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MATRICES Y DETERMINANTES
UNIDAD IV
IV.1 DEFINICIÓN DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de números, objetos u operadores, dispuestos en un arreglo bidimensional de
renglones y columnas, encerrados entre paréntesis rectangulares, que obedecen a ciertas reglas
algebraicas.
Ejemplos de matrices:
,
,
g h
e f
c d
a b
, [ 3 + 2 i 5 − 7 i ]
Cada una de las partes integrantes del arreglo es llamado elemento de la matriz y su localización en el
arreglo es identificado por un sistema de doble subíndice, en el cual el primer subíndice indica el renglón
y el segundo subíndice indica la columna.
n n n nm
m
m
m
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
A
K
M M M M M
K
K
K
1 2 3
31 32 33 3
21 22 23 2
11 12 13 1
En donde el elemento aij está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A.
Una matriz que tiene n renglones y m columnas se dice que es una matriz de orden n x m (se lee
como matriz de orden n por m ).
Cuando se trata de matrices muy grandes se representan con una sola letra mayúscula, o por un solo
elemento con doble índice:
A = [ a ij ]
donde i va desde 1 hasta n^ y j va desde 1 hasta m
Una matriz con un solo renglón o con una sola columna es conocida como vector renglón o vector
columna respectivamente. Por ejemplo, la matriz B es un vector renglón de 1 × 5 y la matriz C es un
vector columna de 3 × 1 :
B = [ b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 ],
3
2
1
c
c
c
C
Una matriz es cuadrada si posee el mismo número de renglones y de columnas:
Ejemplo.
44
×
D =
La diagonal principal de una matriz cuadrada es el conjunto de elementos que aparecen sobre la diagonal del
arreglo que va desde el extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho, es decir, aquellos elementos
a ii. En el ejemplo anterior los elementos de la diagonal principal son (^4) , 0 , 5 ,− 11.
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal. Se denota como
tr ( A ).
Ejemplo.
Para la matriz anterior, su traza es: tr ( D ) = 4 + 0 + 5 +( − 11 ) =− 2
La transpuesta de una matriz A es la matriz designada por A ' ó
T A en donde los renglones de A son
las columnas de
T A , esto es, si:
[ ] [ (^) ji ]
T
A = aij ⇒ A = a
Ejemplos.
a)
43
×
E = ;
34
×
T E
b)
2 × 5
f g h i j
a b c d e F ;
5 × 2
e j
d i
c h
b g
a f
F
T
Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y todos los elementos de la matriz son
idénticos a sus correspondientes elementos de la otra matriz.
Ejemplo.
×
P = ;
×
Q =
P = Q
Multiplicación de una matriz por un escalar
El producto de una matriz A por un escalar k se define como: k ⋅ A = k ⋅ aij , esto es, se multiplica cada
uno de los elementos de la matriz por el escalar.
Ejemplo.
×
C = ; k =− 3 ;
×
k ⋅ C =
Multiplicación de matrices
Para efectuar el producto de dos matrices se requiere que el número de columnas de la primera matriz
sea igual que el número de renglones de la segunda. Cuando sucede esto se dice que las matrices son
conformables para la multiplicación. Esto es, si A es de orden p × n y B es de orden n × q el orden de
la matriz producto es p × q.
Los elementos de la matriz producto A ⋅ B se definen de la siguiente manera:
∑
n
k
cij aik bkj 1
donde i va desde 1 hasta p y j va desde 1 hasta q.
El elemento que ocupa la posición ( i , j )de la matriz C de p filas y q columnas, se obtiene sumando los
productos de los elementos de la fila i de A por los elementos de la columna j de B.
Ejemplos.
(^6422)
×
A = ;
×
B =
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) (^2 )
× × ×
A ⋅ B =
(^313232)
21 22
11 12
×
a a
a a
a a
A ; (^2122232424)
11 12 13 14
×
b b b b
b b b b B
(^3111322131123222311332233114322434)
2111 22 21 2112 22 22 2113 22 23 2114 22 24
1111 12 21 1112 12 22 1113 12 23 1114 12 24
×
a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b
A B
×
A = ;
×
B =
× ×
A ⋅ B =
- A = [ 4 − 5 i ] 1 × 2 ; (^10323)
×
i
i i B
[ ] 1 3 [ ] 1 3
2 A ⋅ B = 40 i + 5 i 4 − 0 i 8 i − 15 i × = 45 i 4 15 + 8 i ×
24
×
A = ; B =[ 1 7 9 ] 1 × 3
No son conformables para el producto.
