +(1−λ)x 2 ).
4 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS CONVEXOS
x 1
x 2
x 3
x 1
x 2
x 3
x 4
Figura 1.2: Combinaci´on lineal convexa de 3 y 4 puntos.
Corolario 1.1.1 Si A ⊂ Rn^ convexo, entonces A es convexo.
Demostraci´on. A = {x ∈ Rn^ | d(x, A) = 0} = ∩r> 0 {x ∈ Rn^ | d(x, A) < r} = ∩r> 0 U(A, r). Ahora s´olo hay que aplicar la convexidad de U(A, r) y el apartado (1) de la Proposi- ci´on 1.1.1. (^2)
Definici´on 1.1.2 Diremos que x ∈ Rn^ es combinaci´on lineal convexa de x 1 ,... , xk ∈ Rn si existen λ 1 ,... , λk ∈ R no negativos con
∑k i=1 λi^ = 1 y^ x^ =^
∑k i=1 λixi.
Algunos comentarios sencillos:
(k = 1): El conjunto de combinaciones lineales convexas de cualquier x ∈ Rn^ se reduce a {x}.
(k = 2): x ∈ Rn^ es combinaci´on lineal convexa de x 1 , x 2 ∈ Rn^ si y s´olo si x ∈ [x 1 , x 2 ].
(k = 3): Si x 1 , x 2 , x 3 ∈ Rn^ son af´ınmente independientes, entonces x ∈ Rn^ es combi- naci´on lineal convexa de x 1 , x 2 , x 3 si y s´olo si x est´a en el tri´angulo cerrado de Rn con v´ertices x 1 , x 2 , x 3.
(k = 4): Si x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ Rn^ son af´ınmente independientes, entonces x ∈ Rn^ es combinaci´on lineal convexa de x 1 , x 2 , x 3 , x 4 si y s´olo si x est´a en el tetraedro s´olido cerrado de Rn^ con v´ertices x 1 , x 2 , x 3 , x 4.
Definici´on 1.1.3 Sea A ⊂ Rn^ no vac´ıo. La envolvente convexa de A, conv(A), es el conjunto de puntos de Rn^ que pueden escribirse como combinaci´on lineal convexa de una cantidad finita de puntos de A.
1.1. CONCEPTOS B ASICOS.´ 5
Una forma intuitiva de ver la envolvente convexa de un conjunto finito A de puntos en el plano, es imaginar una banda el´astica estirada que los encierra a todos. La elasticidad de la banda har´a que ´esta tome el´astica de la envolvente convexa de los puntos de A. Dicho de forma algo m´as geom´etrica, en este caso y si no todos los puntos de A est´an alineados, entonces su envolvente convexa corresponde a un pol´ıgono convexo cuyos v´ertices son algunos de los puntos del conjunto inicial de puntos. Volviendo a la situaci´on general, de la definici´on se tienen:
A ⊂ conv(A).
Si A ⊂ B, entonces conv(A) ⊂ conv(B).
conv(A) es convexo: dados x, y ∈ conv(A) y λ ∈ [0, 1], existen x 1 ,... , xk, y 1 ,... , ym ∈ A, λ 1 ,... , λk, μ 1 ,... , μm ≥ 0 con
∑k i=1 λi^ =^
∑m i=1 μi^ = 1,^
∑k i=1 λixi^ =^ x,^
∑m i=1 μiyi^ = y. Por tanto,
λx + (1 − λ)y = λ
∑^ k
i=
λixi + (1 − λ)
∑^ m
i=
μiyi,
y basta ver que la combinaci´on lineal anterior de k + m sumandos es convexa, es decir, que sus coeficientes son no negativos y suman 1. Lo primero es evidente, y
λ
∑^ k
i=
λi + (1 − λ)
∑^ m
i=
μi = λ · 1 + (1 − λ) · 1 = 1.
