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SUCESIONES Y PROGRESIONES ARITM´ETICAS Y GEOM´ETRICAS
EJERCICIOS I
1 Dado el t´ermino general, escribe los cuatro primeros t´erminos de las sucesiones: a) an = 2n + 5 b) an = 3 − 2 n c) an = (^2) nn+2+1 d) an = n^2 + 1
2-Calcula los cinco primeros t´erminos de las siguientes sucesiones recurrentes: a) a 1 = 1, a 2 = 2, an = an− 1 + an− 2 b) a 1 = −5, an = 3an− 1 + 7 c) a 1 = −2, a 2 = 4, an = 2an− 1 + 3an− 2 d) a 1 = 2, an = (^) an^1 − 1
3-Escribe los t´erminos a 10 y a 25 de las siguientes sucesiones: a) an = 3n − 1 b) bn = n^22 +1 c) cn = (−1)n^ + (^) n^1
4- Halla el t´ermino general de estas sucesiones: a) 12, 14 , 16 , 18 , ... b)^12 , 23 , 34 , 45 , ... c) 1, 3 , 5 , 7 , ..., d) 1, 3 , 9 , 27 , ...
5-En la progresi´on aritm´etica 8, 13, 18, 23,... calcula: a) su t´ermino general b) a 25 c) a 40
6- Calcula el primer t´ermino de una progresi´on aritm´etica, sabiendo que la diferencia es 84 y el d´ecimo t´ermino 459.
7-Calcular la diferencia de una progresi´on aritm´etica, sabiendo que sus t´erminos primero y s´eptimo son 8 y 72, respectivamente.
8-Halla el primer t´ermino y el t´ermino general de las siguientes progresiones aritm´eticas: a) d = 5, a 8 = 37 b) a 11 = 17, d = 2
9-Halla la diferencia y el primer t´ermino de las progresiones aritm´eticas siguientes: a) a 2 = 18, a 7 = − 17 b) a 4 = 15, a 12 = 39
10-Calcular el n´umero de t´erminos de una progresi´on aritm´etica, sabiendo que su primer termino es 1, su ultimo t´´ ermino 1241, y su diferencia 5.
Soluciones I: 1 - a) 7, 9, 11, 13... , b) 1, −1, −3, −5,... , c) 1,^54 ,^75 ,^96 , − 32 ,... , d) 2, 5, 10, 17,... 2 - a) 1, 2, 3, 5, 8,... b) −5, −8, −17, −44, −125,... c) −2, 4, 2, 16, 38,... d) 2, 12 , 2, 12 ,...
3 -
a 10 = 29 a 25 = 74
b 10 = 1012 = 50, 5 b 25 = 6262 = 313
c 10 = 1 + 101 = (^1110) c 25 = −1 + 251 = − (^2425) 4 a) an = 10 + 2n b) an = (^) nn+1 b) an = 2n − 1 5 a) an = 5n + 3 b) a 25 = 128 c) a 40 = 203 6 - a 1 = − 297 7 - d = 323 8 - a) a 1 = 2, an = −3 + 5n b) a 1 = −3, an = −5 + 2n, 9 - a) d = −7, b) d = 3, a 1 = 6, 10 - n = 249
EJERCICIOS II
1-Los t´erminos tercero y s´eptimo de una progresi´on aritm´etica son 11 y 35, respectivamente. Calcula el primer t´ermino.
2-Calcula la suma de los t´erminos de una progresi´on aritm´etica de doce t´erminos, sabiendo que el primero es −1 y el ´ultimo 121.
3-El primer t´ermino de una progresi´on aritm´etica es 20, y su diferencia −2. Calcula la suma de los sus catorce primeros t´erminos.
4-Calcula la suma de los t´erminos de una progresi´on aritm´etica, sabiendo que tiene ocho t´erminos, que el ultimo t´´ ermino es 65, y que su diferencia es 8.
5-La suma de los t´erminos de una progresi´on aritm´etica es 198. Calcula el ´ultimo t´ermino sabiendo que:a 1 = n = 18
6-Halla el n´umero de t´erminos de una progresi´on aritm´etica, sabiendo que el primero y el ´ultimo son −1 y 13, respectivamente, y que la diferencia es 2
7-Un jardinero desea plantar ´arboles formando con ellos un tri´angulo de modo que haya un ´arbol en la primera fila, dos ´arboles en la segunda, tres en la tercera,...... ¿Cu´antos ´arboles plantar´a si forma un total de 41 filas?
