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EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL
- Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Ambos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad diaria máxima es de 240 lb. Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb por unidad de A y de 4 lb por unidad de B. Las utilidades de A y B son de $20 y $50, respectivamente. Determine la combinación óptima de productos para la compañía. Rta/. Óptimo: (80,20). Utilidad máxima: $ 2600
Solución
Construimos la matriz de programación lineal:
CONSUMO UNITARIO (lb) RECURSO
PRODUCTO
A
PRODUCTO
B
DISPONIBILIDAD
MÁXIMA (DÍA)
Materia prima
UTILIDAD 20 50
Formulamos el modelo matemático de programación lineal:
Las variables de decisión son:
x 1 : unidades fabricadas del producto A por día
x 2 : unidades fabricadas del producto B por día
La función objetivo es
Maximizar 𝑈 = 20𝑥 1 + 50𝑥 2
Sujeta a las restricciones
𝑥 1 ≥ 0.80(𝑥 1 + 𝑥 2 )
0.20𝑥 1 − 0.80𝑥 2 ≥ 0 (1)
𝑥 1 ≤ 100 (2)
2𝑥 1 + 4𝑥 2 ≤ 240
𝑥 1 + 2𝑥 2 ≤ 120 (3)
𝑥 1 , 𝑥 2 ≥ 0 (Condición de no negatividad)
0.20𝑥 1 − 0.80𝑥 2 ≥ 0 (1)
𝑥 1 ≤ 100 (2)
𝑥 1 + 2𝑥 2 ≤ 120 (3)
Algoritmo Simplex
Transformamos las desigualdades en igualdades agregando variables auxiliares:
𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 ≥ 0 (Condición de no negatividad)
Por lo tanto,
n m 5 3 2 grados de libertad
Se asumen las variables de decisión iguales a cero( x 1 x 2 0 )
Cálculo del Algoritmo Simplex
Se reescribe la función objetivo:
𝑢 = 20𝑥 1 + 50𝑥 2
𝑢 − 20𝑥 1 − 50𝑥 2 = 0
Se construye la Tabla inicial Simplex:
BÁSICA U x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 SOLUCIÓN
U^1 -20^ -50^0 0 0
S 1 0 -0.20^ 0.80^1 0 0
S 2 0 1 0 0 1 0 100
S 3 0 1 2 0 0 1 120
Primera iteración: El método inicia en el origen(^ x 1 ^ x 2 ^0 )
BÁSICA x 2 SOLUCIÓN COCIENTE
S 1 0.80 0 0/0.80 (Mínimo)
S 2 0 100 100/
S 3 2 120 120/
Sale la variable 𝑆 1 e ingresa la variable 𝑥 2
BÁSICA U x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 SOLUCIÓN
U 1 -20 -50 0 0 0 0
S 2 0 1 0 0 1 0 100
x 1 0 1 0 - 1.67 0 0.67 80
BÁSICA U x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 SOLUCIÓN
U^1 0 0 8.23^0 21.78^2600
S 2 0 0 0 1.67 1 -0.67 20
x 1 0 1 0 -1.67 0 0.67 80
Los valores óptimos de las variables aparecen en la columna solución y se interpretan así:
VARIABLE DE DECISIÓN
VALOR
ÓPTIMO
INTERPRETACIÓN
x 1 80
Se deben producir 80 unidades diarias del primer producto
x 2 20
Se deben producir 20 unidades diarias del segundo producto
La utilidad máxima es de $
Solución con el software R
library(linprog) Loading required package: lpSolve coef<-c(20,50) A<-matrix(c(0.20,1,1,-0.80,0,2),ncol=2) b<-c(0,100,120) dir<-c(">=","<=","<=") solucion <- solveLP(coef, b, A, maximum=TRUE, dir) summary(solucion)
Results of Linear Programming / Linear Optimization
Objective function (Maximum): 2600
Solution opt 1 80 2 20
- Una empresa produce un alimento especial el cual es una mezcla de maíz y soya con la siguiente composición:
lb por lb de forraje Forraje Proteína Fibra Costo ($/lb) Maíz 0.09 0.02 0. Soya 0.60 0.06 0.
La empresa consume diariamente un mínimo de 800 libras del alimento. Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo del 30% de proteína y un máximo del 5% de fibra con respecto a la mezcla total de maíz y soya. Se desea determinar la mezcla diaria que debe usarse del forraje para que el costo sea mínimo
SOLUCIÓN
Construimos la matriz de programación lineal, por lo tanto, debemos transponer la matriz original para que nuestras variables de decisión queden en las columnas:
Contenido por libra Maíz Soya Necesidades dietéticas Proteína 0.09 0.60 Mínimo 30% Fibra 0.02 0.06 Máximo 5% Costo ($/lb) 0.30 0.
Formulamos el modelo matemático de programación lineal:
Las variables de decisión son:
x 1 : lb de maíz utilizadas en la mezcla
x 2 : lb de soya utilizadas en la mezcla
- Una fábrica utiliza 3 operaciones para armar tres tipos de juguetes: trenes, camiones y carros. Se desea determinar la cantidad diaria que se debe fabricar de cada uno de los juguetes con el fin de maximizar el ingreso. La información disponible se resume en la siguiente tabla:
Tiempo de ensamble por unidad de
producto (min)
Operación Tren Camión Carro
Tiempo
disponible (min)
Ingreso por
unidad