Proposici´on 1.1.2 Sean A, B ⊂ Rn^ no vac´ıos.
(1) Si A es convexo, entonces A = conv(A).
(2) conv(A) es la intersecci´on de todos los conjuntos convexos^1 de Rn^ que contienen a A.
(3) conv(A) + conv(B) = conv(A + B).
Demostraci´on. Para (1), ya sab´ıamos que A ⊂ conv(A). Rec´ıprocamente, supongamos que A es convexo y veamos que conv(A) ⊂ A. Si x ∈ conv(A) entonces existen x 1 ,... , xk ∈ A, λ 1 ,... , λk ≥ 0 con
∑k i=1 λi^ = 1 y^
∑k i=1 λixi^ =^ x. Razonamos por inducci´on sobre^ k: Si k = 1, es evidente que x ∈ A.
Si k = 2, entonces x ∈ [x 1 , x 2 ] ⊂ A (por ser A convexo). (^1) Mejoraremos este resultado bajo la hip´otesis de compacidad para A, probando que en este caso conv(A) es la intersecci´on de todos los semiespacios cerrados de Rn^ que contienen a A. Esto ser´a consecuencia del Teorema 1.6.1.
1.1. CONCEPTOS B ASICOS.´ 7
Lema 1.1.2 x 1 ,... , xk ∈ Rn^ son af´ınmente dependientes si y s´olo si existen α 1 ,... , αk ∈ R no todos nulos tales que
∑k i=1 αi^ = 0^ y^
∑k i=1 αixi^ =^ ~^0.
Demostraci´on. Si los puntos x 1 ,... , xk ∈ Rn^ son af´ınmente dependientes, entonces los vectores x 2 −x 1 ,... , xk −x 1 son linealmente dependientes. Por tanto, existen λ 2 ,... , λk ∈ R no todos nulos tales que
∑^ k
i=
λi(xi − x 1 ) =
∑^ k
i=
λixi + α 1 x 1 ,
donde α 1 = −
∑k i=2 λi. Llamamos^ αi^ =^ λi^ ∀i^ = 2,... , k, que cumplen las condiciones deseadas.
∑Rec´ıprocamente, supongamos que existen^ α^1 ,... , αk^ ∈^ R^ no todos nulos tales que k i=1 αi^ = 0 y^
∑k i=1 αixi^ =^ ~0. Entonces, ∑^ k
i=
αi(xi − x 1 ) =
∑^ k
i=
αixi −
( (^) k ∑
i=
αi
x 1 =
∑^ k
i=
αixi + α 1 x 1 = ~ 0 ,
luego los vectores x 2 − x 1 ,... , xk − x 1 son linealmente dependientes. (^2)
Teorema 1.1.1 (Caratheodory) Si A ⊂ Rn^ y x ∈ conv(A), entonces x es combinaci´on lineal convexa de puntos de A af´ınmente independientes (en particular, no m´as de n + 1).
Demostraci´on. Sea x ∈ conv(A), que ser´a de la forma x =
∑k i=1 λixi^ para ciertos^ x^1 ,... , xk^ ∈ A, λ 1 ,... , λk ≥ 0 con
∑k i=1 λi^ = 1. Elegimos esta combinaci´on lineal lo m´as corta posible, en particular λi > 0 para todo i. Por reducci´on al absurdo, supongamos que x 1 ,... , xk son af´ınmente dependientes. Por el Lema 1.1.2, existen α 1 ,... , αk ∈ R no todos nulos tales que
∑k i=1 αi^ = 0 y^
∑k i=1 αixi^ =^ ~0. Salvo reordenaci´on de los ´ındices, podemos suponer que λk αk
= m´ın{ λi αi
| αi > 0 }.
Si escribimos x como combinaci´on lineal convexa de x 1 ,... , xk− 1 tendremos una contra- dicci´on (se hab´ıa supuesto la combinaci´on original lo m´as corta posible).