8-Durante 15 d´ıas se observ´o el crecimiento del tallo de una semilla germinada. El primer d´ıa med´ıa 10mm y el ´ultimo 80. ¿Cu´anto creci´o diariamente si el tallo aument´o en una cantidad fija cada d´ıa?
9-Calcula la suma de los veinte primeros t´erminos de las siguientes progresiones aritm´eticas: a) a 1 = 5, d = 2 b) a 1 = −1, a 2 = − 7 c) Los n´umeros pares. Los m´ultiplos de 3.
10-La progresi´on 6, 11 , 16 , 21 , ..., 126. ¿Cu´antos t´erminos tiene?
11-Un deportista entrena tres semanas seg´un el siguiente plan: el primer d´ıa corre 15 minutos e incrementa la duraci´on de la carrera en 5 minutos cada d´ıa. a) ¿Cu´anto tiempo corri´o el ´ultimo d´ıa? b)¿Y a lo largo de las tres semanas?
12- Se˜nala cu´ales de las siguientes sucesiones son progresiones aritm´eticas y cu´ales son geom´etricas, e indica en cada caso cual es la diferencia o la raz´on: a) 2, − 2 , 2 , − 2 , 2 , − 2 , ... b) 2, − 4 , 6 , − 8 , 10 , − 12 , ... c)2, 6 , 18 , 54 , 162 , 486,... d) 3, − 6 , 12 , − 24 , 48 , − 96 ... e) 11, 13 , 15 , 17 , 19 ... f) 5, − 5 , 6 , − 6 , 7 , −7,... g)^52 , 2 , 32 , 1 , 12 , 0,...
Soluciones II: 1 )a 1 = − 1 2 )S 12 = 720 3 )S 14 = 98 4 ) S 8 = 296, 5 ) a 18 = 4, 6 ) n = 8, 7 ) 861 ´arboles. 8 ) d = 5, 9 ) a) a 20 = 43, S 20 = 480 b) d = −6, a 20 = −115, S 20 = −11600 c) d = 2 a 20 = 40, S 20 = 420, d) 1 = 3, d = 3,a 20 = 60, S 20 = 630 10 ) d =5, n = termos ten a sucesi´on 11 ) a) 115 min. b) 1365 min. 12 ) a) Progresi´on geom´etrica, r =-1, b) No es progresi´on. c) Progresi´on geom´etrica, r = 3, d) Progresi´on geom´etrica, r = −2, e) Progresi´on aritm´etica, d = 2, f) No es progresi´on, g) Progresi´on aritm´etica d = − 21
EJERCICIOS IV
1 ) Una empresa ofrece a un empleando un sueldo de 1 000 e y una subida de 100 e al a˜no. Otra le ofrece el mismo sueldo con una subida del 10 % anual. Razona cu´al de las dos es mejor comparando el sueldo dentro de 10 a˜nos. Decir que tipo de progresi´on es.
2 ) ¿Cu´anto dinero obtenemos si colocamos 3 000 e al 5 % de interese anual compuesto durante 4 a˜nos? ¿Y si lo colocamos durante 8 a˜nos?
3 ) Un material radioactivo pierde un 0’01 % de su masa cada a˜no. Si la masa inicial es de 340 g, ¿Cu´al ser´a su masa dentro de 100 a˜nos?
4 ) Calcular el capital que se impuso al 8 % si a los 10 a˜nos devolvieron 12.953,55 e como capital e intereses.
5 ) Calcular el capital que debe imponerse al 7,5 % para disponer de 30.000 e a los 6 a˜nos.
6 ) Una m´aquina envasadora pierde cada a˜no un 15 % de su valor. Si cost´o 20 000 e, ¿cu´al ser´a su valor dentro de 5 a˜nos? Soluciones IV: 1 ) Empresa A: 1000, 1100 , 1200 , 1300 , ... a 10 = 1900e Aritm´etica. Empresa B: 1000, 1100, 1210,..., a 10 = 2357, 95 e Geom´etrica. Es mejor la oferta de la empresa B. 2 ) CF = 3646, 52 e tenemos despu´es de 4 a˜nos, CF = 4432, 37 e tenemos despu´es de 8 a˜nos. 3 ) Masa dentro de 100 a˜nos ser´a: 336, 6 g. 4 ) 6, 000 e. 5 ) 19438, 85. 6 ) a 5 = a 1 · r^4 , a 5 = 20000 · (1 − 0 , 15)^4 = 10440e ser´a su valor dentro de 5 a˜nos.
