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Lista de Ejercicios 3
DISTRIBUCIÓN GEOMETRICA
Beatriz Alejandra Juúarez Vázquez
3.67 Suponga que 30 % de los solicitantes para cierto trabajo industrial posee capacitación avanzada en programación. compu- tacional. Los candidatos son elegidos aleatoriamente entre la po- blación y entrevistados en forma sucesiva. Encuentre la probabi- lidad de que el primer solicitante con capacitación avanzada en programación se encuentre en la quinta entrevista. SOL Sea Y la(v.a.) ¨número de entrevista en la que se encuentra un solicitante con capacitación avanzada¨. Entonces las probabilida- des son p = 0, 3 y q q = 0, 7. Luego Y es geométrica, entonces:
p(5) = (0,7)^4 (0,3) = 0, 07203
3.68 Consulte el Ejercicio 3.67. ¾Cuál es el número esperado de solicitantes que será necesario entrevistar para hallar el primero con capacitación avanzada? SOL. Del ejercicio anterior, como se encuentra al solicitante en la primera entrevista, tenemos:
p(1) = (0,3)
Por lo que el valor esperado de solicitantes sería:
μ = E [Y = 1] =
3.70 Una empresa de exploración petrolera va a hacer una serie de perforaciones de sondeo en una zona determinada en busca de un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en un intento dado es 0.2. a). ¾Cuál es la probabilidad de que la tercera perforación sea la primera en dar un pozo productivo? b). Si la empresa puede darse el lujo de perforar a lo sumo diez pozos, ¾cuál es la probabilidad de que no encuentre un pozo productivo? SOL. De nimos la v.a. Y como ¨el número de perforaciones hechas hasta que se encuentra un pozo productivo¨. Entonces la probabilidad es que p = 0, 2 y q = 0, 8 y además de que Y es geométrica, entonces: a) Entonces p(3) = (0,8)^2 (0,2) = 0, 128
b) Entonces P (Y ≥ 10) = (0,8)^10 = 0, 107 3.71 Denote con Y una variable aleatoria geométrica con pro- babilidad de éxito p. a Demuestre que para un entero positivo a
P (Y > a) = qa
b. Demuestre que para los enteros positivos a y b
P (Y > a + b|Y > a) = qb^ = P (Y > b)
Este resultado implica que, por ejemplo, P(Y >7|Y >2) = P(Y >5). ¾Por qué supone que esta propiedad recibe el nombre de propiedad sin memoria de la distribución geométrica? SOL. a)
Sea
∑^ ∞
y=a+
qy−^1 p = qap + qa+1^ + qa+2^ + ...
= qa(p + qp + q^2 p + ...)
Sea Y la v.a. correspondiente a ¨el número de cuentas auditadas hasta que se encuentra la primera con un error importante¨. Como 9 de 10 tienen errores, tenemos que p = 0, 9 y q = 0.. a) p(3) = (0,1)^2 (0,9) = 0, 009
b) Como la cuenta es la tercera auditada a la que le sigue, entoces se puede decir, que puede salir de la tercera en adelante, así:
P (Y ≥ 2) = (0,1)^2 = 0, 01
3.74 Consulte el Ejercicio 3.73. ¾Cuáles son la media y la des- viación estándar del número de cuentas quedeben ser examinadas para hallar la primera con errores importantes? SOL. Con los datos del ejercicio anterior, sabemos que:
μ =
Y como la varianza es el cuadrado de la desviación estándar, en- tonces:
σ =
(0,9)^2
3.83 Al secretario de los Ejercicios 2.121 y 3.16 se le dieron n contraseñas de computadora y la prueba al azar. Exactamente una de las contraseñas permite el acceso a un archivo de computado- ra. Suponga ahora que el secretario selecciona una contraseña, la intenta y si no funciona, la regresa con las otras antes de seleccio- nar al azar la siguiente (½no es muy buen secretario!) ¾Cuál es la probabilidad de hallar la contraseña correcta en el sexto intento? SOL. De namos la v.a. Y como ¨el número de intentos hasta que la contraseña correcta es ingresada¨ Dado que tenemos n contraseñas y sólo una es la correcta, la
probabilidad entonces: p =
n
y q =
n − 1 n
Entonces para el sexto intento:
p(6) =
n − 1 n
n
3.84 Consulte el Ejercicio 3.83. Encuentre la media y la varianza de Y, el número de intento en el que se identi ca la contraseña correcta. SOL. Con el problema anterior, tenemos:
μ = E [Y ] =
1 n
= n
y para la varianza:
σ^2 =
1 − (^) n^1 ( 1 n
n
n^2 = n(n − 1)