(1.1) x =
∑^ k
i=
λixi =
k∑− 1
i=
λi − λk αk αi
xi +
k∑− 1
i=
λk αk αixi + λkxk.
Los dos ´ultimos t´erminos en el miembro de la derecha suman cero, ya que
∑^ k−^1
i=
λk αk
αixi + λkxk = λk αk
∑k−^1
i=
αixi + λk αk
αkxk = λk αk
∑k
i=
αixi = λk αk
8 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS CONVEXOS
Por tanto, s´olo nos queda ver que el primer t´ermino del miembro de la derecha de (1.1) es una combinaci´on lineal convexa. k∑− 1
i=
λi − λk αk
αi
(k− 1 ∑
i=
λi + λk
λk +
k∑− 1
i=
λk αk
αi
λk αk
∑k
i=
αi = 1 − λk αk
luego s´olo queda ver que cada coeficiente λi − λ αkk αi es no negativo:
Si αi > 0, entonces λ αkk ≤ λ αii luego λi − λ αkk αi ≥ 0.
Si αi = 0, entonces λi − λ αkk αi = λi ≥ 0.
Si αi < 0, entonces λ αkk ≥ 0 ≥ λ αii luego λ αkk αi ≤ λi. 2 Nuestro siguiente objetivo es comprender c´omo se comporta la envolvente convexa frente a propiedades topol´ogicas b´asicas como el interior, clausura, compacidad, etc. Ne- cesitamos dos lemas previos.
Lema 1.1.3 Sean A ⊂ Rn^ convexo, x ∈ int(A), y ∈ A. Entonces, [x, y) ⊂ int(A).
Demostraci´on. Discutiremos dos casos.
Caso I: y ∈ A. Sea z = λx + (1 − λ)y con λ ∈ (0, 1] cualquier punto de [x, y). Como x ∈ int(A), existe ρ > 0 tal que B(x, ρ) ⊂ A. Si vemos que B(z, λρ) ⊂ A habremos terminado este caso.
x
ρ
z (^) y
λρ
A
Dado w ∈ B(z, λρ) = z + λB(~ 0 , ρ), existe u ∈ B(~ 0 , ρ) tal que w = z + λu. As´ı, w = [λx + (1 − λ)y] + λu = λ(x + u) + (1 − λ)y. Como x + u ∈ B(x, ρ) ⊂ A, y ∈ A y A es convexo, conclu´ımos que w ∈ A.
10 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS CONVEXOS
∀i = 1,... , k. Si vemos que B(z, r) ⊂ A concluiremos que z interior a A y esto probar´a (2). Usando el Lema 1.1.4,
B(z, r) = B
( (^) k ∑
i=
λixi, r
∑^ k
i=
λiB (xi, r) ⊂ conv(A).
Para el apartado (3), si A es acotado existe r > 0 talque A ⊂ B(~ 0 , r) luego conv(A) ⊂ conv(B(~ 0 , r)) = B(0, r) luego conv(A) es acotado. Para el apartado (4), consideremos el s´ımplex est´andar en Rn+1:
∆n+1^ = {(λ 1 ,... , λn+1) ∈ Rn+1^ | λi ≥ 0 ∀i,
n∑+
i=
λi = 1}.
∆n+1^ es un compacto de Rn+1^ (es cerrado y acotado). Consideremos el producto cartesiano An+1^ = A× n.. .+1) ×A y la aplicaci´on
f : ∆n+1^ × An+1^ → Rn, f (λ 1 ,... , λn+1, x 1 ,... , xn+1) =
n∑+
i=
λixi.
