ejercicios de fisca, Apuntes de Física

¡Descarga ejercicios de fisca y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!

VECTORES EN EL PLANO

Ejercicio # 1 Los vectores mostrados en la figura están inscritos en una circunferencia de radio R. La magnitud de la resultante de la suma de los cinco vectores es: a) R b) 2R c) 3R d) 4R e) 5R

Para encontrar la magnitud de la resultante de la suma entre dos o más vectores sólo basta con unir el punto inicial del primer vector con la saeta o punta de flecha del último vector ; de tal manera que:

Solución:

Al sumar los tres vectores de arriba tenemos un vector resultante cuya magnitud es 2R

dirigido hacia la derecha; de la misma manera, al sumar los dos vectores de abajo

tenemos un vector resultante cuya magnitud es 2R dirigido hacia la derecha; sumado ambos vectores tenemos el vector resultante de los cinco, el cual tendría una magnitud

de 4R.

Ejercicio # 2 Las casillas numeradas el 1 al 9 muestran respectivamente la suma de vectores (todos de igual magnitud) de la primera fila y la primera columna de la tabla. NO ES CORRECTO el vector indicado en la casilla número: a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 9

B = 2.5m a 60º al norte del este : El vector B tiene magnitud 2.5m y estando en el este nos dirigimos hacia el norte formando un ángulo de 60º; por lo que los 60º nacen del eje positivo de las x’s.

Dibujando los vectores y su resultante tendríamos que:

Usamos la ley del coseno para hallara la magnitud del vector resultante:

Observamos que el ángulo β que dirige al vector resultante nace del eje positivo de las y que interpretándolo en coordenadas geográficas el ánguloβ nace del norte hacia el este, podemos hallar dichoángulo a

través de la ley del seno:

Al escribir el ánguloβ en coordenadas geográfica tendríamos lo siguiente: 13.59º al este del norte

Ejercicio # Dados los vectores A y B en el plano mostrado en la figura, las componentes ortogonales de cada uno de ellos serán: OPCION A (^) X A (^) Y BX BY A 17.32u 10u -8.66u -5u B -17.32u -10u 8.66u 5u C 17.32u -10u -8.66u 5u D - 10u 17.32u 5u - 8.66u E 17.32u 10u 8.66u 5u

2 2 2 2 2 2

2 2

R =A +B -2ABcosθ

R =(3) +(2.5) -2(3)(2.5)cos150º

R = (3) +(2.5) -2(3)(2.5)cos150º

R = 5.31m

Solución:

sen sen150º

B R

sen sen150º

2.5m 5.31m

2.5m sen150º

sen =

5.31m

Para hallar las componentes ortogonales de un vector dado su módulo y la dirección respecto al eje de las x +^ procedemos con el siguiente criterio: Para la componente ortogonal en el eje x AX = Acosθ Para la componente ortogonal en el eje y A (^) y = Asenθ

Por lo que para el vector A tenemos: A (^) X = 20u (cos120º) = -10u AY = 20u (sen120º) = 17.32u

Para el vector B el ángulo que parte del eje de las x+^ sería el siguiente:

El ángulo a usarse en el caso del vector B según la metodología aplicada sería: θ=270º + 30º = 300º

De tal manera que sus componentes serían las siguientes: BX = 10u (cos300º) = 5u BY = 10u (sen300º) = -8.66u

Otra metodología a usarse para obtener los valores de las componentes es usando los

ángulos dentro de los cuadrantes respetando las siguientes reglas:

a) Con respecto al valor de la componente: Si el ángulo que direcciona el vector con el cuadrante nace del eje de las x; su relación con las componentes serán:

VX= Vcosθ ; VY= Vsenθ

Si el ángulo que direcciona el vector con el cuadrante nace del eje de las y; su relación con las componentes serán:

VX= Vsenθ ; VY= Vcosθ

Grafiquemos las componentes ortogonales de los vectores A y B en el plano cartesiano:

Para el vector A tenemos:

A (^) X = Acos20º = 6cos20º = 5.64u A (^) Y = Asen20º = 6sen20º = 2.05u

Para el vector B tenemos:

BX = Bcos150º = 12cos150º BX = -10.39u BY = Bsen150º = 12sen150º BY = 6u

El vector resultante tendrá las siguientes ortogonales: RX = A (^) X + BX = 5.64u – 10.39u RX = - 4.75u

RY = A (^) Y + BY = 2.05u + 6u RY = 8.05u

El módulo del vector resultante según sus componentes está definido de la siguiente manera:

Para encontrar el ángulo del vector resultante utilizamos la función trigonométrica

arctg de la siguiente manera:

Ahora construimos el triángulo según el signo de las componentes ubicando de forma correcta el valor de β:

Observamos en el gráfico que el ángulo de la resultante es:

θ = 180º - β = 180º - 59.46º

θ =120,54º

2 2 X Y 2 2

R = R R

R = ( 4.75) (8.05)

