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Prof. José de Hevia
Econometría II LADE/LADE-Derecho
Curso 2004/
Hoja de ejercicios 2
Soluciones sugeridas
PARTE A
Respuestas correctas en negrita, cursiva y con ←
A.1. Dado los dos siguientes procesos:
∇ y (^) (^1) t (^) = 0 5, +^ ε (^1) t
( 1 + 0 8, L ) ∇ 2 y 2 t = ε 2 t
Donde ε 1 t y ε 2 t son procesos ruido blanco independientes.
(a) Tanto y (^) 1 t como y (^) 2 t son estacionarios e invertibles. (b) Sólo y (^) 1 t es estacionario e invertible. (c) Sólo y (^) 2 t es estacionario e invertible. (d) Sólo y (^) 2 t es no estacionario. (e) y (^) 1 t tiene evolución tendencial con crecimiento sistemático. ← (f) Ninguna de las anteriores.
A.2. Las importaciones mensuales de un determinado país vienen dadas por el modelo:
( 1 − 0 4, L^12^ + 0 7, L^24^ )( 1 − L ) ( 1 − L^12^ ) log M (^) t = ( 1 −0 6, L^12 ) ε t
donde ε t es ruido blanco. En lo que sigue las tasas de variación se definen como las
correspondientes diferencias de los logaritmos.
(a) La tasa de variación anual de las importaciones es estacionaria. (b) La tasa de variación mensual de las importaciones es estacionaria. (c) La transformación estacionaria de las importaciones no presenta autocorrelación ni en el orden estacional ni en el regular. (d) La transformación estacionaria de las importaciones no presenta autocorrelación en el orden regular pero si en el estacional. ← (e) En la transformación estacionaria de las importaciones las autocorrelaciones parciales de orden superior a doce son cero. (f) Ninguna de las anteriores.
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A.3. Dado los dos siguientes procesos:
y 1 t = − 0 2, + ( 1 −0 4, L ) ε 1 t
( 1 + 0 4, L y ) 2 t = −0 2 , + ε 2 t
Donde ε 1 t y ε 2 t son procesos ruido blanco independientes.
(a) Tanto y (^) 1 t como y (^) 2 t son estacionarios pero no invertibles. (b) Los procesos tienen la misma media. (c) Los procesos tienen distinta media. ← (d) (^) Tanto y (^) (^1) t como y (^) (^2) t son estacionarios e invertibles. ← (e) Tanto la autocorrelación de orden uno de y (^) 2 t como la de y (^) 1 t es negativa. (f) y (^) 2 t tiene evolución tendencial con decrecimiento sistemático.
A.4. (^) Los ingresos trimestrales de una determinada empresa vienen dados por el modelo:
( 1 − (^) 0 4, L ) ( 1 − L ) ( 1 − L^4 ) (^) log I (^) t = ( 1 −0 8, L ) ε t
donde ε t es ruido blanco. En lo que sigue las tasas de variación se definen como las
correspondientes diferencias de los logaritmos.
(a) La tasa de variación trimestral de los ingresos presenta comportamiento estacional. ← (b) La tasa de variación trimestral de los ingresos no presenta comportamiento estacional (c) La tasa de variación anual de los ingresos es estacionaria. (d) La transformación estacionaria de los ingresos es ruido blanco. (e) La transformación estacionaria de los ingresos no presenta autocorrelación en el ámbito estacional. ← (f) Ninguna de las anteriores.
A.5. Considere que se dispone de una serie temporal del proceso estocástico x (^) t = δ + ϕ 1 x (^) t − 1 + ut. Suponga que se desea contrastar si ϕ 1 = 1.
(a) Esa hipótesis es incontrastable. (b) Esa hipótesis sólo se puede contrastar si ut es ruido blanco (c) Esa hipótesis es sólo contrastable si δ = 0. (d) Esa hipótesis se puede contrastar estimando por Mínimos Cuadrados Ordinarios el modelo, calculando el estadístico t habitual y empleando la distribución normal estándar. (e) Para contrastar la hipótesis habría que emplear contrastes específicos de presencia de raíces unitarias. ← (f) Ninguna de las anteriores.
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Invertibilidad
θ 1 < 1 → (^) 0 9, < 1
(b) y (^) t no es estacionario pero ∇ y (^) t será estacionario e invertible si se cumple:
Estacionariedad: ϕ 1 < 1
Invertibilidad: θ 1 < 1
(c) y (^) t es invertible por construcción y estacionario por cumplirse:
ϕ 2 < 1 → − 0 70, < 1 ϕ (^1) + ϕ 2 < 1 → 0 9, − 0 7, < 1 ϕ (^2) − ϕ 1 < 1 → − 0 7, − 0 9, < 1
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B.2. En el modelo trimestral:
(1) w t = 3 5, + ( 1 − α 1 L )( 1 −α 4 L^4 )ε t
donde ε t es un proceso ruido blanco.
Se pide:
(a) Obtenga una formulación aditiva de medias móviles e indique sus características. (b) Calcule la media y la varianza de wt. (c) Calcule las autocorrelaciones de orden 2 y 6. (d) Suponga que α 4 = 0 y denomine (2) al modelo obtenido. Obtenga el modelo (2) y compare su media y varianza con la del modelo (1). (e) Suponga ahora que en el contexto del apartado anterior w (^) t = x (^) t − xt − 1. Señale las características de x (^) t.