As´ı, conv(A) es la imagen de f por el Teorema de Caratheodory. Como A es compacto, ∆n+1^ ×An+1^ tambi´en es compacto. Como f es continua, conclu´ımos que f (∆n+1^ ×An+1) = conv(A) tambi´en es compacto. Terminamos con el apartado (5). La inclusi´on int(A) ⊂ int(A) es trivial (y no necesita ninguna hip´otesis sobre A). Rec´ıprocamente, supongamos que A es convexo con interior no vac´ıo, sea z ∈ int(A) y veamos que z ∈ int(A). Tomemos x 0 ∈ int(A). Si z = x 0 no hay nada que probar. Supongamos entonces z 6 = x 0. Como z ∈ int(A), existe r > 0 tal que B(z, r) ⊂ A. Consideremos el punto
w = z + r 2
z − x 0 ‖z − x 0 ‖ ∈ B(z, r) ⊂ A.
Aplicando el Lema 1.1.3 conclu´ımos que [x 0 , w) ⊂ int(A) (aqu´ı estamos usando la convexi- dad de A). Por otro lado, despejando z de la definici´on de w obtenemos z = λx 0 + (1 − λ)w donde λ = (^) r+2‖zr−x 0 ‖ ∈ (0, 1), de donde z ∈ (x 0 , w) ⊂ [x 0 , w) ⊂ int(A). Esto prueba la
primera igualdad de (5). En cuanto a la segunda, que int(A) ⊂ A es evidente (y no usa ninguna propiedad de A). Rec´ıprocamente, supongamos que A es convexo con interior no vac´ıo y tomemos x 0 ∈ int(A) como antes. Dado z ∈ A, el Lema 1.1.3 y la convexidad de A implican que [x 0 , z) ⊂ int(A). Por tanto, z es l´ımite de puntos del interior de A, luego z ∈ int(A). (^2)
1.2. PROYECCI ON SOBRE UN CONJUNTO CONVEXO´ 11
Nota 1.1.1 No es cierto que si A ⊂ Rn^ es cerrado entonces conv(A) sea necesariamente cerrada. Como contraejemplo podemos considerar A como la uni´on de una recta r en R^2 con un punto x 0 exterior a r; en este caso, conv(A) es la banda semiabierta bordeada por r y la recta paralela r′^ a r que pasa por x 0 , uni´on con {x 0 } (Figura 1.3 izquierda).
r
x 0
Figura 1.3: Aunque A ⊂ R^2 sea cerrado, conv(A) no tiene porqu´e serlo.
Otro contraejemplo es el conjunto A = {(±n, (^1) n ) | n ∈ N}, cerrado de R^2. Sin embargo, conv(A) no es cerrado ya que el eje de abscisas est´a en conv(A) − conv(A) (Figura 1. derecha).
1.2. Proyecci´on sobre un conjunto convexo
Proposici´on 1.2.1 Sea A ⊂ Rn^ un conjunto no vac´ıo, cerrado y convexo. Dado x ∈ Rn, existe un ´unico pA(x) ∈ A que minimiza la distancia a x, i.e., tal que d(x, pA(x)) = d(x, A).
Demostraci´on. Veamos la existencia. Empezamos eligiendo r > 0 tal que A ∩ B(x, r) es un compacto no vac´ıo. Consideramos la funci´on distancia dx : A ∩ B(x, r) → [0, ∞), dx(z) = d(x, z). Como dx es continua sobre el compacto A ∩ B(x, r), admitir´a un m´ınimo z ∈ A ∩ B(x, r). Este z es el punto pA(x) buscado: si y ∈ A ∩ B(x, r) entonces d(x, y) = dx(y) ≥ dx(z) = d(x, z). Y si y ∈ A − B(x, r), entonces d(x, y) > r ≥ d(x, z). Por tanto, ´ınfy∈A d(x, y) ≥ d(x, z), es decir, z minimiza la distancia de x a A. Notemos que no hemos usado que A es convexo. Para la unicidad, supongamos que z 1 , z 2 ∈ A minimizan d(x, A). Consideremos el punto medio z de [z 1 , z 2 ], que est´a en A por ser A convexo. Veamos que z tambi´en minimiza d(x, A):
〈z 1 − z 2 , x − z〉 = 〈z 1 − z 2 , x −
(z 1 + z 2 )〉 =
〈z 1 − z 2 , 2 x − z 1 − z 2 )〉
1.2. PROYECCI ON SOBRE UN CONJUNTO CONVEXO´ 13
(3) pA es una aplicaci´on contractiva, i.e. d (pA(x), pA(y)) ≤ d(x, y) ∀x, y ∈ Rn^ (en parti- cular, pA es Lipschitziana).