En general, el producto de matrices no es conmutativo: A ⋅ B ≠ B ⋅ A
Ejemplo.
33
×
A = ;
33
×
B = − −
A B
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 33
×
×
B A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
3 ( ) 1 0 ( ) 3 7 ( 10 ) 3 ( ) 5 0 ( ) 2 7 ( ) 4 3 ( 1 ) 0 ( ) 0 7 ( 2 ) (^33)
×
33
×
A ⋅ B ≠ B ⋅ A
Sean:
22
×
A = ;
22
×
I =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
A I
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
I A
- Matriz diagonal
Es una matriz cuadrada de orden n^ tal que todos los elementos fuera de su diagonal principal son cero.
nn n n d
d
d
d
D
×
K
M M M M M
K
K
K
33
22
11
Ejemplo.
D
- Matriz triangular superior
Es una matriz cuadrada de orden n en la cual todos los elementos debajo de la diagonal principal son
cero.
uij = (^0) para i > j
nn n n
n
n
n
u
u u
u u u
u u u u
U
×
K
M M M M M
K
K
K
33 3
22 23 2
11 12 13 1
Ejemplo.
i
i i
i i i
i i i i
U
- Matriz triangular inferior
Es una matriz cuadrada de orden n en la cual todos los elementos por arriba de la diagonal principal son
cero.
lij = 0 para i < j
n n n nn n n l l l l
l l l
l l
l
L
×
K
M M M M M
K
K
K
1 2 3
31 32 33
21 22
11
Ejemplo.
L
- Matriz simétrica
Se dice que una matriz cuadrada es simétrica si es igual a su propia transpuesta:
T A = A
aij = a ji para toda i y para toda j
Ejemplo.
T A = A
- Matriz antisimétrica
Se dice que una matriz cuadrada es antisimétrica si es igual al negativo de su propia transpuesta: T A =− A
aij = − a ji para toda i y para toda j
Ejemplo.
A A A A
T T
- Matriz conjugada
Sea A una matriz de números complejos. Si se reemplaza cada elemento por su complejo conjugado se
obtiene A que es su matriz conjugada.
A
i
i A (^) =
*^119
IV.4 DETERMINANTES
IV.4.1 DEFINICIÓN
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define como determinante de A (denotado como A ,
det ( A ) ó ∆ (^) A ) a la suma de los n productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al
multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un sólo elemento de cada
fila y columna de A.
Esto significa que un determinante es un valor numérico κ que está relacionado con una matriz
cuadrada y que sigue ciertas reglas para su cálculo.
( ) = =κ
n n n nn
n
n
n
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
A
L
M M M M M
K
K
K
1 2 3
31 32 33 3
21 22 23 2
11 12 13 1
det
Dos matrices diferentes (tanto en orden como en elementos) pueden tener igual determinante. Nótese
como la notación de determinante no presenta los corchetes (a diferencia de las matrices) sino sólo
líneas.
IV.4.2 CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS
Para calcular determinantes de segundo y tercer grado el método más simple es el de multiplicación
diagonal, mejor conocido como Regla de Sarrus.
Esta regla establece que para una matriz de segundo orden (^)
21 22
11 12
a a
a a A (^) , su determinante se calcula
de la siguiente manera:
( ) (^11222112) 21 22
11 12 det a a a a a a
a a A = = −
esto significa que el determinante de segundo orden es el producto de los elementos de la diagonal
principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
Ejemplos.
- 3 ( ) 4 2 ( ) 5 12 10 2 2 4
- 4 ( 7 ) 3 ( 8 ) 28 24 4 3 7
- 12 ( 4 ) 5 ( 6 ) 48 30 78 5 4
La regla de Sarrus aplicada a una matriz de tercer orden
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
A , establece que su
determinante se calcula como:
( ) (^112233213213311223312213211233113223)
31 32 33
21 22 23
11 12 13
det a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a
a a a
A = = + + − − −
esto significa que el determinante de segundo orden es la suma de los productos de los elementos de la
diagonal principal y sus dos paralelas, menos la suma de los productos de los elementos de la diagonal
secundaria y sus dos paralelas.
Ejemplos.