Solución:
Apartado a) wt es un proceso MA(1)x(1) 4 que en términos de la formulación aditiva podría
escribirse como:
w t = 3 5, + ( 1 − α 1 L − α 4 L^4 +α α 1 4 L^5 )ε t o
wt = 3 5, + ε^ t − α ε 1 t (^) − 1 − α ε 4 t (^) − 4 +α α ε 1 4 t − 5
Luego wt : 1º) Puede considerarse un MA(5) 2º) Es un MA(5) con restricciones de nulidad θ 2 = θ 3 = 0
3º) Existe además una restricción sobre θ 5 = − θ θ 1 4 = −α α 1 4
Apartado b)
E w ( (^) t ) = E ( ,3 5 + ε (^) t − α ε 1 t − 1 − α ε 4 t − 4 + α α ε 1 4 t − 5 ) =3 5,
γ 0 = V w ( t ) = σ ε^2 ( 1 + α 12 + α 42 +α α 12 42 )siendo V ( ε t )= σε^2
Apartado c)
La autocorrelación de orden 2 será r 2 2 0
γ γ
pues
γ 2 = C w w ( t t − 2 ) = E w w ( ~ ~ t^ t − 2 )= E [ ( ε t − α ε 1 t − 1 − α ε 4 t − 4 + α α ε 1 4 t − 5 )( ε t − 2 − α ε 1 t − 3 − α ε 4 t − 6 + α α ε 1 4 t − 7 )]= 0
siendo w ~^ (^) t = w (^) t − E w ( (^) t )
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B.3. En consonancia con el problema 2 de la Hoja 2 de Ejercicios resueltos, considere que con frecuencia las variables económicas son la suma de un dato original o real más un error de medida. Obtenga el modelo general que seguirá una variable económica xt suponiendo que el dato original es generado por un proceso ( yt ) que sigue un AR(1) estacionario y sin constante y el error de medida ( ut ) un proceso ruido blanco independiente del dato original.
Solución
Partimos de:
x (^) t = y (^) t + ut
con
y (^) t = ϕ 1 yt − 1 +ε t y ε t v ut procesos ruido blanco independiente
Luego dado que
y y y t t t t L = + ⇒ = t − − ϕ ε
ε (^1 11) ϕ 1
Obtenemos
( ) x y u x L
u
L u t t t t L
t t
t t = + ⇒ = −
ε ϕ
ε ϕ 1 ϕ
1
1 1
[ ]
Que en general es un ARMA(1,1). Efectivamente en [1] se aprecia que hay un componente AR (denominador de la expresión) y un componente MA (numerador de la expresión).
Componente AR:
( 1 − ϕ 1 L x ) (^) t ⇒ AR ( ) 1
Componente MA:
w (^) t = ε (^) t + ( 1 −ϕ 1 L u ) t
Veamos que presenta una estructura MA(1), para ello calculamos la función de
autocovarianzas teniendo en cuenta que E w ( (^) t )= 0 y que ut y ε t son procesos ruido
blanco que se distribuyen independientemente.
γ ε ϕ ε ϕ ϕ ϕ σ
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
2 1
2
= = + − + − = = − = −
− − − − − −
C w w E u u u u E u
t t t t t t t t t u
( ) ( )( ) ( )
γ 2 = C w w ( (^) t t − 2 ) = E^ ( ε (^) t + u^ t − ϕ 1 u^ t − 1 )(ε (^) t − 2 + u^ t − 2 − ϕ 1 ut − 3 )= 0
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γ k = C w w ( (^) t t (^) − k ) = E ( ε (^) t + ut − ϕ 1 u t (^) − 1 )(ε (^) t − k + ut (^) − k − ϕ 1 u t (^) − k − 1 )= 0 ∀ k > 1
Efectivamente presenta la estructura de autocorrelación de un MA(1). En definitiva hemos comprobado que x (^) t presenta una estructura ARMA(1,1)
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Residuos del modelo
DLOG(COCHES,1) Residuals
Acf y Pacf
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Solución
La serie original presenta una clara pauta estacional que no se modeliza, por ello, los residuos presentan también una clara pauta estacional. Es decir dentro de un mismo año los niveles oscilan sistemáticamente con menores valores en unos meses concretos y mayores en otros. Lo cual implica que existen medias diferentes dependiendo del mes en concreto del que se trate. Esta pauta se puede observar también con claridad en la función de autocorrelación de dichos residuos. Por lo tanto los residuos no serán estacionarios.
Habría que reformular el modelo en el sentido de modelizar la estacionalidad incluyendo, por ejemplo, una diferencia estacional. Posteriormente habría que analizar si existe algún tipo de correlación en el ámbito estacionario que modelizar ya sea regular o estacional.
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B.6. Considere el siguiente proceso estocástico x (^) t = δ + ϕ 1 x (^) t − 1 + ut con ut ruido blanco.
a) Genere en E-Views una serie temporal de tamaño muestral 100 del proceso x (^) t = 0 5, + x (^) t − 1 + ut con ut ruido blanco. Suponga que x 0 = 0 Describa sus características. b) Genere en E-Views una serie temporal de tamaño muestral 100 del proceso x (^) t = x (^) t − 1 + ut con ut ruido blanco. Suponga que x 0 = 0. Describa sus características.
Solución
El proceso x (^) t = δ + ϕ 1 x (^) t − 1 + ut con ut ruido blanco y ϕ 1 = 1 se denomina paseo
aleatorio. Este proceso es un proceso no estacionario y por tanto las series que genera presentaran pautas de no estacionariedad, en concreto:
- Si δ > 0 observaremos una serie con comportamiento tendencial creciente.
- Si δ < 0 observaremos una serie con comportamiento tendencial decreciente.
- Si δ = 0 observaremos una serie con diferentes medias locales pero sin crecimiento o decrecimiento sistemático.
Estas características se pueden apreciar claramente en las siguientes series generadas en E-views.
0
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x=0.5+x(-1)+u
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0
5
10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x=x(-1)+u