Demostraci´on. Para el apartado (1), tomemos x ∈ Rn^ − A. Si fuera pA(x) ∈ int(A), es claro que podr´ıamos decrecer la distancia a x dentro de A (consideremos puntos dentro de una bola centrada en x contenida en A). En cuanto al apartado (2), pA(x) = x ⇐⇒ d(x, A) = d(x, x) = 0 ⇐⇒ x ∈ A = A. Veamos (3): tomemos x, y ∈ Rn. Si pA(x) = pA(y), no hay nada que probar. As´ı que supongamos que pA(x) 6 = pA(y). Sea u = pA(x) − pA(y) ∈ Rn^ − {~ 0 }. Sean Hx, Hy los hiperplanos afines de Rn^ ortogonales a u que pasan por pA(x), pA(y) respectivamente.
pA(x) pA(y)
Hx Hy
A
u
Sea B la banda abierta bordeada por Hx ∪ Hy. Veamos que x ∈/ B: Si x ∈ B,
consideremos el tri´angulo
4 pA(x)xpA(y), que tiene ´angulos agudos en pA(x) y en pA(y), luego x est´a a menor distancia a cierto punto del segmento (pA(x), pA(y)) que de sus extremos. Pero (pA(x), pA(y)) ⊂ A por ser A convexo, lo que contradice la definici´on de pA(x). Esto nos dice que x ∈/ B, y razonando an´alogamente, y ∈/ B. Por tanto, d(x, y) ≥ d(Hx, Hy) = ‖u‖ = d(pA(x), pA(y)). (^2)
Nuestro pr´oximo objetivo es probar que la frontera de un compacto convexo con interior no vac´ıo es homeomorfa a la esfera (n − 1)-dimensional. Necesitaremos algo de notaci´on y tres lemas previos. Sea A ⊂ Rn^ un cerrado convexo no vac´ıo. Definimos
(1.2) uA : Rn^ − A → Sn−^1 (1), uA(x) = x − pA(x) ‖x − pA(x)‖
14 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS CONVEXOS
A p
A(x)
x
uA(x)
As´ı, uA(x) es una ’especie’ de normal unitario asociado a x en el punto pA(x) ∈ ∂A: Tambi´en definimos la semirrecta ’normal’ a ∂A en pA(x) exterior a A:
RA(x) = {pA(x) + λuA(x) | λ ≥ 0 }
Lema 1.2.1 Sea A ⊂ Rn^ un cerrado convexo no vac´ıo y x ∈ Rn^ − A. Entonces, pA(y) = pA(x) para todo y ∈ RA(x).
Demostraci´on. Tomemos y ∈ RA(x).
Caso I: y ∈ [pA(x), x].
d(x, pA(y)) ≤ d(x, y) + d(y, pA(y)) ≤ d(x, y) + d(y, pA(x)) (porque pA(x) ∈ A y por def. de pA(y)) = d(x, pA(x)) (porque y ∈ [pA(x), x]).
Aplicando la definici´on de pA(x), conclu´ımos que pA(y) = pA(x).
Caso II: y /∈ [pA(x), x] (luego x ∈ [pA(x), y]).
