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EJERCICIO 7.
1. Dada y=u
3
, donde u= 5 −x
2
, encuentre la dy/dx por la regla de la cadena.
dy
dx
dy
du
du
dx
=( 3 u¿¿ 2 + 2 )(− 2 x )=− 2 x ¿ ¿
dy
dx
dy
du
du
dx
=− 2 x ¿
2. Dada w=a y
2
y y=bx
2
+cx
obtenga dw/dx por la regla de la cadena.
dw
dx
dw
dy
dy
dx
= 2 ay ( 2 bx+ c)
dw
dx
dw
dy
dy
dx
= 2 ay ( 2 b
2
x
2
2
3. Use la regla de la cadena para hallar
dy
dx
para las siguientes funciones:
a) y=( 3 x
2
3
dy
dx
3 ( 3 x
2
2
( 6 x)
dy
dx
= 18 x ( 3 x
2
2
b) y=( 7 x
3
9
dy
dx
9 ( 7 x
3
8
( 21 x
2
dy
dx
189 x
2
( 7 x
3
8
c) y=(ax−b)
5
dy
dx
= 5 (ax +b)
4
(a)
dy
dx
= 5 (ax +b)
4
(a)
4. Dada y= ( 16 x + 3 )
− 2
, use la regla de la cadena ara hallar dy/dx .Después, exprese la
función como y= 1 /( 16 x + 3 )
2
y encuentre dy/dx por la regla del cociente. ¿Son idénticas
las respuestas?
Regla de la cadena:
Si tenemos un función diferenciable y=f(x) donde x es a su vez una función diferenciable
de otra variable u, por ejemplo x=g(u) , entonces la derivada de y respecto a y respecto a x
es igual a la derivada de y respecto a u por la derivada de u respecto a x.
dy
dx
dy
du
du
dx
=f ’ (x). g ’ (u)
dy
dx
dy
du
du
dx
y=( 16 x+ 3 )
− 2
, entonces:
u= 16 x+ 3 →
y=u
− 2
dy
dx
=− 2 u
− 3
dy
dx
=− 2 ( 16 ) u
− 3
dy
dx
=− 32 u
− 3
Respuesta:
dy
dx
=− 32 ( 16 x + 3 )
− 3
Regla del cociente:
y=
( 16 x + 3 )
2
f (x )
g (x)
d
dx
f ( x)
g (x)
f
'
x
g
x
−f (x) g ' (x)
g
2
( x )
dy
dx
'
( 16 x + 3 )
2
− 1 [( 16 x+ 3 )
2
] '
[( 16 x + 3 )
2
]
2
dy
dx
− 2 ( 16 x + 3 ) ( 16 )
( 16 x + 3 )
4