R = 9.35u

-1 Y X

R

= tan

R

= tan

2 2 2 2 2 2

2 cos

(20) (10) (15) 2(10)(15) cos

R A B AB θ

Ejercicio # La cuadrícula de la figura tiene divisiones de 1cm por lado. Para los vectores A y B indicados, evalúe la operación 2A - B.

a) 0 i + 5 j b) 8 i + 5 j c) -8 i + 5 j d) -8i + 11j e) -4 i + 11 j

Encontremos las componentes ortogonales de los vectores A y B según los cuadros que cada uno de los vectores abarca:

Solución:

A (^) X = -2cm BX = 4cm A (^) Y = 4cm BY =- 3cm

Un vector también se puede denotar a través de vectores unitarios; la componente en x se identifica con el vector unitario i y la componente en y se identifica con el vector unitario j, de tal manera que:

A = -2 i + 4 j cm y B = 4 i – 3 j cm

Si realizamos la operación 2A – B tendremos que:

2A – B = -4 i + 8 j – 4 i + 3 j = (-4 - 4) i + (8 + 3) j = -8 i + 11 j

Ejercicio # Dos vectores A y B tienen 10 y 15 unidades respectivamente, si la resultante de la suma de los vectores tiene 20 unidades, el ángulo entre los vectores es:

a) 75,5º b) 70º c) 65,5º d) 60º e) 55,5º

Solución: Teniendo la magnitud de dos vectores y el de su resultante, es sencillo encontrar el ángulo entre dichos vectores usando la LEY DEL COSENO :

Construimos el triángulo que contenga la suma de los vectores A y B cuya resultante se representa con el vector R.

Ejercicio # Para el conjunto de vectores mostrado en la figura, el vector D que equilibra (que al sumarse da una resultante nula) al conjunto de vectores es:

a) 2 i – 4 j b) 2 i + 4 j c) -2i + 4j d) -2 i – 4 j e) 2 i + 2 j

Ejercicio # Los vectores A, B y C se muestran en la figura, sus magnitudes son 10u, 15u y 20u, respectivamente. El vector A – B – C es: a) 15 unidades dirigido hacia la derecha b) 5 unidades dirigido hacia la derecha c) 5 unidades dirigido hacia la izquierda d) 25 unidades dirigido hacia la izquierda e) 40 unidades dirigido hacia la derecha

Solución: Realicemos la suma vectorial de cada elemento observando los resultados en sus componentes:

El vector que equilibra a la suma debe estar en dirección contraria a D , por lo tanto sus componentes deben tener signos contrarios

Solución: Tomemos como referencia positiva a los vectores cuya dirección es hacia la derecha y como referencia negativa a los vectores cuya dirección es hacia la izquierda; de tal manera que los vectores pueden ser representados como: A = -10u; B = 15u; C = - 20u Realizando la operación: A – B – C tendríamos: -10u – 15u – (-20u) = -25u + 20u = -5u

El vector resultante tendrá 5u y será dirigido hacia la izquierda

Ejercicio # Si la magnitud de la diferencia entre los vectores A y B es igual a la magnitud de la suma entre los vectores A y B. Se puede decir que los vectores A y B:

a) Son perpendiculares b) Son paralelos y apuntan en la misma dirección c) Son paralelos y apuntan en dirección contraria d) Forman entre ellos un ángulo de 45º e) Forman entre ellos un ángulo de 30º

Ejercicio # De acuerdo al gráfico mostrado, si A + B = 3 i, entonces el vector B es: a) 5 i – 4.6 j b) 8 i + 4.6 j c) 11i + 4.6j d) -11 i – 4.6 j e) 5 i – 3

Solución: Para que magnitud de la suma y la diferencia entre dos vectores sea la misma, es necesario que ambos vectores formen entre sí 90º, es decir SEAN PERPENDICULARES ENTRE SÍ

Solución: Encontremos primero las componentes ortogonales del vector B según los datos del gráfico:

Hallamos las componentes ortogonales del vector A por medio de las funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo:

y y x y

A A

tg30º= =

A 8

A =8tg30º=4.

La dirección del vector apunta hacia el tercer cuadrante, por tanto sus componentes son negativas según la convención tradicional, de tal

manera que: A= -8i - 4.61jˆ^ ˆ

Para obtener el vector B sencillamente realizamos una suma algebraica respetando las componentes ortogonales de cada vector:

x y

= -8i - 4.61jˆ^ ˆ

= B i + B jˆ^ ˆ

= 3i +ˆ^ 0jˆ

A

B

R

Observando que:

Bx = 11 y By =4.61 B= 11i + 4.61jˆ^ ˆ

TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE VECTORES EN EL PLANO

1. Clasificar cada uno de las siguientes afirmaciones como verdadero o falso - La magnitud de una cantidad vectorial es positiva - Si A y B son cantidades vectoriales paralelas, la suma de A + B es igual a A + B - El producto de una cantidad escalar por una cantidad vectorial es una cantidad vectorial - Existe la posibilidad que entre dos cantidades vectoriales su suma vectorial sea igual a la resta vectorial en magnitud. - La expresión = 6m es correcta 2. Dado los vectores A y B. En cuál de los siguientes casos el resultado de la suma entre estos dos vectores tiene el mayor valor.