- 1 ( )( ) 4 6 7 ( )( ) 0 5 ( 2 )( 3 )( 1 ) ( 2 )( )( ) 4 5 ( )( 7 3 )( ) 6 1 ( )( 0 1 )
2 0 6
- 2 ( )( 5 8 ) 3 ( )( ) 7 0 1 ( 1 )( 10 ) 1 ( )( ) 5 0 3 ( 1 )( 8 ) 2 ( )( 7 10 )
1 7 8
- 3 ( )( 2 1 ) ( 4 )( )( ) 9 8 7 ( 5 )( ) 3 7 ( )( ) 2 8 ( 4 )( 5 )( 1 ) 3 ( )( ) 9 3
7 9 1
IV.4.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
- Si todos los elementos de una columna o de un renglón son cero, entonces el determinante es cero.
Ejemplos.
- 2 ( ) 0 6 ( ) 0 0 0 0 6 0
1 ( ) 5 4 ( ) 2 5 8 3 4 5
intercambiando columnas:
5 ( ) 1 2 ( ) 4 5 8 3 2 1
- Si un renglón (o columna) se traslada p renglones (o columnas) entonces el determinante obtenido
es igual a: ( − ) ∆
p 1
Ejemplo.
4 ( )( 0 2 ) 1 ( 1 )( ) 3 0 ( )( 2 1 ) ( )( )( ) 0 0 3 1 ( )( 2 2 ) 4 ( 1 )( 1 )
0 1 2
si se mueve la primera columna, dos posiciones, entonces:
2 (^1 )( ) 0 ( )( 0 2 )( ) 4 (^1 )( )( ) 31 (^1 )(^1 )( ) 4 ( )( )( ) 0 3 0 2 (^2 )( ) 1
1 2 0
= − − − − + =− =^ (^ − )^ ∆
2 0 0 3 4 0 4 3 1
si se mueve el primer renglón, una posición, se tiene:
1 ( )( 2 2 ) 4 ( 1 )( 1 ) 0 ( )( ) 0 3 ( )( )( 0 2 1 ) 4 ( )( 0 2 ) 1 ( 1 )( ) 3
0 1 2
= − + + + + + = = ( − ) ∆
1 4 4 0 0 0 3 3 1
- Si dos renglones o dos columnas son iguales, entonces el determinante es cero.
Ejemplos.
- 1 ( ) 6 6 ( ) 1 6 6 0 6 6
- ( 2 )( ) 5 ( 2 )( ) 5 10 10 0 2 5
- Un determinante no cambia de valor si a todos los elementos de un renglón (o columna) le son
sumados o restados los elementos de otro renglón (o columna) multiplicados por un escalar:
n i n i nn in
n
n
n nj n nn
j n
j n
n n nn
n
n
a ka a ka a ka
a a a
a a a
a ka a a
a ka a a
a ka a a
a a a
a a a
a a a
K
M M M M
L
L
L
M M M M
L
L
L
M M M M
L
L
1 1 2 2
21 22 2
11 12 1
1 2
21 2 22 2
11 1 12 1
1 2
21 22 2
11 12 1
Ejemplo.
2 ( ) 4 1 ( ) 3 8 3 5 1 4
sumando a la primera columna la segunda multiplicada por 2 :
( )
( )
8 ( ) 4 9 ( ) 3 32 27 5 9 4
al segundo renglón de ∆ se le resta tres veces el primer renglón:
( )( ) ( )( )
2 ( 5 ) ( 5 )( ) 3 10 15 5 5 5
Esta propiedad es muy empleada para obtener ceros y así simplificar el cálculo del determinante.
Ejemplo.
( )
( )
( )
IV.4.4 MENOR DE UN ELEMENTO
Sea un determinante de orden n^ , correspondiente a una matriz A :
( )
n n nn
n
n
a a a
a a a
a a a
A
L
M M M M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
det =
Se define el menor de un elemento aij al determinante que resulta de eliminar el renglón i y la columna
j. Si se denota como M^ ij a tal determinante, se tiene:
n n nj nn
j j ij in
j n
j n
ij
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
M
L L
L L L L L L
L L
L L L L L L
L L
L L
1 2
1 2
21 22 2 2
11 12 1 1
=
Ejemplos.
Dado el determinante:
Solución:
A 11 =− 8
A 12 = 5
A 21 =− 11
A 22 = 4
Ejemplo.