Consideremos el segmento [pA(x), pA(y)] (queremos ver que se reduce a un punto), que est´a contenido en A por ser A convexo. Tomemos el punto q ∈ [pA(x), pA(y)] tal que la recta qx es paralela a la recta pA(y)y:
Por proporcionalidad,
d(y, pA(x)) d(x, pA(x))
d(y, pA(y)) d(x, q) luego
d(x, q) = d(x, pA(x)) d(y, pA(y)) d(y, pA(x)) ≤ d(x, pA(x)) (por def. de pA(y)).
16 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS CONVEXOS
Lema 1.2.3 Sea A ⊂ Rn^ un cerrado convexo y z ∈ int(A). Si R es una semirrecta que parte de z, entonces R no puede cortar a ∂A en m´as de un punto.
Demostraci´on. Supongamos que R corta a ∂A en dos puntos x, y distintos. Entonces, uno de estos dos puntos, digamos x, es interior al segmento [z, y]. Como z ∈ int(A), existe ρ > 0 tal que B(z, ρ) ⊂ A. Por convexidad de A, para todo w ∈ B(z, ρ) el segmento [w, y] est´a contenido en A. Pero ∪w∈B(z,ρ)[w, y] es un entorno de x, luego x admite un entorno contenido en A. Esto contradice que x ∈ ∂A. (^2)
Teorema 1.2.1 Sea A ⊂ Rn^ un compacto convexo con interior no vac´ıo. Entonces, ∂A es homeomorfa a Sn−^1.
Demostraci´on. Tomemos un punto x 0 ∈ int(A). As´ı, existe r > 0 tal que B(x 0 , r) ⊂ int(A). Sea B = B(x 0 , r) y S = ∂B. Como B es cerrado y convexo, tiene sentido la proyecci´on m´etrica pB : Rn^ → B. Por el apartado (1) de la Proposici´on 1.2.2, pB(x) ∈ S ∀x ∈ Rn^ − B. Como ∂A ⊂ Rn^ − B, tenemos pB(∂A) ⊂ S. Esto nos permite considerar la restricci´on
(1.3) F =
pB
|∂A : ∂A → S.
El teorema estar´a probado si vemos que la siguiente propiedad es cierta:
Afirmaci´on 1.2.1 F es un homeomorfismo.
Demostraci´on de la afirmaci´on. F es continua, por ser restricci´on de pB, que era Lispchit- ziana. F es cerrada, por ir de un compacto a un espacio Hausdorff. Por tanto, F ser´a un homeomorfismo si vemos que F es biyectiva.
F es sobreyectiva. Sea z ∈ S. Tomemos una sucesi´on {zi}i∈N ⊂ int(A) − B convergien- do a z y consideremos la semirrecta RB(zi), para cada i ∈ N. RB(zi) corta a ∂A en al menos un punto wi (porque la semirrecta RB(zi) empieza en zi ∈ int(A) y es no acotada, mientras que A s´ı es acotado). Por el Lema 1.2.3, RB(zi) ∩ ∂A se reduce al punto wi. Como {wi}i es una sucesi´on en el compacto ∂A, tras pasar a una parcial podemos suponer que {wi}i converge a un punto w ∈ ∂A. Por ´ultimo,
pB(w) = pB (l´ımi→∞ wi) = l´ımi→∞ pB(wi) = l´ımi→∞ pB (zi) (por el Lema 1.2.1) = pB (l´ımi→∞ zi) = pB(z) = z (porque z ∈ S = ∂B)
F es inyectiva. Supongamos que a, b ∈ ∂A cumplen pB(a) = pB(b). Esto nos dice que a, b est´an sobre la misma semirrecta RB(a) = RB(b). Esto contradice el Lema 1.2.3.
