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(^318) BLOQUE. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
S O L U C I O N E S Y U S O D E L O S R E C U R S O S
UNIDAD 8
(páginas 210/231)
Probabilidad
Recursos generales de la unidad
Actividades digitales 1-5. Diagnóstico. Unidad 8 (E y D) Programación de aula. Unidad 8 (D) Mapa de recursos. Unidad 8 (D) Soluciones de las actividades. Unidad 8 (D) Diagnóstico. Unidad 8 (D)
Enfoques (página 211)
¿Quieres conocer la probabilidad de coincidir con un positivo estas
fiestas?
1 Según el artículo, ¿qué probabilidad hay de coincidir con una persona que haya dado positivo en covid-19? ¿Qué medidas podéis tomar para que esta probabilidad sea menor? RespUesta abieRta. Comprobar si los alumnos indican que después de asistir a tres eventos sociales distintos, en los que haya estado con 8, 9 y 10 personas, respectivamente, la probabilidad de que haya tenido contacto con un positivo en covid-19 es del 15 %. Analizar las medidas que proponer para reducirla. 2 ¿Qué pretende predecir el modelo matemático descrito en el artículo? Buscad información sobre dicho modelo matemático e investigad cómo utiliza la probabilidad para conseguir el objetivo que persigue. RespUesta abieRta
Actividades digitales 1 y 2 (E y D)
1. Combinatoria
(páginas 212/213)
En la sección Enfoques de la Unidad 8 se abordan temas relacionados con el ODS 3, Salud y bienestar.
Calculadora. Combinatoria (E y D) http://inicia.oupe.es/21mt0b Sugerencias didácticas En el vídeo se muestra cómo utilizar la calculadora para hallar permutaciones, variaciones y combinaciones. Se muestran los ejemplos del libro de texto de forma que se pueden utilizar para explicar cómo usar la calculadora o se puede proponer a los alumnos que lo visualicen después para investigar su uso.
Actividades (página 213)
Ejercicio resuelto (página 213)
1 A partir de la palabra ALEATORIA responde. a) ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con sus letras? b) ¿Cuántas de ellas empiezan por A?
319
c) ¿Cuántas empiezan y terminan por A? d) ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, se pueden formar utilizando cuatro letras distintas de esta palabra? a) Como al cambiar el orden de las letras las palabras son distintas, este importa, por tanto, no pueden ser combinaciones. Además, como se van a utilizar todas las letras y la A está repetida, calculamos las permutaciones con repetición: PR 93 = 9! 3!
Se pueden formar 60 480 palabras. b) Si fijamos la A en la primera posición, quedan 8 letras por colocar y de ellas, la A se repite 2 veces por lo que de nuevo se trata de permutaciones con repetición y obtenemos: PR 82 = 8! 2!
= 20 160 palabras c) Al colocar la A en la primera y última posición, quedan 7 letras y ninguna se repite, se trata de permutaciones y resultan: P 7 = 7! = 5 040 palabras d) De las 9 letras, son distintas 7, así que podemos coger 4 letras de 7 sin repetirlas, luego son variaciones y se pueden formar: V 7 , 4 = 7! (7 − 4)!
= 840 palabras
Actividades digitales 2-10 (E y D) 2 A partir de la palabra ALUMNA responde. a) ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con sus letras? b) ¿Cuántas de ellas empiezan por A? c) ¿Cuántas contienen la sílaba LU? d) ¿Cuántas palabras se pueden hacer con cuatro letras distintas de esta palabra? a) PR 62 =^ 6!2! =^360 b) P 5 = 5! = 120 c) PR 52 = 5! 2!
d) V 5 , 4 = (^) (5 −5! 4)! = 120
3 Una pastelería prepara bombones y utiliza tres tipos distintos de chocolate: blanco, con leche y negro, y además, los rellena con un fruto seco: avellana o pistacho, y los decora con líneas o curvas de chocolate negro. ¿Cuántos tipos diferentes de bombones pueden preparar? 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12 tipos de bombones 4 En una carrera participan 15 atletas. a) ¿De cuántas formas pueden quedar los 3 primeros? b) Si los 5 primeros se clasifican para el campeonato nacional, ¿de cuántas formas puede quedar la clasificación? a) V 15, 3 = 15! ( 15 − 3)!
Pueden quedar de 2 730 formas. b) C 15, 5 = (^155)
⎟⎟ =^
La clasificación puede quedar de 3 003 maneras.
