UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER´
IA
Facultad de Ingenier´ıa Civil
Departamento Acad´emico de Ciencias B´asicas Ciclo 2021−1
EXAMEN FINAL DE MATEM´
ATICA III (CB-311-GHIJ)
Profesor(res) : TORRES MATOS, Miguel ; ASTETE CHUQUICHAICO, Rolando; NAVARRO FLORES, Cristina
D´ıa y Hora : 19 de julio 2021 - 16:05 - 17:45 +(15)
Indicaciones : Trabajar de forma ordenada, en el encabezado de cada hoja de soluci´on escribir sus ap ellidos y su
firma, En la esquina superior derecha de la primera hoja de respuestas colocar el fisco de su DNI,
(para tomar la foto, se recomienda enviar en formato pdf)
Problema 1 ( 5 puntos)
Dada la identidad (A×B)·(B×C)×(C×A)=(A·B×C)2
a) Emplee la notaci´on indicial para demostrar la identidad, partiendo de los t´erminos de
la parte izquierda de la identidad.
b) Sin emplear la notaci´on indicial demuestre la identidad, partiendo de los t´erminos de
la parte izquierda de la identidad
Problema 2 ( 5 puntos)
Una curva que pasa por el origen de coordenadas que tiene la car´ater´ıstica que: El ´area del
tri´angulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la ordenada del mismo
punto (segmento vertical) y el Eje OX es proporcional al ´area formada por la curva, el Eje
OX, la ordenada de ese punto y el punto de corte de la curva con el Eje X.
a) Determinar la ecuaci´on diferencial de la curva.
b) Determinar la ecuaci´on de la curva, si la constante de proporcionalidad k=1/2
Problema 3 ( 5 puntos)
Utilizando coordenadas rectangulares hallar la forma del espejo curvado tal que la luz de
una fuente situada en el origen se refleje en el espejo, como un haz de rayos paralelos al
eje X.
Problema 4 ( 5 puntos)
Resolver la ecuaci´on diferencial
a) dy −(x+ 1)ydx
x2+ 4y+ 2 =dx
b) Dada la ecuaci´on xdx +ydy +x(xdy −ydx) = 0
i) Demostrar que no es exacta.
ii) Determine un factor integrante de la forma ν(x, y) = φ(x∗2 + y2)) Determine
la soluci´on de la ecuaci´on diferencial
Problema 5 ( 5 puntos)
Determine la soluci´on general y la soluci´on singular si las tuviera de
x8dy
dx2
−3xdy
dx + 9y= 0
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