1.2. PROYECCI ON SOBRE UN CONJUNTO CONVEXO´ 17
Nota 1.2.2 En la Afirmaci´on 1.2.1 se ha visto que si A ⊂ Rn^ es un compacto convexo con interior no vac´ıo, y B = B(x 0 , r) es una bola cerrada contenida en int(A), entonces la aplicaci´on F =
pB
|∂A : ∂A → S = ∂B es un homeomorfismo. La inversa de F es la aplicaci´on que a cada z ∈ S le asocia el unico´ punto de ∂A obtenido al cortar la semirrecta {x 0 + λ(z − x 0 ) | λ ≥ 0 } con ∂A.
x 0
r
A
F −^1 (z)
z
Corolario 1.2.1 Si A ⊂ Rn^ es un compacto convexo con interior no vac´ıo, entonces A es homeomorfo a una bola cerrada n-dimensional.
Demostraci´on. Tomemos una bola cerrada B = B(x 0 , r) contenida en int(A). Sea φ = F −^1 : S = ∂B → ∂A la aplicaci´on inversa de F =
pB
|∂A. Constru´ımos ahora una aplica- ci´on Φ : B → A de manera que ∀z ∈ S, el segmento [x 0 , z] se transforme linealmente en el segmento [x 0 , φ(z)]. Esto significa que debe cumplirse que ∀x ∈ B − {x 0 },
(1.4)
‖x − x 0 ‖ r
‖Φ(x) − x 0 ‖ ‖φ(z) − x 0 ‖ , donde z = r
x − x 0 ‖x − x 0 ‖
Por tanto, debemos definir
Φ(x) = x 0 + ‖Φ(x) − x 0 ‖ (^) ‖zz−−xx^00 ‖ = x 0 + ‖φ(z) r− x^0 ‖‖x − x 0 ‖ (^) ‖zz−−xx^00 ‖ (por la ecuaci´on (1.4)) = x 0 + ‖φ(z) r− x^0 ‖(x − x 0 ) (el normalizado de z − x 0 coincide con el de x − x 0 ),
es decir, definimos
Φ(x) =
x 0 +
∥∥ ∥φ
( r (^) ‖xx−−xx^00 ‖
) −x 0
∥∥ ∥ r (x^ −^ x^0 )^ si^ x^ ∈^ B^ − {x^0 }, x 0 si x = x 0.
1.4. HIPERPLANOS SOPORTE 19
Proposici´on 1.3.1 Sea A ⊂ Rn^ un convexo no vac´ıo. Entonces, rel int(A) 6 = Ø.
Demostraci´on. Sea x 0 ,... , xk ∈ A puntos af´ınmente independientes que generan aff(A). As´ı, ∀x ∈ aff(A) existen ´unicos λ 0 ,... , λk ∈ R con
∑k i=0 λi^ = 1 y^ x^ =^
∑k i=0 λixi. Adem´as, λi = λi(x) es funci´on continua de x (se obtiene resolviendo un sistema de ecuaciones lineales). Consideremos el punto c = (^) k+1^1 (x 0 +... + xk) ∈ aff(A), obtenido tomando λ 0 =... = λk = (^) k+1^1. Salvo una transformaci´on af´ın de aff(A) ≡ Rk, podemos suponer que x 0 ,... , xk forman los v´ertices de un poliedro regular cuyo baricentro en c (es decir, los puntos xi equidistan entre ellos y est´an en una (k − 1)-esfera centrada en c). De aqu´ı es f´acil deducir que existe ρ > 0 tal que Bk(c, ρ) ⊂ conv({x 1 ,... , xk}). Deshaciendo la transformaci´on af´ın, concluimos que existe ρ 1 > 0 tal que Bk(c, ρ 1 ) ⊂ {
∑k i=0 μixi^ |^ μi^ ≥ 0 ,
∑k i=0 μi^ = 1}. Ahora consideramos la bola^ n-dimensional^ B n(c, ρ 1 ) en Rn, que cumple
Bn(c, ρ 1 ) ∩ aff(A) ⊂ A, luego c ∈ rel int(A). (^2)
La misma idea de la ´ultima demostraci´on prueba que
Proposici´on 1.3.2 Si x 0 ,... , xk ∈ Rn^ son puntos af´ınmente independientes, entonces
rel int [conv ({x 0 ,... , xk})] =
{ (^) k ∑
i=
λixi |
∑^ k
i=
λi = 1, λi > 0 ∀i
1.4. Hiperplanos soporte
Dado H ⊂ Rn^ un hiperplano, denotaremos por H+, H−^ a los dos semiespacios cerrados cuyo borde es H.