- Probabilidad
321
Desafío matemático (página 213)
10 Un cubo de madera está formado por 8 cubos más pequeños. Pintamos las 6 caras del cubo de madera de blanco, pero se cae y se desmonta en los 8 cubos pequeños. ¿Cuántas formas hay de montar el cubo y que se vea algún trozo sin pintar? Contar de forma directa las formas solicitadas es muy complicado, así que calculamos las contrarias y se las restamos del total, esto es, que se vea el cubo todo blanco. Todos los cubos pequeños son idénticos con 3 caras pintadas y 3 sin pintar. Cada cubo pequeño puede colocarse de 3 formas posibles para que muestre las 3 caras de blanco en una posición determinada, y además, puede colocarse de 6 ⋅ 4 = 24 formas diferentes, pues para cada cara fija hay 4 rotaciones posibles. Por tanto, al tener que colocarse 8 cubos pequeños, hay: 8 ⋅ 24 = 192 formas diferentes de formar el cubo grande. De estas 192 formas, en 3 ⋅ 8 = 24 aparece el cubo totalmente blanco. Por tanto, hay 192 − 24 = 168 formas, respecto de las 192 posibles, de que se vea algún trozo sin pintar.
2. Probabilidad.
Propiedades
(páginas 214/217)
Ejercicio resuelto (página 216)
11 En un congreso participan 13 estadounidenses, 6 canadienses, 7 ingleses, 4 franceses, 6 italianos, 3 argentinos y 5 españoles. Si se elige un ponente al azar para realizar la presentación, determina: a) los sucesos A = ser un ponente europeo, B = ser un ponente que tenga al inglés como lengua materna, A ∩ B y A − B. b) P ( A) , P ( B) , P ( A ∩ B) , P ( A ∪ B) y P (^ A ∩ B ). a) A = {inglés, francés, italiano, español}, B = {estadounidense, inglés} A ∩ B está formados por los ponentes europeos que además hablen inglés como lengua materna: A ∩ B = {inglés} A − B está formado por los ponentes europeos que no tengan el inglés como lengua materna: A − B = {francés, italiano, español} b) Propiedades de la probabilidad (E y D) http://inicia.oupe.es/21mt0b Sugerencias didácticas En este vídeo se resuelve, paso a paso, el ejercicio propuesto aplicando las propiedades de la probabilidad para calcular las probabilidades de los sucesos indicados. Se puede ver en clase como ejemplo de la aplicación de estas propiedades o proponer a los alumnos que lo vean después como repaso.
- Probabilidad
(^322) BLOQUE. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Actividades (página 217) Actividades digitales 12-23 (E y D) 12 Indica si estos experimentos son aleatorios o no. a) Adivinar el número de unos que aparecen en un periódico. b) Medir la velocidad de un satélite en órbita. c) Elegir sin mirar dos cartas de la baraja española sin reemplazamiento. d) Elegir un día del curso actual y anotar si ha llovido. a) Aleatorio, ya que el número de unos será distinto en diferentes periódicos. b) No, porque la velocidad del satélite es constante c) Aleatorio, porque puede salir cualquier par de cartas. d) Aleatorio, porque, a priori, no se sabe que ocurrirá ese día. 13 En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, determina el espacio muestral. Si además sumamos los resultados obtenidos, ¿cuál es el espacio muestral del nuevo experimento? E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), …, (6, 6)} Si sumamos los resultados obtenidos, resulta: E ’ = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 14 En una urna hay bolas negras, azules y rojas. Si el experimento consiste en sacar dos bolas de la urna y definimos los sucesos A = extraer alguna bola azul y B = extraer bola negra en la segunda extracción, indica: a) el espacio muestral de este experimento. b) los sucesos elementales que forman A , B , A , A − B y A ∪ B. a) E = {( n , n ), ( n , a ), ( n , r ), ( a , a ), ( a , n ), ( a , r ), ( r , r ), ( r , n ), ( r , a )} b) A = {( a , n ), ( a , r ), ( a , a) , ( n , a) , ( r , a) } B = {( a , n ), ( r , n ), ( n , n )} A = {( n , n ), ( n , r ), ( r , n ), ( r , r )} A − B = {( a , r ), ( a , a ), ( n , a ), ( r , a )} A ∪ B = {( n , r ), ( r , r )} 15 Se truca una moneda poniendo algo más de peso en la cara que en la cruz de manera que la probabilidad de obtener cara al lanzarla es el doble que la de obtener cruz. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara? ¿Y cruz? Si consideramos que: P (+) = x , P ( c ) = 2 x Debe cumplirse que: P (+) + P ( c ) = 1 → x + 2 x = 1 → x = 1 3 Por tanto: P ( c ) = 2 3 P ( + ) = 1 3
(^324) BLOQUE. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
