Ejercicios de Macro Avanzada, Ejercicios de Macroeconomía

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Ejercicios de MacroeconomÌa Avanzada

JosÈ L. Torres ChacÛn

Departamento de TeorÌa e Historia EconÛmica

Universidad de M·laga

Septiembre 2010

ii

• I Sistemas din·micos b·sicos
• 1 IntroducciÛn a la din·mica
• 2 Modelos din·micos b·sicos
• II IntroducciÛn al Equilibrio General
• 3 La elecciÛn intertemporal de los consumidores
• 4 Las empresas y la decisiÛn de inversiÛn
• 5 El gobierno y la polÌtica Öscal
• 6 El modelo simple de equilibrio general
• III Crecimiento EconÛmico
• 7 IntroducciÛn al crecimiento econÛmico
• Indice
• 8 El modelo de Ramsey
• 9 La tecnologÌa AK

2 Indice

4 Indice

de resoluciÛn. El objetivo de esta recopilaciÛn de ejercicios es permitir que los alumnos dispongan de una serie de ejercicios sobre el temario de la asignatura con sus respectivas soluciones. Se trata de un conjunto de propuestas de resoluciÛn como en todo manual de ejercicios resueltos. Esto signiÖca que la resoluciÛn de cada ejercicio no tiene porquÈ ser exactamente la propuesta, si bien los resultados tienen que ser los mismos. La propuesta de resoluciÛn es una guÌa para ser aplicada en la resoluciÛn de otros ejercicios similares. Aunque el presente texto tiene un enfoque fundamentalmente pr·ctico, tambiÈn resulta de gran utilidad a nivel teÛrico, por cuanto se analiza una gran variedad de problemas econÛmicos y permite observar cÛmo los desarrollos teÛricos realizados pueden ser aplicados para responder a un conjunto muy amplio de cuestiones.

M·laga, Septiembre de 2010 JosÈ L. Torres

Parte I

Sistemas din·micos

b·sicos

IntroducciÛn a la din·mica

Este tema tiene como objetivo b·sico la introducciÛn al alumno en una de las herramientas b·sicas que vamos a utilizar para el an·lisis econÛmico din·mico: los diagramas de fases. Los diagramas de fases constituyen una herramienta gr·Öca que se usa profusamente en el an·lisis macroeconÛmico din·mico y permite estudiar la din·mica temporal de las principales variables macroeconÛmicas, siendo una forma de presentar la soluciÛn de un modelo teÛrico asÌ como la din·mica de las diferentes variables ante una determinada perturbaciÛn. Tal y como hemos estudiado en el tema correspondiente, la forma b·sica que vamos a utilizar para describir la economÌa es un sistema de ecuaciones diferenciales, las cuales describen el comportamiento a lo largo del tiempo de las variables de interÈs en funciÛn de ellas mismas y de un conjunto de variables exÛgenas. Para ello los ejercicios propuestos consisten en la aplicaciÛn de diferentes conceptos, tales como el estado estacionario, la estabilidad del sistema y su representaciÛn gr·Öca, a un conjunto de sistemas de ecuaciones diferenciales que no tienen signiÖcado econÛmico. El objetivo que se persigue es simplemente familiarizarse con estos instrumentos y los conceptos asociados a los mismos, que posteriormente aplicaremos a modelos con contenido econÛmico.

8 1. IntroducciÛn a la din·mica

EJERCICIO 1.1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones din·micas:

x_ 1 ;t x _ 2 ;t

x 1 ;t x 2 ;t

^2

z 1 ;t z 2 ;t z 3 ;t

Calcule el valor de las variables en estado estacionario.

SOLUCI”N:

El sistema de ecuaciones diferenciales planteado tiene la siguiente forma matricial en tÈrminos generales:

 x_ 1 ;t x _ 2 ;t

= A

x 1 ;t x 2 ;t

+ B

z 1 ;t z 2 ;t z 3 ;t

donde A es la matriz de coeÖcientes asociados a las variables endÛgenas (x 1 ;t, x 2 ;t)

A=

y B es la matriz de coeÖcientes asociados a las variables exÛgenas (z 1 ;t, z 2 ;t, z 3 ;t),

B =

Para calcular el Estado Estacionario partimos de su deÖniciÛn. El Estado Estacionario se deÖne como aquella situaciÛn en la cual todas las variables del sistema son constantes, es decir:  x_ 1 ;t x _ 2 ;t

10 1. IntroducciÛn a la din·mica

EJERCICIO 1.2: Analice la estabilidad del siguiente sistema de ecuaciones din·micas:

 x_ 1 ;t x _ 2 ;t

x 1 ;t x 2 ;t

z 1 ;t z 2 ;t

SOLUCI”N:

Para realizar el an·lisis de estabilidad del sistema y conocer cÛmo van a ser las trayectorias de las variables en relaciÛn al Estado Estacionario, debemos de calcular las raÌces asociadas a la matriz de las variables endÛgenas. Para ello lo que tenemos que hacer es resolver una ecuaciÛn de segundo grado que la obtenemos de igualar a cero el determinante de la matriz de coeÖcientes asociados a las variables endÛgenas menos la matriz identidad. De este modo calcularÌamos:

Det

A

de la cual obtendrÌamos una ecuaciÛn de segundo grado del tipo:

^2 + b + c = 0 (1.14)

siendo sus raÌces:

b 

p b^2 4 c 2

El signo de las dos raÌces va a depender, por un lado del signo del coeÖciente inmediatamente anterior a la raÌz cuadrada (b) y, por otro lado, del signo que aparece dentro de la raÌz cuadrada. AsÌ, podemos comprobar que el primer tÈrmino dentro de la raÌz cuadrada simplemente es el coeÖciente anterior a dicha raÌz pero elevado al cuadrado (b^2 ). Por tanto, si el segundo tÈrmino de la raÌz cuadrada fuese cero (c = 0), entonces tendrÌamos que al resolver la raÌz cuadrada nos quedarÌa:

1. IntroducciÛn a la din·mica 11

b 

p b^2 2

b  b 2

por lo que nos quedarÌa que una de las raÌces serÌa segativa y la otra nula:  1 = b;  2 = 0: Por tanto, la clave est· en el signo que aparece en la raÌz cuadrada, que es el que nos va a decir si al resolver la raÌz cuadrada, el resultado es mayor o menor que el coeÖciente anterior a la misma. Obviamente, si el signo es positivo, el resultado de resolver la raÌz cuadrada es superior al coeÖciente anterior a la misma y lo contrarÌo sucederÌa su el signo dentro de la raÌz cuadrada fuese negativo. Con este sencillo truco ya podemos calcular el signo de las raÌces asociadas a la matriz A. En el problema propuesto tendrÌamos

Det

Calculando el determinante, agrupando tÈrminos e igualando a cero, llegamos a la siguiente ecuaciÛn de segundo grado:

^2 ( + ) + ( + ) = 0 (1.18)

cuyas raÌces van a ser las siguientes:

p ( + )^2 4( + ) 2

Resolviendo, obtenemos que las dos raÌces son positivas:

 1 > 0 ;  2 > 0 (1.20) Como podemos comprobar, al resolver la raÌz cuadrada, el resultado que nos queda es un valor m·s pequeÒo que el coeÖciente asociado a , dado que:

p ( + )^2 4( + ) < ( + ) (1.21)

Por otra parte, el primer tÈrmino de la expresiÛn (1.21), ( + ) es positivo. Por tanto tenemos que un valor positivo m·s algo m·s pequeÒo, resulta en un valor positivo. Un valor positivo menos algo m·s pequeÒo, resulta en un valor positivo. Por tanto, las dos raÌces son positivas.

1. IntroducciÛn a la din·mica 13

mismas, de las inÖnitas soluciones que tiene. En concreto vamos a representar dichas ecuaciones cuando su valor es cero, que es a lo que vamos a denominar una ecuaciÛn de equilibrio din·mico, ya que estamos representando la combinaciÛn de valores de las variables endÛgenas, dadas unas variables exÛgenas, tal que las variables endÛgenas no cambien, es decir, sean constantes en el tiempo. Como son ecuaciones lineales, para realizar su respresentaciÛn gr·Öca ˙nicamente tenemos que calcular su pendiente. Para calcular la pendiente de la ecuaciÛn diferencial de la primera variable endÛgena, bajo la restricciÛn de que la derivada con respecto al tiempo de esta variable es cero, partimos de la condiciÛn de equilibrio parcial para dicha variable:

x _ 1 ;t = x 1 ;t + x 2 ;t z 1 ;t + z 3 ;t = 0 (1.25)

esto es, igualamos a cero la primera ecuaciÛn diferencial del sistema. Para hacer la derivada ˙nicamente tenemos que despejar una variable endÛgena en tÈrminos de otra, tal que:

x 1 ;t = x 2 ;t z 1 ;t + z 3 ;t (1.26)

Dado que vamos a representar a la variable endÛgena 1 en el eje horizontal y a la varible endÛgena 2 en el eje vertical, para calcular la pendiente de la expresiÛn (1.26), tenemos que despejar x 2 ;t en funciÛn de x 1 ;t, de forma que:

x 2 ;t =

x 1 ;t +

z 1 ;t

z 3 ;t (1.27)

por lo que la pendiente de esta condiciÛn de equilibrio din·mica parcial simplemente serÌa el coeÖciente que multiplica a la variable x 1 ;t, y la expresamos de la siguiente forma:

dx 2 ;t dx 1 ;t

j (^) x_ 1 ;t=0=

esto es, la pendiente de esta condiciÛn de equilibrio din·mica es negativa, por lo que su representaciÛn gr·Öca es la que aparece en la Ögura 1.1.