Definici´on 1.4.1 Dado A ⊂ Rn^ y x 0 ∈ A, un hiperplano H ⊂ Rn^ se dice hiperplano soporte de A en x 0 si cumple
(a) x 0 ∈ A ∩ H.
(b) A ⊂ H+^ ´o A ⊂ H−^ (si A ⊂ H+^ decimos que H+^ es un semiespacio soporte de A en x 0 ; an´alogamente si A ⊂ H−).
Notemos que si existe un hiperplano soporte H de A en x 0 ∈ A, entonces x 0 ∈/ int(A) (la condici´on (b) anterior es imposible si existe una bola centrada en x 0 contenida en A). Por tanto, x 0 ∈ A − int(A) ⊂ ∂A. Tampoco es posible esperar unicidad del hiperplano soporte: por ejemplo, si A es un tri´angulo en R^2 , el hiperplano soporte de S en cualquiera de sus vertices no es ´unico. ¿Bajo qu´e condiciones existe siempre un hiperplano soporte ∀x 0 ∈ ∂A?
20 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS CONVEXOS
A
H
H−
x 0
y 0
u
Figura 1.5: H es hiperplano soporte de A en los puntos x 0 , y 0. u es un vector normal exterior a A en ambos puntos.
Supongamos que H es un hiperplano soporte de A en x 0 ∈ ∂A, con A ⊂ H−. Siempre podremos escribir H, H−^ como
H = Hu,α = {x ∈ Rn^ | 〈x, u〉 = α}, H−^ = H u,α− = {x ∈ Rn^ | 〈x, u〉 ≤ α}
para ciertos u ∈ Rn^ − {~ 0 }, α ∈ R. Como A ⊂ H−, diremos que u es un vector normal exterior a A en x 0 (u no tiene porqu´e ser ´unico, como tampoco lo es el hiperplano soporte a A en x 0 caso de existir).
Lema 1.4.1 Sea A ⊂ Rn^ un cerrado convexo no vac´ıo. Consideremos la proyecci´on m´etri- ca pA : Rn^ → A y la aplicaci´on uA : Rn^ − A → Sn−^1 (1) definida en (1.2). Entonces, dado x ∈ Rn^ − A el hiperplano H = pA(x) + 〈uA(x)〉⊥^ es un hiperplano soporte de A en pA(x), y uA(x) es un vector normal exterior a A en pA(x).
Demostraci´on. S´olo queda comprobar que A ⊂ H−^ = {y ∈ Rn^ | 〈y − pA(x), uA(x)〉 ≤ 0 }. Por reducci´on al absurdo, supongamos que existe z ∈ A tal que 〈z − pA(x), uA(x)〉 > 0. Consideremos el punto zt = pA(x) + t(z − pA(x)) que est´a en A para cada t ∈ [0, 1] por convexidad de A, y la funci´on f : [0, 1] → R dada por
f (t) = ‖zt − x‖^2 = ‖pA(x) − x‖^2 + 2t〈pA(x) − x, z − pA(x)〉 + t^2 ‖z − pA(x)‖
(polin´omica de grado 2, luego de clase C∞). As´ı,
f ′(0) = 2〈pA(x) − x, z − pA(x)〉 = − 2 ‖x − pA(x)‖〈uA(x), z − pA(x)〉 < 0.
Por tanto, existe ε > 0 tal que f (t) < f (0) para cada t ∈ (0, ε). Esto es, d(zt, x) < d(pA(x), x) para cada t ∈ (0, ε), lo que contradice la definici´on de pA(x). (^2)