18 En un experimento lanzamos 3 monedas al aire. a) Escribe el espacio muestral. b) Indica los sucesos A = obtener una cara , B = obtener al menos una cruz y C = no obtener dos cruces. c) Determina los sucesos A ∪ B , C^ , A ∩ B ∩ C. a) E = {( c , c , c ), ( c , c , +), ( c , +, c ), (+, c, c ), ( c , +, +), (+, c , +), (+, +, c ), (+, +, +)} b) A = {( c , +, +), (+, c , +), (+, +, c )} B = {( c , c , +), ( c , +, c ), (+, c , c ), ( c , +, +), (+, c , +), (+, +, c ), (+, +, +)} C = {( c , c , c ), ( c , c , +), ( c , +, c ), (+, c , c ), (+, +, +)} c) A ∪ B = {( c , c , +), ( c , +, c ), (+, c , c ), ( c , +, +), (+, c , +), (+, +, c ), (+, +, +)} C = {( c , +, +), (+, c , +), (+, +, c )} A ∩ B ∩ C = B ∩ ( A ∩ C) = B ∩ ∅ = ∅ 19 En el experimento que consiste en lanzar tres monedas, Mónica y Rosa quieren obtener la probabilidad de A = obtener una cara y dos cruces. Mónica dice que E = {0 caras, 1 cara, 2 caras y 3 caras}, por tanto, utilizando la regla de Laplace: P ( A ) = 41 Rosa cree que por regla de Laplace y como sabe que el suceso A es A = {( c , +, +), (+, c , +), (+, +, c )}, se cumple que P ( A ) = 3 8
. ¿Cuál de las dos tiene razón? Tiene razón Rosa, porque en el espacio muestral que describe Mónica los sucesos no son equiprobables. 20 Si^ P ( A )^ =^ 0,4;^ P ( B )^ =^ 0,6 y^ P ( A^ −^ B )^ =^ 0,3: a) ¿Son A y B incompatibles? b) Calcula P ( A ∩ B ). c) Halla P ( A ∪ B ). d) Determina P^ (^ A^ ∪^ B ). a) No, porque: P ( A ∩ B ) = P ( A ) − P ( A − B ) > 0 b) P ( A ∩ B ) = P ( A ) − P ( A − B ) = 0,4 − 0,3 = 0, c) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0,4 + 0,6 − 0,1 = 0, d) P (^ A ∪ B )^ = 1 − P( A ∪ B ) = 1 − 0,9 = 0, 21 En un experimento aleatorio donde^ P ( A )^ =^ 0,3;^ P ( A^ ∪^ B )^ =^ 0,6 y^ P^ (^ B )^ =^ 0,4, calcula: a) P ( B ) b) P ( A ∩ B ) c) P ( A ∆ B ) d) P (^ A ∩ B ) a) P ( B ) = 1 − P (^ B )^ = 1 − 0,4 = 0, b) P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A U B ) = 0,3 + 0,6 − 0,6 = 0, c) P ( A ∆ B ) = P ( A ) + P ( B ) − 2 P ( A ∩ B ) = 0,3 + 0,6 − 2 ⋅ 0,3 = 0, d) P (^ A ∩ B )^ = P ( A ) − P ( A ∩ B ) = 0,3 − 0,3 = 0
8. Probabilidad^325
22 En un experimento aleatorio donde P (^ A )^ = 0,7; P (^ A ∩ B )^ = 0,4 y P ( A ∩ B ) = 0,2, calcula: a) P ( A ) b) P ( B ) c) P ( A ∪ B ) d) P (^ A ∩ B ) a) P ( A ) = 1 − P (^ A )^ = 1 − 0,7 = 0, b) P (^ A ∩ B )^ = P ( B ) − P ( A ∩ B ) → P ( B ) = P (^ A ∩ B )^ + P ( A ∩ B ) = 0,4 + 0,2 = 0, c) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0,3 + 0,6 − 0,2 = 0, d) P (^ A ∩ B )^ = P ( A ) − P ( A ∩ B ) = 0,3 − 0,2 = 0,
Desafío matemático (página 217)
23 De los 60 alumnos de Bachillerato, 50 obtuvieron buenos resultados en Matemáticas, 40 en Filosofía y 35 en Inglés. Además, 32 obtuvieron buenos resultados en Matemáticas y Filosofía, 28 en Matemáticas e Inglés y 18 en Filosofía e Inglés. Solo 10 alumnos obtuvieron buenos resultados en las tres asignaturas. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un alumno con buenos resultados en alguna de las tres? Realiza un diagrama de Venn de la situación y busca información sobre el principio de inclusión-exclusión para generalizar el resultado. Consideramos estos sucesos: A = ser un estudiante con buenos resultados en Matemáticas B = ser un estudiante con buenos resultados en Filosofía C = ser un estudiante con buenos resultados en Inglés Comprobar que los alumnos realizan correctamente un diagrama de Venn de la situación, observando si tienen en cuanta las intersecciones que se producen. El principio de inclusión-exclusión nos permite obtener la cantidad de elementos (o la probabilidad) de la unión de varios conjuntos gracias a las intersecciones entre ellos. De este modo: P ( A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ An ) = P ( Ai ) i = 1
n ∑ −^ i , j :1 ∑≤ i < j ≤ (^) nP^ (^ Ai^ ∩^ Aj )+
- P (^) ( Ai ∩ Aj ∩ Ak ) i , j , k :1^ ∑≤ i < j <^ k ≤ n
− ... + (^ − 1 ) n +^1 P ( A 1 ∩ ... ∩ An ) Y para 3 conjuntos resulta: P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) +
8. Probabilidad^327
26 Si los sucesos A y B cumplen que P ( A ) = 0,4; P ( B ) = 0,3; y P ( B | A ) = 0,25, halla: a) P ( A ∩ B ) b) P ( A | B ) c) P ( A ∪ B ) a) P ( B | A ) = P^ (^ A^ ∩^ B ) P ( A )
→ P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B | A ) = 0,4 ⋅ 0,25 = 0,
b) P ( A | B ) = P^ (^ A^ ∩^ B ) P ( B )
c) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0,4 + 0,3 − 0,1 = 0, 27 Los sucesos A , B y C cumplen que P ( A ) = 0,5; P ( B ) = 0,5; P ( C ) = 0,4; P ( A ∪ B ) = 0,8; y P ( B | C ) = 0,9. Si A y C son incompatibles, calcula: a) P ( A ∩ B ) b) P ( A | B ) c) P ( C | B ) d) P ( A | C ) ¿Son independientes algunos de los sucesos? a) P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∪ B ) = 0,5 + 0,5 − 0,8 = 0, b) P ( A | B ) = P^ (^ A^ ∩^ B ) P ( B )
= 0,4 → A y B no son independientes.
c) P ( B | C ) = P^ ( B^ ∩^ C^ ) P ( C )
→ P ( B ∩ C ) = P ( C )⋅ P ( B | C ) = 0,4 ⋅ 0,9 = 0,
→ P ( C | B ) = P^ ( B^ ∩^ C^ )
P ( B )
= 0,72 → B y C no son independientes.
d) P ( A | C ) = P^ (^ A^ ∩^ C^ ) P ( C )
= 0 → A y C no son independientes.
28 El pronóstico del tiempo indica que mañana lloverá con una probabilidad de 0,7. Aunque también han hablado de que la probabilidad de que salga el sol es de 0,4. Si la probabilidad de que ocurra alguno de estos fenómenos es de 0,9: a) Calcula la probabilidad de que llueva y haga sol. b) Halla la probabilidad de que no llueva y no haga sol. c) Si el día amanece lloviendo, ¿cuál es la probabilidad de que haga sol? d) ¿Son independientes los sucesos salir el sol y llover? Definimos los sucesos: L = llover y S = salir el sol a) P ( L ∩ S ) = P ( L ) + P ( S ) − P ( L ∪ S) = 0,7 + 0,4 − 0,9 = 0, b) P L (^ ∩ S )^ = P L (^ ∪ S )^ = 1 − P ( L ∪ S) = 1 − 0,9 = 0, c) P ( S | L ) = P^ (^ S^ ∩^ L ) P ( L )
d) P ( S | L ) ≠ P ( S ) → No son independientes. 29 En un juego de rol se utilizan dos dados de 6 caras. En un momento del juego hay que cruzar un río. Al lanzar los dados si la suma es múltiplo de 3 te lleva la corriente, si es mayor que 7 aparecen cocodrilos y si es múltiplo de 2 construyes una barca para cruzar. a) Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos simples. b) Halla la probabilidad de que construyas la barca para cruzar y te lleve la corriente. c) Si no consigues construir la barca, calcula la probabilidad de que haya cocodrilos. d) Si construyes la barca, calcula la probabilidad de que no haya cocodrilos y que no te lleve la corriente. e) Calcula la probabilidad de no construir la barca si hay cocodrilos.
(^328) BLOQUE. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
L = llevarte la corriente C = aparecer cocodrilos B = construir una barca a) P ( L ) = 3612 =^31 , P ( C ) = 15 36
, P ( B ) = 18
b) P ( L ∩ B ) = 6 36
c) P ( C | B ) = P C^ ∩^ B
( ) P B (^ )^
d) P ( C ∩ L | B ) = P C^ ∩^ L^ ∩^ B
( ) P ( B )
e) P (^ B | C )^ = P B^ ∩^ C
( ) P ( C )
30 Tenemos dos urnas, la A con 3 bolas rojas y 2 negras, y la B con 3 rojas y 4 negras. Se lanza un dado, si sale un número menor que 3 se saca una bola de la urna A. En caso contrario, se extrae una bola de la urna B. a) Calcula la probabilidad de que salga un número menor que 3 y la bola extraída sea negra. b) Determina la probabilidad de extraer una bola roja si se obtiene un número mayor que 2 en el dado. c) Halla la probabilidad de extraer una bola roja. d) Si se extrae una bola negra, ¿cuál es la probabilidad de que en el dado haya salido un número mayor que 2? M = salir menor que 3 N = salir negra R = salir roja a) P ( M ∩ N ) = P ( M ) ⋅ P ( N | M ) = 26 ⋅^25 =^152 b) P (^ R | M )^ = 3 7 c) P ( R ) = P ( M ) ⋅ P ( R | M ) + P (^ M )^ ⋅ P R ( | M ) = 2 6
d) (^) P ( M | N ) = P^ M^ Ç^ N
( ) P ( N )
= P^ M
( ) (^) × P N ( (^) | M ) P ( M ) × P ( N | M ) + P (^ M )× P N ( | M )
× 4
× 2
× 4
31 Se ha realizado un estudio sobre el examen para obtener el carné de conducir coches. El 80 % aprueban el examen teórico a la primera y de ellos, el 40 % aprueba el examen práctico también a la primera. Sin embargo, el 50 % de los que no aprueban a la primera el teórico aprueban a la primera el práctico. a) Calcula la probabilidad de obtener el carné de conducir aprobando los dos exámenes a la primera. b) Halla la probabilidad de suspender el examen práctico sabiendo que ha suspendido el teórico a la primera. c) Halla la probabilidad de aprobar el examen práctico a la primera. d) Calcula la probabilidad de que una persona que haya suspendido el examen práctico a la primera haya aprobado el teórico a la primera.