Calcular los cofactores de los elementos correspondientes al primer renglón del siguiente determinante:
( )
3 10 2
det A =−
Solución.
A 11 = = − =−
( 4 12 ) 16 3 2
A =−
A =
El determinante de una matriz A de cualquier orden puede obtenerse mediante la suma de los productos
de los elementos de cualquier renglón o columna por sus respectivos cofactores:
( ) (^) ∑ ∑ = =
n
j
n
i
A akj Akj ailAil 1 1
det
Para el renglón k^ o la columna l.
Así, para un determinante de tercer orden, se tiene:
( ) (^111112121313)
31 32 33
21 22 23
11 12 13
det a A a A a A
a a a
a a a
a a a
A = = + +
31 32
21 22 13 31 33
21 23 12 32 33
22 23 11 a a
a a a a a
a a a a a
a a = a − +
esto significa que se elige el primer renglón y se suman los elementos por sus respectivos cofactores.
Este procedimiento también puede aplicarse a columnas, por ejemplo, para el caso anterior:
( ) 21 22
11 12 33 31 32
11 12 23 31 32
21 22 det (^13) a a
a a a a a
a a a a a
a a A = a − +
esto significa que se elige la tercera columna y se suman los elementos por sus respectivos cofactores.
Ejemplo.
Calcular el siguiente determinante aplicando cofactores:
( )
2 1 3
det
−
A =
Tomando el primer renglón se tiene:
( ) 1 ( 12 5 ) 2 ( 18 10 ) ( 8 )( 6 8 ) 2 1
= 1 ( − 7 ) − 2 ( 8 ) +( − 8 )( 2 ) =− 7 − 16 − 16 =− 39
Ahora, tomando la segunda columna se tiene:
( ) ( ) 2 ( 18 10 ) ( 4 )( 3 16 ) ( 1 )( 5 48 ) 6 5
=− 2 ( 8 ) − 4 ( 19 ) + 1 ( 53 ) =− 16 − 76 + 53 =− 39
Cuando aparecen varios ceros en un renglón o en una columna, a fin de simplificar el cálculo de un
determinante, es conveniente utilizar ese renglón o columna.
Ejemplo.
( )
det
A =
= 1 A 11 + 0 A 21 + 0 A 31 + 0 A 41 = A 11
calculando el cofactor A 11 y tomando el segundo renglón se tiene:
( ) 2 ( 6 5 ) 1 ( 9 20 ) ( 2 )( 3 8 ) 4 1
= 2 ( 11 ) − 1 (− 11 ) +(− 2 )(− 11 ) = 22 + 11 + 22 = 55
IV.4.6 MATRIZ ADJUNTA
Si A = aij es una matriz cuadrada y Aij es el cofactor de a (^) ij , se define la matriz adjunta de A ,
denotada Adj A , como la matriz de cofactores de su transpuesta.
n n nn
n
n
A A A
A A A
A A A
AdjA
L
M M M M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
Esto significa que para encontrar la matriz adjunta primero se traspone la matriz y después, con base en
ella, se calcula la matriz de cofactores.
La matriz inversa se obtiene en su forma clásica, de la siguiente manera:
( ) ( )
n n nn
n
n
A A A
A A A
A A A
A
AdjA A
A
L
M M M M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
1
det
det
−
El procedimiento para obtener la matriz inversa de una matriz A por el método de la adjunta es el
siguiente:
- Se calcula el determinante de A. Si det ( A ) ≠ 0 entonces tiene matriz inversa (en caso contrario se
dice que es una matriz singular )
- Se obtiene la transpuesta de A , es decir,
T A
- Se calcula la matriz de cofactores de
T A , dando lugar a la matriz adjunta de A , esto es, AdjA
AdjA A
det
.
Ejemplo.
Obtener la matriz inversa de:
A
Solución.
( ) 8 ( 3 ) 5 3 4
det =− − − =−
A =
T^23
A
Adj A
− −^ −
−
A AdjA
Comprobación:
−
A A
=^ I
Ejemplo.
Obtener la matriz inversa de:
A
Solución.
det ( A ) = 12 + 0 − 8 − 0 − 30 + 12 =− 14
T A
Adj A
−
A AdjA
Comprobación:
−
1 A A
= I
La inversa de una matriz diagonal se obtiene invirtiendo sus términos, esto es, si:
