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Ejercicios de Matrices
- Efectúe los siguientes productos matriciales: a) −^2 184 2 x 2 ⋅ 23 −^31 2 x 2 Solución: 1314 −^211 2 x 2
b)^1203 2 x 2 ⋅ −^145432 2 x 3 Solución:^ − 110 234 132 2 x 3
c) 3 3 2 1 3 2 34
x^ x
Solución: (^301234)
x
d) ( ) 15
31
x x
⋅^ −
Solución: (^46821235)
x
e) ( )
42
14 1 0
x
x
⋅ − Solución: ( 10 0 ) 1 x 2
f) ( ) 1 3
41
x x
Solución: (^10143)
x
- Dadas (^0132)
x
A
= − B = (^) 71 −^05 − 21 2 x 3 Compruebe que no se cumple la propiedad conmutativa, es decir que A ⋅B≠B⋅A
Solución: 22 33 24 15
A B x B A x
≠ ⋅ =^ −
- Dadas las siguientes matrices: A = (^) 42 31 ; B=^02 −^12 ; c = 32 41
Calcule: a) A ⋅B⋅C Solución: A ⋅ B =^ ^24 13 ⋅ (^02) −^12 ^ =^26 −^02 2 0 2 1 4 2 A B C (^6 6 3 4 6 ) ⋅ ⋅ = ^ ⋅ ^ =^ −^ − b) At ⋅Bt⋅Ct Solución: 2 4 0 2 4 4 A^ t Bt (^1 3 1 2 3 ) ⋅ = ^ ⋅ ^ =^ − −^ − 4 4 2 3 4 4 A^ t Bt C t 3 6 1 4 2 7 ⋅ ⋅ = ^ −^ ⋅ ^ =^ − −^ − c) 2 A +B+ 3 C Solución: (^2) 42 31 + 20 −^12 + (^3) 32 41 = 1910 166 d) C t^ ⋅Bt⋅At Solución: 12 43 ⋅ 10 −^22 ^ ⋅ 12 34 = 43 −− 62 ^ ⋅ 12 34 = 24 −^62 e) 2 C t^ ⋅ 4 At⋅ 3 Bt Solución: 2 ⋅ (^) 12 43 + (^4) 12 34 ⋅ (^3) 10 −^22 = 24 86 ⋅ 48 1216 ⋅ 30 −^66 = 408 480 384 480
= ^ −
- Dadas las siguientes matrices:
=^ −
A B
Compruebe las propiedades de la transposición matricial:
d)
D Solución: D= 4
e)
E Solución: E = 6
f)
F Solución: F = 6
g)
G Solución: G= 22
h)
H Solución: H =− 6
i)
I Solución: I =− 156
- Calcule la inversa, si es posible, de las matrices siguientes:
a) A = (^) − 53 −^21 Solución: A−^1 = 71 51 32
b) B = (^) ^ − 82 − 41 Solución: no tiene
c)
C Solución:
C^11
d)
D Solución:
D^11
e)
E Solución:
E^11
f)
F Solución:
F^11
g)
G Solución:
G^11
h)
H Solución:
H^11
i)
I Solución:
I
- Dada la matriz A de ejercicio anterior, compruebe que A −^1 = A^1
Solución: A= (^) − 53 −^21 ; A= 3 − 10 =− 7
A −^1 = 71 51 32 = 51 //^7732 // 77 ; A−^1 =^71 ⋅ 73 − 72 ⋅ 75 =− 0 , 142857 =^1 A = −^17
- Obtenga la familia de matrices que conmutan con A = (^) 11 10 Solución: 11 10 ^ ⋅zx ty^ =zx ty^ ⋅ 11 10
x+x z y +yt=xz+ +ty yt^ ; → ==
y 0
x t y t t
x z z t
y y
x x y
Luego: A = (^) zx x^0
- Estudie cuándo tienen inversa las siguientes matrices:
a)
a a a
A a a a Solución: nunca
b)
b b b
B a a a
Solución: nunca
c)
C Solución: nunca
d)
c b a
a b c D 1 1 1 Solución: C =a^2 +bc+bc−c^2 −ba−ba;
luego tendrá inversa cuando: a^2 − c^2 + 2 bc− 3 ab≠ 0
- Calcule para qué valores de a ∈ es invertible la siguiente matriz:
a
a a
a A 0 1 2
Calcule dicha inversa. Solución: A= ( 2 −a) 2 a−a− 2 a( 1 −a)= 4 a− 2 a^2 −a− 2 a+ 2 a^2 =a= 0 luego: para a ≠ 0 tiene inversa.
aa a a a
a a a
a a a a AdjA
2 2 2 a a a
a a a a a a Adj At
luego:
a a a
a a a A 1 / 1 / 1 /
- Calcule el valor de a para que las siguientes matrices sean invertible.
a)
a
A
Solución: a≠ 0
b)
B (^) a Solución: a≠ 0
c)
a
a
a a C 1 1
Solución: a≠ 1 , − 1
15. Averigüe para qué valores de λ la siguiente matriz:
A λ no tiene
inversa. Calcule A −^1 para λ = 1.
Solución:
A = 4 − 2 λ= 0 ; λ= 2 : λλ=≠ 22 →→nosiexiste existeA A− −^11
Para λ = 1 : ; 2
^ =
A = A
Adj(A)
A^11
- Utilizando las propiedades correspondientes, y suponiendo que las siguientesmatrices son regulares, resuelva las siguientes ecuaciones matriciales:
a) AXB = CTB−^1 Solución: ^ A^ −I^1 A X BBI^ −^1 =^ A C B−^1 T^ −^1 B^ −^1 ; X^ =A C B−^1 T^ −^1 B−^1
b) AX +BX=C Solución: ( A +B)X=C; (A+B)−^1 (A+B)X=(A+B)−^1 C; X=(A+B)−^1 C c) X −^1 A=B Solución:
X−^1 AA−^1 = BA−^1 ; X−^1 =BA−^1 ; ( X−^1 )− 1 =( BA−^1 ) −^1 ;X =AB−^1
d) AX + X = B +C Solución: ( A + I)X=B+C; (A+I)−^1 (A+I)X=(A+I)−^1 (B+C); X =(A+I)−^1 (B+C)
- Desarrolle la expresión matricial: ( A +B)^2 −(A−B)^2 Solución: ( A+ 2 B)^2 −(A−B)^2 = 2 (A+ 2 B)(A+B)−(A− 2 B)(A 2 −B) = 2 2 2 =A +AB+BA+B −( A −AB−BA+B )=A +AB+BA+B −A +AB+BA−B =AB +BA+AB+BA= 2 AB+ 2 BA
- Resuelva la ecuación matricial:supiésemos que la matriz B es simétrica?. X −^1 B^ T^ =A+B. ¿Cambiaría la solución si
Solución: 1 1 1 1 1 1 1 X−^ BT^ ( BT)− = (A+B)(BT)−; X− =(A+B)(BT)− =A(BT)− +B(BT)−
( X−^1 )−^1 = ( A(BT^ )−^1 +B(BT)−^1 ) −^1 ; X =( A(BT)−^1 +B(BT)−^1 ) −^1
Si se dieran las condiciones del enunciado: BT^ = B;luego:
X = ( A( BT)−^1 +B(BT)−^1 ) −^1 ;X=(( AB)−^1 +BB−^1 )− 1 =(B−^1 A−^1 +I)−^1
- Resuelva la ecuación matricial:supiésemos que la matriz A es ortogonal? X T^ A−^1 =AT.¿Cambiaría la solución si
Solución:
X T^ A−^1 A=ATA; XT =ATA; ( XT)T =( ATA)T ;X =ATA
Si la matriz A es ortogonal AT^ = A−^1 , luego: X = AT^ A=A−^1 A;→X= A