(^330) BLOQUE. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Combinatoria (página 222) 34 Se va a realizar una comida de empresa en la que son 48 trabajadores. a) El menú consta de 3 primeros platos, 3 segundos y 3 postres. ¿Cuántos menús distintos pueden elegir? b) Si las mesas son de 8 comensales, ¿de cuántas formas distintas se pueden agrupar? c) Se decide que en cada mesa se sienten 2 de los 12 directivos y 6 de los 36 empleados restantes. ¿Cuántas agrupaciones distintas se pueden hacer? d) En cada mesa de 8, ¿de cuántas formas distintas pueden sentarse? e) Si los 2 directivos se sientan juntos, ¿cuántas posibles colocaciones hay en cada mesa? a) Las posibles elecciones de un primer plato se obtienen calculando las combinaciones de 3 elementos: C 3 , 1 = (^31)
⎟⎟ =^
= 3 , al igual que los segundos y los postres. Por tanto, el número posible de menús se obtiene multiplicando los resultados anteriores: C 3 , 1 ⋅ C 3 , 1 ⋅ C 3 , 1 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27 posibles menús b) Como no importa el orden en las mesas, para hallar las distintas agrupaciones calculamos las combinaciones de los 48 trabajadores elegidos de 8 en 8: C 48 , 8 = (^488)
⎟⎟ =^
Luego, se pueden sentar de C 48 , 8 ⋅ C 40 , 8 ⋅ C 32 , 8 ⋅ C 24 , 8 ⋅ C 16 , 8 ⋅ C 8 , 8 ≈ 2,889 ⋅ 1033 formas distintas. c) Para saber de cuántas maneras se pueden agrupar los directivos calculamos: C 12 , 2 = (^122)
⎟⎟ =^66
Y los demás trabajadores: C 36 , 6 = (^168)
⎟⎟ =^ 1947 792
Por tanto, se pueden hacer: C 12 , 2 ⋅ C 36 , 6 = 66 ⋅ 1947 792 = 128 554 272 agrupaciones distintas d) Si se sentaran en fila se trataría de permutaciones de 8, es decir: P 8 = 8! Pero como están en mesas, es como si estuvieran en círculo, por lo que son permutaciones de 8 − 1 = 7, por tanto, hay P 7 = 7! = 5 040 formas de sentarse. e) Al sentarse los 2 directivos juntos los consideramos una sola persona, luego se trata de permutaciones de 7 − 1 = 6, pero como se pueden intercambiar multiplicamos por 2, luego hay: 2 ⋅ P 6 = 2 ⋅ 6! = 1 440 posibles colocaciones Ahora tú (página 222) Actividad digital 35 (E y D) 35 Una tienda de ropa tiene en una estantería 6 modelos de pantalones, 7 de camisetas y 5 de jerséis. a) ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden hacer eligiendo un pantalón, una camiseta y un jersey? b) Cada modelo está en un hueco diferente de la estantería. ¿De cuántas formas se puede colocar toda la ropa? c) Si queremos ahora que estén todos los pantalones primero, luego todas las camisetas y por último, todos los jerséis, ¿cuántas formas hay de colocarlo? d) Ahora el gerente de la tienda quiere repartir en 3 estanterías todos los artículos. ¿De cuántas formas se pueden repartir? e) ¿Y si queremos que haya en cada estantería al menos un modelo de pantalón, uno de camiseta y uno de jersey?