14 1. IntroducciÛn a la din·mica

6

x 1 ;t

x 2 ;t

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ (^) x_ 1 ;t = 0

dx 2 ;t dx 1 ;t j^ x_^1 ;t=0=^

Figura 1.1: CondiciÛn de equilibrio din·mica parcial para la variable x 1 ;t

Esta representaciÛn gr·Öca nos indica la combinaciÛn de valores para las variables endÛgenas que tiene que existir en un momento dado del tiempo para que la variable endÛgena 1 permanezca constante, es decir, no cambie de valor. AsÌ, obtenemos que dicha relaciÛn es negativa. Es decir, si el valor de x 1 ;t es muy alto, para que dicho valor permanezca constante en el tiempo, entonces el valor de x 2 ;t tiene que ser muy bajo. A continuaciÛn, repetimos el mismo procedimiento para la segunda variable endÛgena. Igualando a cero la segunda ecuaciÛn diferencial del sistema:

x _ 2 ;t = x 1 ;t x 2 ;t + z 2 ;t + z 3 ;t = 0 (1.29) Despejando la segunda variable endÛgena en tÈrminos de la primera, obtenemos que:

x 2 ;t =  x 1 ;t +

z 2 ;t +

z 3 ;t = 0 (1.30)

Por tanto, la pendiente de la ecuaciÛn diferencial de la segunda variable endÛgena, bajo la restricciÛn de que la derivada con respecto al tiempo de esta variable es cero, serÌa la siguiente:

16 1. IntroducciÛn a la din·mica

horizontal. Una áechita hacia la derecha nos indicarÌa que la variable aumenta (su derivada respecto al tiempo serÌa positiva) mientras que una áechita hacia la izquierda nos indicarÌa que la variable disminuye (su derivada respecto al tiempo serÌa negativa). Para construir este diagrama de fases procedemos de siguiente modo. En primer lugar, Öjamos un punto de desequilibrio, por ejemplo a la derecha de la condiciÛn de equilibrio din·mica parcial. En todos estos puntos, o bien, la variable endÛgena 1 es muy elevada respecto al valor que tendrÌa que tener en equilibrio, o bien dado un valor de la variable endÛgena 1, el valor de la variable engÛnena 2 es muy elevado. Con esta informaciÛn nos vamos a nuestra ecuaciÛn diferencial, que sabemos es diferente de cero, dado que no estamos situados sobre ella:

x _ 1 ;t = x 1 ;t + x 2 ;t z 1 ;t + z 3 ;t 6 = 0 (1.32)

Ahora lo que tenemos que hacer es ver como serÌa el signo en funciÛn de los valores de las variables endÛgenas en desequilibrio y del signo de los coeÖcientes asociados a los mismos. Por ejemplo, en esta zona, la variable x 1 ;t serÌa muy elevada (dado un valor de x 2 ;t) y lleva asociado un signo positivo, por lo que dicha ecuaciÛn serÌa positiva, x_ 1 ;t > 0 , es decir, en esta zona x 1 ;t aumentarÌa en el tiempo. Por tanto, la áechita en esta zona la dibujamos hacia la derecha, indicando que en todas estas situaciones de desequilibrio la derivada de la variable endÛgena 1 respecto al tiempo es positiva, por lo que su valor aumentarÌa. El mismo an·lisis lo podrÌamos hacer usando la variable x 2 ;t dado un valor de x 1 ;t, y obtendrÌamos el mismo resultado. Si repetimos este mismo an·lisis en la zona de la izquierda, observamos que ahora la derivada serÌa negativa, por lo que la áechita irÌa hacia la izquierda. La Ögura 1.3 muestra como serÌa el diagrama de fases para la variable x 1 ;t. La lÌnea recta con pendiente negativa indica la combinaciÛn de valores de las variables endÛneas tal que la derivada de esta variable con respecto al tiempo es cero, es decir, su valor permanece constante en el tiempo. Fuera de esta lÌnea con pendiente negativa, la derivada es distinta de cero (o positiva o negativa). Como podemos comprobar, a la derecha de esta lÌnea, la derivada es positiva, lo que indicamos con una áecha hacia la derecha, mientras que a la izquierda su derivada es negativa, lo que viene indicado por una áecha hacia la izquierda.

1. IntroducciÛn a la din·mica 17

6

x 1 ;t

x 2 ;t

 -

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ (^) x_ 1 ;t = 0

dx 2 ;t dx 1 ;t j^ x_^1 ;t=0=^

Figura 1.3: Diagrama de fases de la variable x 1 ;t

El mismo procedimiento lo aplicarÌamos a la variable endÛgena 2. La representaciÛn gr·Öca del diagrama de fases correspondiente para esta variable aparece en la Ögura 1.4.

6

x 1 ;t

x 2 ;t

?

6

x_ 2 ;t = 0

dx 2 ;t dx 1 ;t j^ x_^1 ;t=0=^  >^0

Figura 1.4: Diagrama de fases de la variable x 2 ;t