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Hoja de Ejercicios 1
Inferencia Estad´ıstica: Estimaci´on
- (Examen septiembre 2013) Para una poblaci´on con media poblacional μ y con varianza poblacional σ^2 , se propone el siguiente estimador de μ basado en una muestra aleatoria simple de 4 observaciones obtenidas independientemente una de la otra:
μˆ =
y 1 +
y 2 +
y 3 + ay 4
a) ¿Qu´e valor debe tomar a para que ˆμ sea insesgado?
b) Obt´en la varianza de ˆμ.
- Considera el estimador ˆμ = 12 yi + 12 yj , donde yi e yj son dos observaciones muestrales seleccionadas aleatoriamente de una muestra aleatoria simple de n observaciones (n ≥ 2). Se sabe que E(ˆμ) = μ y que Var(ˆμ) = σ^2 /2.
a) ¿Es ˆμ un estimador insesgado? Justifica tu respuesta.
b) ¿Es ˆμ consistente? Justifica tu respuesta.
c) ¿Son consistentes todos los estimadores centrados (insesgados)?
- Sean y 1 e y 2 una muestra de dos observaciones aleatorias de una poblaci´on normal con par´ametros N (μ, σ^2 ). Considera los siguientes estimadores:
y¯ =
y 1 +
y 2
μ ˆ 1 =
y 1 +
y 2
μ ˆ 2 =
y 1 +
y 2.
a) Demuestra que los tres estimadores son insesgados.
b) ¿Cu´al es el m´as eficiente?
c) ¿Cu´al estimador elegir´ıas para estimar μ y por qu´e?
n = 10 n = 100 Nivel de Confianza Lim. Inf. Lim. Sup. Lim. Inf. Lim. Sup. 90% 7.41 12.59 9.26 10. 95% 6.80 13.20 9.11 10. 99% 5.40 14.60 8.83 11.
- La tabla arriba muestra una serie de intervalos de confianza para la media poblacional de una determinada variable. Estos intervalos de confianza han sido calculados empleando diversos niveles de confianza y para dos tama˜nos muestrales diferentes (10 y 100 observa- ciones). Comenta las diferencias observadas entre los intervalos con respecto al nivel de confianza, tama˜no muestral y amplitud del intervalo.
- Para una poblaci´on N (5, 1) se dispone de una muestra aleatoria simple de tama˜no n =
- Obt´en el valor de las siguientes probabilidades:
a) Pr(¯y > 5)
b) Pr(¯y < 4 .7)
c) Pr(4. 9 < y <¯ 5 .1)
- Con la informaci´on del ejercicio anterior, contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Qu´e valor deber´ıa tener μ para que Pr(¯y > 10) = 0.5?
b) ¿Cu´al ser´ıa el valor de Pr(¯y > 5 .1) si en lugar de tener una muestra de tama˜no n = 25 tuvi´eramos una de tama˜no n = 1000?
- (Examen febrero 2017) Para una poblaci´on y ∼ N (60, σ^2 = 20) se dispone de una mues- tra aleatoria simple de tama˜no n = 25, {y 1 , y 2 ,... , y 25 }. Contesta las siguientes preguntas:
a) Sea ¯y la media muestral de y, ¿cu´al es el valor de la probabilidad Pr (58 < ¯y < 61 .5)?
b) Sea μ la media poblacional de y, ¿qu´e valor deber´ıa tener μ para que Pr (¯y < 58) = 0.05?
- (Examen enero 2018) El director de una empresa cree que un 20% de los pedidos provienen de nuevos compradores. Para ver la proporci´on de nuevos compradores se usar´a una muestra aleatoria simple de 85 pedidos. Suponga que la proporci´on poblacional de pe- didos de nuevos compradores sea conocida e igual a p = 0.2. ¿Cu´al es la probabilidad de que la proporci´on muestral (¯p) de pedidos de nuevos compradores sea inferior a 0.15 en esta muestra?
- Se toma una muestra de 300 personas de la poblaci´on de personas que viven en pisos de alquiler en una determinada ciudad. Investigando el montante que pagan de alquiler, se encuentra que el alquiler medio es de 748ey que la desviaci´on t´ıpica de la muestra es de 100e. Tambi´en se ha investigado la situaci´on laboral de las personas de la muestra, encontrando que el 25% se encuentran en el paro. Para contestar las preguntas abajo, utiliza el nivel de confianza del 95%.
a) ¿Puede ser cierto que la media del alquiler para toda la poblaci´on sea de 680e?
b) ¿Es posible que la media del alquiler para toda la poblaci´on sea de 800eo m´as?
c) Del colectivo de personas que viven en pisos de alquiler en esta ciudad, ¿es posible que tengan un porcentaje de parados mayor que el porcentaje estatal de parados que es del 20%?
- (Examen septiembre 2014) Con el fin de estudiar el gasto en combustible por coche de los habitantes de una ciudad, se ha extra´ıdo una muestra aleatoria de 20 conductores a los que se ha pedido informaci´on sobre qu´e tipo de combustible utilizan y qu´e gasto semanal de combustible tienen, obteniendo la informaci´on que se muestra en la Figura 1. Los estad´ısticos descriptivos de la variable gasto en combustible calculados mediante el Excel se muestran en la Figura 2.
Sabiendo que el gasto semanal en combustible de los habitantes de la ciudad tiene una distribuci´on N (μ, 400), haz la estimaci´on puntual y la estimaci´on por intervalo del gasto semanal promedio en combustible (nivel de confianza del 95%).
- (Examen febrero 2015) A partir de una muestra aleatoria simple de tama˜no n = 10 obtenida a partir de una poblaci´on con todos sus elementos con valor esperado μ y varianza σ^2 , se definen los siguientes estimadores de μ:
μˆ 1 =
(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 10 )
μˆ 2 =
(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 10 )
μˆ 3 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 − x 6 − x 7 − x 8 − x 9.
a) Determina si los estimadores anteriores son insesgados.
b) ¿Cu´al es el estimador m´as eficiente?
c) Si n = 10, ¯x = 18, ˆs^2 = 9, obt´en la estimaci´on por intervalo de μ con un nivel de confianza del 95%.
- En una muestra aleatoria de 100 juguetes fabricados por una empresa se encuentra que 20% no cumplen la normativa de calidad. Construye un intervalo de confianza del 95% para la proporci´on poblacional de juguetes que no cumplen las normas de calidad.
- Una agencia de alquiler de coches quiere estimar la media de kil´ometros diarios que hacen sus coches, por lo que observa el recorrido de 71 de los sus coches obteniendo una media de 165 km/d´ıa y una desviaci´on est´andar de 45 km/d´ıa. Si el n´umero de km/d´ıa se distribuye normalmente, construye un intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza del 95%.
- (Examen febrero 2018) Consideremos un estimador θˆ 1 del par´ametro θ, que verifica E
θˆ 1
= 34 θ. Si para una muestra aleatoria se ha obtenido que θˆ 1 = 9000, obt´en, a partir de θˆ 1 , una estimaci´on de θ que sea insesgada. Justifica tu respuesta.
Soluciones
- a) 1/12; b) (42/144)σ^2.
- a) S´ı, pues E(ˆμ) = μ; b) No, pues limn→∞ ECM (ˆμ) = σ^2 / 2 6 = 0; c) No, pues hemos visto un ejemplo donde un estimador es insesgado pero inconsistente.
- b) ¯y; c) ¯y porque es el m´as eficiente.
- ⇑ (1 − α) ⇒⇓ Margen de error del IC, manteniendo n; ⇑ n ⇒⇓ Margen de error del IC, manteniendo el mismo (1 − α).