Ejercicios resueltos (páginas 222/225)
8. Probabilidad^331
a) (^) C 6 , 1 ⋅ C 7 , 1 ⋅ C 5 , 1 = 6 ⋅ 7 ⋅ 5 = 210 d) VR 6, 3 ⋅ VR 7, 3 ⋅ VR 5, 3 = 36 ⋅ 37 ⋅ 35 = 318 b) P 6 + 7 + 5 = P 18 = 18! = 6,40 ⋅ 1015 e) 6 VR 3, 3 ⋅ 7 VR 4, 3 ⋅ 5 VR 2, 3 = 6 ⋅ 33 ⋅ 7 ⋅ 34 ⋅ 5 ⋅ 32 = 2 ⋅ 310 ⋅ 5 ⋅ 7 c) P 6 ⋅ P 7 ⋅ P 5 = 6! ⋅ 7! ⋅ 5! = 43 545 600
Probabilidad (página 223) 36 En una encuesta sobre el ocio durante el fin de semana, se obtienen estos resultados: el 70 % de los encuestados sale a comer fuera, el 40 % va al cine y el 20 %, al teatro, y el 90 % hace alguna de ellas. Si el 30 % come fuera y va al cine, el 25 % come fuera y va al teatro, y el 15 % va al cine y al teatro, calcula la probabilidad de que al elegir un encuestado al azar: a) realice las tres actividades. c) realice solo dos de las tres actividades. b) vaya al cine y no coma fuera. Definimos los sucesos A = comer fuera , B = ir al cine y C = ir al teatro. Por tanto, sabemos que: P ( A ) = 0,7; P ( B ) = 0,4; P ( C ) = 0,2; P ( A ∪ B ∪ C ) = 0,9; P ( A ∩ B ) = 0,3; P ( A ∩ C ) = 0,25 y P ( B ∩ C ) = 0, a) Tenemos que calcular P ( A ∩ B ∩ C ). Si sumamos las probabilidades de A , B y C , las intersecciones entre ellos las contamos dos veces e incluso la intersección de los tres conjuntos está contada 3 veces (en A , en B y en C ), así que debemos restarlas. Esta operación P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) elimina la intersección de los tres ya que la cuenta tres veces y la resta tres veces, por tanto, si la añadimos obtenemos: P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) Si sustituimos los valores, resulta: 0,9 = 0,7 + 0,4 + 0,2 − 0,3 − 0,25 − 0,15 + P ( A ∩ B ∩ C ), es decir: 0,9 = 0,6 + P ( A ∩ B ∩ C ) → P ( A ∩ B ∩ C ) = 0, b) En este caso, hay que calcular P (^ A ∩ B ), representada en estos diagramas de Venn como la parte coloreada: P (^ A ∩ B )^ = P ( B ) − P ( A ∩ B ) Es decir: (^) P (^ A ∩ B )^ = 0,4 − 0,3 = 0, c) Ahora tenemos que calcular la parte coloreada representada en estos diagramas de Venn. Observa que hemos quitado la parte de la triple intersección ya que pueden realizar solo dos actividades, y para obtener su probabilidad, a cada intersección doble le podemos quitar la intersección triple, obteniendo de este modo: [ P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ B ∩ C )] + [ P ( A ∩ C ) − P ( A ∩ B ∩ C )] + [ P ( B ∩ C ) − P ( A ∩ B ∩ C )] = = [0,3 − 0,1] + [0,25 − 0,1] + [0,15 − 0,1] = 0,
Ahora tú (página 223) Actividad digital 37 (E y D) 37 El tutor de los alumnos de 1.º de Bachillerato les ha pasado una encuesta sobre las actividades extraescolares que les gustaría realizar. El 90 % de ellos quiere realizar alguna actividad: un 70 % quiere ir de viaje de fin de curso, un 40 % quiere hacer regalos a sus compañeros con “el amigo invisible” y un 80 % quiere visitar el “Museo de las matemáticas”. Además, hay un 60 % que quiere ir al Museo y también de viaje de fin de curso, un 30 % que quiere ir de viaje de fin de curso y también el “amigo invisible” y un 25 % que quiere hacer las tres actividades. Si elegimos un alumno al azar, calcula cuál es la probabilidad de que: a) quiera ir al Museo y también quiera hacer “el amigo invisible”. b) solo quiera ir al museo. c) quiera ir de viaje de fin de curso, pero no quiera hacer “el amigo invisible”.
A B
C
A B
C A B
C
8. Probabilidad^333
Ahora tú (página 224) Actividad digital 39 (E y D) 39 En una partida de cartas se reparten 4 a cada jugador de la baraja española (40 cartas: 10 cartas de cada palo). a) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan en mi mano cada carta de un palo diferente? b) Halla la probabilidad de que las 4 cartas sean de oros. c) Sabiendo que las cuatro son de oros, ¿cuál es la probabilidad de que no haya figuras? d) Si las cuatro cartas son de diferente palo, ¿cuál es la probabilidad de que sean el mismo número? a) P ( salir cada carta de un palo diferente ) = 40 40
b) P ( salir 4 cartas que sean de oros ) = 10 40
c) P ( no salir figuras | salir 4 cartas de oros ) =
d) P ( salir cartas del mismo número | ser de palos distintos ) =
40 En una encuesta realizada en una ciudad se concluyó que el 30 % de los niños menores de 6 años y el 60 % de los niños entre 6 y 12 años saben patinar, mientras que de los jóvenes de 12 a 18 años saben el 50 %. Al hacer la encuesta se preguntó al mismo número de niños menores de 6 que de 6 y 12 años, pero al doble de jóvenes. Si se elige un menor de edad al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sepa patinar y sea menor de 12 años? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sepa patinar? c) Si sabe patinar, ¿cuál es la probabilidad de que sea menor de 12 años? Definimos los sucesos A = ser menor de 6 años , B = tener entre 6 y 12 años , C = tener entre 12 y 18 años y S = saber patinar. Como hay el mismo número de niños menores de 6 años que entre 6 y 12 años, sus probabilidades son iguales, es decir: P ( A ) = P ( B ) = x Y como hay el doble de jóvenes entre 12 y 18 años, su probabilidad será el doble: P ( C ) = 2 x Como A , B y C es un sistema completo de sucesos sabemos que: P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) = 1 → x + x + 2 x = 1 → 4 x = 1 → x = 1 4 Por tanto: P ( A ) = 1 4
, P ( B ) = 1
y P ( C ) = 2 4
Por otra parte, P ( S | A ) = 0,3; luego, P^ (^ S^ |^ A )^ =^ 0,7^ porque suman 1. De la misma manera como P ( S | B ) = 0,6: P (^ S | B )^ = 0, Y como P ( S | C ) = 0,5: P (^ S | C )^ = 0, Podemos construir un diagrama de árbol para representar todos los datos.