a) En caso 1 b) En caso 2 c) En caso 3

3. Si la magnitud de la diferencia entre los vectores A y B es igual a la magnitud de la suma entre los vectores A y B. Se puede decir de los vectores A y B : a) Son perpendiculares b) Son paralelos y apuntan en la misma dirección c) Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias d) Forman entre ellos un ángulo de 45º e) Forman entre ellos un ángulo de 30º 4. Los vectores A, B y C tienen la misma magnitud. Dada la dirección de los vectores que se indican en la figura, ¿Cuál podría ser la dirección del vector A – 2B – C?

TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE VECTORES EN EL PLANO

5. Los vectores A y B de la figura tienen la misma magnitud. De estos vectores se puede afirmar:

• A + B = 0

(a) VERDADERO (b) FALSO

• A + B = 0 (a) VERDADERO (b) FALSO
• A – B = 0 (a) VERDADERO (b) FALSO 6. Sean los vectores en el plano A , B y C , entonces la operación (A●B)C es un escalar (a) VERDADERO (b) FALSO 7. Si A + B + C = 0, entonces la suma de dos de ellos es igual al tercero (a) VERDADERO (b) FALSO 8. Dados dos vectores A y B paralelos. Determine cuál de las siguientes afirmaciones es cierta: a) El módulo del vector A + B será igual al módulo del vector A – B b) La dirección del vector A + B será opuesta a la dirección del vector A – B c) El módulo del vector A + B puede ser igual a A + B d) La operación vectorial A●B representa el área de un cuadrado e) El ángulo entre los vectores A y B es de 0º 9. ¿Cuál es la relación correcta ente los vectores A, B y C ilustrados en el diagrama? a) A – B = - C b) A + B = - C c) A = B + C d) A – C = B

TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE VECTORES

4. Las componentes de los vectores D 1 y D 2 son respectivamente D (^) 1X = 4, D1y = 0, D2X = -1, D2Y = 5 ¿Qué vector D 3 debe ser sumado a D 1 para obtener D 2?

Respuesta: D 3 = -5i + 5j

5. Determine la magnitud y dirección del vector R donde R = A + B + C

Respuesta: R = 6.32u; 18.43º

6. Se tienen tres vectores A, B y C de magnitudes 10u, 15u y 20u respectivamente,

como se muestran en la figura. Encuentre el valor de la operación (A●C) + (B●C)

Respuesta: - 275.

Observamos en el gráfico que la hormiga parte del punto (0,0,3) cm y culmina su

trayectoria en el punto (5,4,0) cm. Aplicando la definición de desplazamiento tenemos:

(5-0)i + (4-0)j+(0-3)k cm

El vector desplazamiento será: 5i + 4j -3k cm

Ejercicio # 3 Un helicóptero parte y sube verticalmente 100 m. De aquí vuela horizontalmente hacia el este 200 m y finalmente vuela horizontalmente hacia el norte 200 m. El módulo del

desplazamiento del helicóptero es:

a) 100 m b) 200 m c) 300 m d) 400 m e) 500 m

Realicemos una gráfica en 3D con el fin de apreciar con más claridad el movimiento que realiza el helicóptero:

Solución:

El desplazamiento del Helicóptero será:

(200-0) i + (100-0) j +(200-0) k m

El módulo del desplazamiento del Helicóptero será:

Ejercicio # 4 Un corredor realiza una trayectoria semicircular de 5 m de radio en un tiempo de 10 s.

La rapidez media del corredor es:

a) 0,5 m/s b) 1 m/s c) 1.6 m/s d) 2 m/s e) 3.1 m/s

La distancia recorrida es la mitad de una circunferencia por lo que se recorre la mitad del perímetro de la misma.

Solución: Se define a la rapidez media (S) como la distancia recorrida del objeto en un tiempo determinado; ya que la distancia y el tiempo son cantidades escalares; la rapidez media por ser dependiente de estos dos factores también es una cantidad escalar:

S = 1.6 m/s

Ejercicio # 5 Una trapecista se suelta de la posición mostrada en la figura. Determine la amplitud de la velocidad media de la trapecista entre los puntos A y B sabiendo que el tiempo

empleado en regresar a su posición inicial

fue de 3 s.

a) 23.09 m/s b) 15.39 m/s c) 8.22 m/s d) 7.69 m/s e) 5.77 m/s

Una trapecista se suelta de la posición mostrada en la figura. Determine la amplitud de

Solución:

Encontremos el desplazamiento de la

trapecista desde el punto A hasta el punto B:

Podemos encontrar la magnitud del vector desplazamiento de A hasta B con el

triángulo rectángulo formado en la figura: