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TRANSFORMACIONES LINEALES
Definición Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K .La aplicación f : V → V se llama aplicación lineal o transformación lineal si cumple los dos requisitos siguientes:
- ∀ v 1 (^) , v 2 ∈ V : f ( v 1 + v 2 )= f ( v 1 )+ f ( v 2 )
- ∀ k ∈ K , ∀ v ∈ V : f ( k ⋅ v )= k ⋅ f ( v ) o equivalentemente: ∀ k 1 (^) , k 2 ∈ K ,∀ u , v ∈ V : f ( k 1 ⋅ u + k 2 ⋅ v )= f ( k 1 ⋅ u )+ f ( k 2 ⋅ v )= k 1 ⋅ f ( u )+ k 2 ⋅ f ( v ) Ejemplos
- f : R^2 → R^2 , f ( , x y ) = ( x + y y , ) Sí es una aplicación lineal porque
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
fkkx (^1) + xkyy + kky (^2) + x kyx += kfyk (^1) kxy + k = 2 xkk (^1) xy ++ yk (^2) yy += k kx 1 x ++ yk (^2) yx += k (^1) ky ⋅+ fk (^2) xyyk (^1) + yk + k ⋅ (^2) fyx = y
- f : R^2 → R^2 , f ( x 1 (^) , x 2 (^) ) = ( x 1 (^) + x 2 , 2) No es una aplicación lineal ya que, por ejemplo, para a = b = 1 , u = ( 1 , 0 ), v =( 0 , 1 )
[ ] ( 2 , 2 ) ( 2 , 4 )
f f
f f
Propiedades
- Toda aplicación lineal transforma el vector nulo de V en el vector nulo de V : f (0 )^ _^ V = 0 _ V
- La imagen del opuesto de un vector es el opuesto de la imagen del vector: f (− v )=− f ( v ), ∀ v ∈ V
- Las aplicaciones lineales transforman subespacios vectoriales de V en subespacios vectoriales de V : S es subespacio vectorial de V ⇒ f ( S )es subespacio vectorial de V
Expresión matricial de una trasformación lineal
Dada la aplicación lineal f : Vn → Vn y fijada una base B = { u 1 , … , un } de Vn , se
comprueba que f queda completamente determinada por una matriz A ∈ Mn que es única , pudiendo reducirse el análisis de f al estudio de A. Ecuaciones de una aplicación lineal Buscamos la relación entre las coordenadas de un vector x de Vn y las coordenadas de su imagen y = f ( x ),conocidas las imágenes de los vectores de la base B de Vn. Es
decir, conocemos { f u ( 1 ) ,..., f u ( n )}⊂ Vn y queremos hallar la expresión matricial de
la aplicación lineal.
1 1 1 1
n f n n n n n m n
V V
B u u B u u x x u x u y f x y u y u
1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2
n n n n n n n nn n
f u a u a u a u f u a u a u a u f u a u a u a u
=^ +^ +^ +
=^ +^ +^ +
1 1 2 2 1 1 2 2 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 1 11 2 12 1 1 1 21 2 22 2 2 1 1 2 2
n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n nn n
y f x f x u x u x u x f u x f u x f u x a u a u a u x a u a u a u x a u a u a u x a x a x a u x a x a x a u x a x a x a u
Como y = f ( ) x = y v 1 1 + ... + y vn n , entonces las ecuaciones de f respecto de la base B de Vn son 1 1 11 2 12 1 2 1 21 2 22 2 1 1 2 2
n n n n n n n n nn
y x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a
=^ +^ +^ +
=^ +^ +^ +
y la expresión matricial de f respecto de B 1 y B 2 será Y = AX , A ∈ Mn
Ejercicio Sea la aplicación lineal f : R^3^ → R^3 , f ( , x y z , ) = (2 x + y , − x + z , 3 x + 2 y + z ) Encuentre la matriz de f respecto de la base canónica
Composición de Transformaciones Lineales Sean las aplicaciones lineales f : Vn → Vn , g V : n → Vn , de matrices asociadas A ∈ M (^) n , B ∈ Mn. La aplicación lineal compuesta de f con g se define como la aplicación lineal h = g f : Vn → Vn que transforma a todo vector x ∈ Vn en el transformado por g del transformado por f del vector x : h ( x )= ( g f )( x )= g ( f ( x )), ∀ x ∈ V n
( ) ( ) ( ( ))
n f^ n g n f g f g
V V V
x y f x z g y g f x X Y AX Z BY BAX
entonces z = h x ( ) = CX , C ∈ Mn. La matriz C ∈ Mn asociada a la aplicación lineal compuesta ( g f ) resulta ser el producto de las matrices asociadas a g y f en este orden:
Zz^ ==( gg ( Y ) f =)( xg )(= AXg () f =( Bx ))( AX ) =( BA ) X C =^ BA Ejemplo Sean las aplicaciones lineales f ( x 1 , x 2 , x 3 )= ( x 1 + x 3 , x 3 − x 2 , 0 ) y g ( x 1 , x 2 , x 3 )= ( 2 x 3 , x 1 + x 3 , x 2 ), siendo la matriz asociada a f la matriz
A y la matriz asociada a g la matriz
B. La aplicación
lineal g f tiene como matriz asociada:
C BA
PROCESOS SECUENCIALES LINEALES
El porqué de la diagonalización La teoría de las transformaciones lineales permite elaborar técnicas analíticas que resultan adecuadas para realizar diversos análisis. Uno de estos análisis consiste en estudiar una situación que evoluciona a lo largo de períodos de tiempo, transformándose de manera lineal. Conocido el estado en que se encuentra la situación inicialmente y cómo es la transformación lineal que experimenta en cada secuencia, se puede determinar el estado de la situación transcurridas n secuencias o períodos de tiempo y si el estado tiende a estabilizarse. Estos procesos secuenciales se encuentran en el centro de los análisis económicos dinámicos. En un proceso secuencial, si el estado en cada secuencia está determinado por los valores reales que toman n variables ( x 1 , x 2 ,…, xn ) y cambia en cada secuencia de manera lineal (es decir, si el estado en una secuencia cualquiera es el producto de una matriz cuadrada A, de orden n , por la secuencia anterior), entonces, partiendo de un estado inicial conocido, se puede conocer el estado en que se encuentra transcurridas m secuencias.
Definición : Las matrices A ∈ Mn y B ∈ Mn son matrices semejantes si existe P ∈ M n regular tal que AP = PB , o lo que es lo mismo, A = PBP −^1 , verificándose que Rg( A ) = Rg( B ).
Diagonalización de endomorfismos Dada una trasformación lineal f : Vn → Vn expresada matricialmente como Y = AX , queremos encontrar una expresión matricial de dicha trasformación en la que la matriz sea diagonal. Para ello tenemos que realizar un cambio de base en el espacio V n.
^ ⇒
=^ ⋅
^ =
^ ⋅
f ( 2 , 1 , 2 ) ( 2 , 1 , 2 ) es un autovector con autovalor
asociado λ = 8 , ya que f ( 2 , 1 , 2 )= 8 ⋅( 2 , 1 , 2 ).
^ ⇒
= − ⋅^ −
⋅^ −
f ( 1 , 4 , 1 ) ( 1 ,− 4 , 1 ) es un autovector con
autovalor asociado λ =− 1 , ya que f ( 1 ,− 4 , 1 )=(− 1 )⋅( 1 ,− 4 , 1 )
Cálculo de autovalores y autovectores asociados
Si x ≠ 0 es autovector asociado a λ∈ K ⇒
λ
autovectorcuyaAUTOSISTEMsoluciónes asociadossonAlos a
n n SISTEMAHOMOGÉNEOn
Y AX X I X AX I X A I X
( )
Cálculo de los autovalores Para que el sistema anterior contenga realmente autovectores ( x ≠ 0 ), habrá de ser un sistema compatible indeterminado, con lo que se verificará:
Rg ( A − λ I n )< n
CARACTERÍSECUACIÓN TICA
⇒ A − λ I n = 0.
De la condición anterior se obtiene el polinomio característico de grado n , cuyas raíces serán los autovalores de la trasformación lineal f:
( ) ( )( ) 0
( )
1
2
1
1 2
21 22
11 12
λ
FORMAGENERALDE P
n n nn CARACTERÍSPOLINOMIOTICO
n
n
n n
n Tr A A
P
a
a
a
a a
a a
a a A I
Si n = 2 ⇒ P (λ )=λ^2 − Tr ( A ) λ+ A
Si n = 3 ⇒ P (λ )=−λ^3 + Tr ( A )λ^2 −( A 11 + A 22 + A 33 ) λ+ A
Cálculo de autovectores asociados a un autovalor
El conjunto de autovectores x asociados a cada λ i obtenido de la ecuación anterior,
vendrá dado por el conjunto:
L ( λ i ) = { x ≠ 0, x ∈ R n /( A − λ i In ) X = 0 }
Propiedades:
1. L ( λ i )es un subespacio vectorial de Vn de dimensión n − rg ( A − λ In ).
2. Autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes 3. Dada A ∈ Mn , no podrán existir más de n autovalores reales distintos (en otro caso, por 1. y 2. , habría más de n vectores linealmente independientes en Vn ).
4. ∑ λ i = Tr ( A )(sea cual sea la base utilizada asociada a A ).
5. ∏ λ i = A
6. Si A es triangular, los autovalores serán los elementos de la diagonal principal
a i n a
a
a a
a a A (^) i ii nn
n
n ... ,^1 ,^2 ,..., 0 0 ...
2
1 22
11 12 ⇒ = =
= λ
7. Si λ es autovalor de A , λ^2 es autovalor de A^2. Además todos los
autovectores de A también lo serán de A^2.
8. Los autovalores de A y de At son los mismos.
Ejemplo Sea la trasformación lineal f definida en R^3 , cuya matriz asociada en una
determinada base B 1 es
^ −
A.
Propiedades de las matrices semejantes
- Si A y B son semejantes ( ∃ P / A = PBP −^1 ), tienen el mismo polinomio característico y por tanto coinciden sus raíces ( autovalores ), coeficientes del polinomio ( traza y determinante ) y rango.
- Si A y B son semejantes, también lo son sus potencias de igual exponente: ∃ P / A = PBP −^1 ⇒ Ak = PBkP −^1 Demostración: 3 2 1 2 3 1
1 2 1 2 ( ) ...
AP APB PBP PB PB AP PB A PB P
A PBP AP PB AP APB kPBP PBk PBk k
Teorema de existencia de la matriz semejante f es diagonalizable ⇔ existe una base de Vn formada por autovectores. En tal caso, la matriz diagonal D está formada por los autovalores. En la práctica:
- Cálculo de los autovalores de A.
- Cálculo de las dimensiones de cada subespacio vectorial de autovectores
- Si (^) ∑ ∀ iDim ( L ( λ i (^) ))= n ⇒Existe Base de autovectores ⇒ Existe D
- Si (^) ∑ ∀ iDim ( L ( λ i (^) ))< n ⇒No existe D
- Si f es diagonalizable, se forman: 1 2
0 ... (^0) n
D
λ λ λ
= ^
y P la matriz formada por la base de autovectores, colocados
los vectores en las columnas de P , verificándose que D = P −^1 AP.
Observación:
Existen infinitas matrices P que verifiquen la relación A = PDP −^1 ( D = P −^1 AP ),
aunque debe respetarse la correspondencia por columnas entre el autovector asociado en P y el autovalor en D. Observación:
Si A es una matriz simétrica ( A = At ), entonces siempre es diagonalizable.
Ejercicio Sea la trasformación lineal f : R^3 → R^3 , cuya matriz asociada respecto de la base
B = { e 1 , e 2 , e 3 }es
A.
Determinar qué cambio de base hay que realizar en R^3 para que la matriz asociada a f sea diagonal.
Ejercicio
Estudiar si es diagonalizable la matriz
^ −
A y dar la relación entre la
matriz A y la matriz diagonal semejante.