S S^ – S B
C
A
0,
0,
0,
0, 0, 0,
S^ – S S^ –
—^1 4
—^1 2
—^1 4
(^334) BLOQUE. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
a) Como ser menor de 12 años incluye a los menores de 6 y a los que tienen edades entre 6 y 12 años, la probabilidad pedida es: P (( A È B ) Ç S ) = P (( A Ç S ) È ( B Ç S )) = P ( A Ç S ) + P ( B Ç S ) = P ( A ) × P ( S | A ) + P ( B ) × P ( S | B ) = = 1 4
b) Si aplicamos el teorema de la probabilidad total obtenemos: P (^ S )^ = P ( A ) ⋅ P (^ S | A )^ + P ( B ) ⋅ P (^ S | B )^ + P ( C ) ⋅ P (^ S | C )^ = 1 4
c) Aplicamos el teorema de Bayes, y como ser menor de 12 incluye a menores de 6, y entre 6 y 12 años:
P (( A ∪ B ) | S ) = P ( A | S ) + P ( B | S ) = P^ (^ A )^ ⋅^ P^ (^ S^ |^ A ) 1 − P (^ S )^
+ P^ ( B )^ ⋅^ P^ (^ S^ |^ B )
1 − P (^ S )^
Ahora tú (página 225) Actividad digital 41 (E y D) 41 Para realizar el trayecto de Madrid a Barcelona para disfrutar de un puente, hubo gente que viajó en coche, otros en tren y otros en avión. De los que fueron en coche el 60 % se retrasó respecto de la hora que tenían previsto llegar y el 30 % de los que eligieron el avión, mientras que no hubo retrasos entre los que fueron en tren. Sabemos que hubo el mismo número de viajeros en avión que en tren y el doble prefirió ir en coche. Si se elige al azar una persona que realizó este trayecto, calcula la probabilidad de que: a) llegara a tiempo y viajara en tren. b) llegara a la hora prevista c) viajara en avión si llegó a tiempo. d) viajara en avión o tren si llegó a tiempo. Definimos los sucesos R = llegar con retraso , C = viajar en coche , A = viajar en avión y T = viajar en tren. 2 x + x + x = 1 → x = 1 4
→ P ( C ) = 1
, P ( A ) = 1
y P ( T ) = 1 4 P ( R | C ) = 0,6, P ( R | A ) = 0,3 y P ( R | T ) = 0
a) P (^ T ∩ R )^ = P ( T ) ⋅ P T ( ∩ R | T ) = 1 4
b) P (^ R )^ = P ( C ) ⋅ (1 − P ( R | C )) + P ( A ) ⋅ (1 − P ( R | A )) + P ( T ) ⋅ (1 − P ( R | T )) = 1 2
c) P ( A | R ) = P^ (^ A )^ ⋅^ P R (^^ |^ A ) P R (^ )^
d) P ( A ∪ T | R ) = P^ (^ A )^ ⋅^ P R (^^ |^ A )^ +^ P^ ( T^ )^ ⋅^ P R (^^ |^ T ) P R (^ )^
4 ⋅^ 0,7^ +^
4 ⋅^1
(^336) BLOQUE. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
48 Una reunión de políticos sobre digitalización en las aulas en el Parlamento Europeo está formada por un representante de 15 países diferentes. Si cada uno de estos políticos le da la mano al resto de los participantes, ¿cuántos apretones de manos se dan en esta reunión en total? En esta actividad se abordan temas relacionados con los ODS 4, Educación de calidad, y 17, Alianza para lograr los objetivos. El primero puede dar la mano a 14 diferentes; el segundo a 13, ya que ya se dio la mano con el primero; el tercero a 12 y así sucesivamente. Por tanto, se pueden dar: 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 14 ⋅^ ( 14^ +^ 1) 2
= 105 apretones de manos
49 ¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular de 17 lados siendo una diagonal el segmento que une dos vértices no consecutivos? De cada vértice sale una diagonal a los demás vértices, excepto a sí mismo y a los vértices que tiene a los lados. De este modo la mitad de las diagonales estaría repetida, ya que se cuentan una vez cuando parten desde un lado y otra desde el otro. Una fórmula general para el número de diagonales de un polígono regular sería: d = n^ ⋅^ ( n^ −^ 3) 2
, siendo d el número de diagonales de un polígono con n lados.
Y para este caso: 17 ⋅^ ( 17^ −^ 3) 2
= 119 diagonales
50 En la última Competición matemática organizada por un centro escolar se han repartido 3 premios entre los 100 participantes. a) ¿De cuántas maneras se pueden repartir si son 3 premios diferentes? b) ¿Y si son 3 premios iguales? a) Si cada participante no puede ganar más de un premio hay: V 100, 3 = 100! ( 100 − 3)!
= 100 ⋅ 99 ⋅ 98 = 970 200 maneras Si cada participante puede ganar uno o más premios hay: 100 ⋅ 100 ⋅ 100 = 106 maneras b) No tiene sentido que uno pueda ganar tres premios iguales. Entonces, se premian a tres participantes distintos. Hay: C 100, 3 = (^1003)
⎟⎟ =^
= 161 700 maneras
51 El código Morse está formado por los símbolos “punto” y “raya”, pudiendo encadenar hasta 5 seguidos. ¿Cuántos símbolos se pueden formar con esta combinación? La cantidad de símbolos que se pueden formar en total es la suma de los que se pueden formar desde uno hasta cinco símbolos “punto” y “raya”. Con un carácter: 2 Con 2 caracteres: 2^2 = 4 Con 3 caracteres: 2^3 = 8 Con 4 caracteres: 2^4 = 16 Con 5 caracteres: 2^5 = 32 Luego se pueden formar: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62 símbolos 52 Para el examen de Filosofía hay que contestar 3 de las 8 preguntas que tiene el examen. ¿Cuántos exámenes diferentes se pueden hacer? Son combinaciones de 8 elementos tomados de 3 en 3 ya que no importa el orden de las preguntas escogidas. Se pueden hacer: C 8, 3 = (^83)
⎟⎟ =^
(8 − 3)! ⋅ 3! =^ 56 exámenes diferentes
8. Probabilidad^337
53 Un dominó está formado por fichas con 2 números cada uno entre 0 y 6, de forma que cada ficha es diferente y están todas las combinaciones.
a) ¿Cuántas fichas hay en el juego del dominó? b) Para empezar el juego se coge una mano, que son 7 fichas. ¿De cuántas formas distintas se pueden coger estas fichas? c) ¿Cuántas manos tienen un seis doble? a) Hay un total de: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 fichas diferentes b) Se trata de combinaciones de 28 elementos tomados de 7 en 7 ya que no importa el orden de las que formen la mano. Se pueden coger de: C 28, 7 = (^287)
⎟⎟ =^
(28 − 7 )! ⋅ 7! =^1 184 040 formas diferentes c) Si partimos de que la primera ficha que tomamos es un seis doble, son: combinaciones de 27 = 28 − 1 elementos tomados de 6 = 7 − 1 en 6. Con esta condición, hay: C 27, 6 = (^276)
⎟⎟ =^
(27 − 6)! ⋅ 6! =^ =^296 010 manos diferentes 54 En la última reunión de la ONU se juntaron 10 representantes en una mesa redonda a debatir propuestas para resolver la crisis climática. a) ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar estos representantes? b) Si han decidido sentarse juntos el representante de China y el de EE UU, ¿de cuántas formas pueden sentarse el resto de representantes? En esta actividad se abordan temas relacionados con los ODS 13, Acción por el clima, 16, Paz, justicia e instituciones sólidas, y 17, Alianza para lograr los objetivos. a) Se trata de permutaciones de 10 elementos pero en círculo, que equivale a las permutaciones de: 9 = 10 − 1 elementos Pueden sentarse de: P 9 = 9! = 362 880 formas diferentes b) Si dos han decidido sentarse juntos podemos contarlos como uno solo, pero teniendo en cuenta que entre ellos pueden permutarse. Con esta condición, pueden sentarse de: P 2 ⋅ P 8 = 2 ⋅ 8! = 80 640 formas diferentes
Probabilidad. Propiedades (página 227)
55 Indica cuáles de estos experimentos son aleatorios. a) Medir la velocidad de un cohete tras 10 segundos de vuelo. b) Que al comprar unos zapatos, tras usarlos el primer día te duelan los pies. c) Comer una naranja y que este muy dulce. d) Medir las pulsaciones antes de acostarse. a) No. Conociendo la aceleración y velocidad inicial, esa velocidad puede ser calculada. b) Sí. No se puede saber previamente. c) Sí. Hasta que no se prueba no se puede saber qué tan dulce es. d) Sí. Las pulsaciones varían por muchos factores y hay pequeñas variaciones en las pulsaciones incluso en reposo.
