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EJERCICIOS RESUELTOS:

Sucesiones numéricas

Matemáticas

Elena Álvarez Sáiz

Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Universidad de Cantabria

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ejercicios: Sucesiones numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Sucesiones monótonas y sucesiones acotadas

1 Sucesiones monótonas: ejemplos

• La sucesión -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es monótona.
• La sucesión de término general

n

n

a

n

= tampoco es monótona.

• La sucesión de término general

n

a = n es monótona creciente y también

estrictamente creciente.

• La sucesión –1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es monótona creciente, pero no es

estrictamente creciente.

• La sucesión de término general

2

n

a = −n es monótona decreciente y es

también estrictamente decreciente.

• La sucesión

… es monótona decreciente, sin embargo

no es estrictamente decreciente.

Estudiar la monotonía de las siguientes sucesiones:

n

n

a

n

n

n

b

n

n

n

c

n

3

n

d

n

Solución:

a) Vamos a probar que los términos de esta sucesión verifican

1

n n

a a n

− > ∀ ∈  , es decir que se trata de una sucesión monótona

estrictamente creciente.

1

2 2

n n

n n n n

a a

n n n n

n n n n n n n n

n n n n n n

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ejercicios: Sucesiones numéricas

Fundamentos Matemáticos I

1. La sucesión cuyos primeros términos son los siguientes

Esta sucesión no es convergente, pero tampoco tiende a ∞ ni a −∞. Los términos

impares se hacen infinitamente grandes a medida que n crece. Sin embargo, los

términos pares tienden a 0, para n suficientemente grande. Se dice que esta sucesión

no tiene límite o bien que su carácter es oscilante.

2. La sucesión de término general ( 1)

n

n

a = − ⋅ n, cuyos primeros términos son:

Los términos de esta sucesión tampoco se acercan a un número concreto. Tienden a

∞ los términos pares y tienden a −∞ los términos impares. Por tanto, tampoco

tiene límite, son oscilantes.

Monotonía y acotación de

n

n

El término general de esta sucesión es una expresión indeterminada del tipo 1

∞

luego no es evidente que sea convergente. Se trata de una sucesión de números reales

positivos.

• Comprobamos en primer lugar que la sucesión es creciente.

Por aplicación de la fórmula del binomio de Newton, tenemos

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Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Sucesiones numéricas

2

2

n

n

n

n

n n n n

a

n n n n n

n n n n n n n

n n n

n n n

n

n n

la expresión de a

n

consta de n sumandos. El término siguiente se expresará así

1

n

n

a

n n n n n

n

n n n n

Esta expresión consta de n+1 sumandos. Como los sumandos de a

n+

son

mayores que sus correspondientes de a

n

, salvo el primero que es igual, resulta

que

a

n

< a

n+1 ∀ n∈ 

luego la sucesión a

n

es creciente.

• Vamos a comprobar ahora que la sucesión está acotada. Consideramos

para ello las siguientes expresiones:

n

a

n n n

n

n n n n

n

b

n

2 1

n

n

progresion geometrica

c

−

Comparándolas término a término resulta que, a partir de n = 3, se verifica:

1

n n n

n

a b c

−

Profesora: Elena Álvarez Sáiz S

Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Sucesiones numéricas

Resolviendo

6 2 6 2 2

6 3

n x n x x x

n n

Resolviendo

6 2 6 2 2

3 3

n x n x x x

n n

Para cada n la suma de las raíces positivas de la ecuación

6 2

n x − = es

3 3

n n

El conjunto para el que hay que calcular el supremo, ínfimo, máximo y

mínimo es

3

A /n

n

 se cumple que el supremo es 5 y el ínfimo es 0.

Como el supremo está en el conjunto (para n=1) se trata del máximo pero el

ínfimo no es mínimo porque no es un elemento del conjunto A.

Cálculo de límites: Definición

Demostrar, según la definición de límite, que se verifica:

lim 0 , 1

n

n

con r

r

→∞

= >. ¿Qué

sucede si r < 1?

• Supongamos r>1. Según la definición de límite, hay que encontrar la

expresión de n

0

para cada ε > 0 , tal que

0

n

si n n

r

log

0 log log( )

log( )

n

n n

r n r n

r r r

ε

ε ε

ε ε

pues hemos supuesto desde el principio que r > 1, luego log (r) > 0. Así pues, si

tomamos

0

log

log( )

n

r

ε

= se cumple

n

r

− <ε

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Ejercicios: Sucesiones numéricas

Fundamentos Matemáticos I

• Si r < 1, será log (r) < 0. Como ε es muy pequeño, verifica ε < 1, es

decir log( ε )< 0, luego

log log( )ε

ε

Teniendo en cuenta que siempre es n > 0, nunca puede ser

log n log( )r

ε

, puesto que n. log (r) será siempre negativo, mientras

que

log

ε

es positivo. Por lo tanto, si r<1 la sucesión no puede tender a

cero.

Demostrar, aplicando la definición de límite, que se verifican los siguientes límites:

(a)

lim 1

n

n

n

→∞

(b)

2

lim 2

n

n

n n

→∞

(c)

3 3

2

lim 8

n

n n

n

→∞

Solución

(a) Se trata de ver que

0 0

n

existe n de forma que si n n

n

ε ε

Observamos que

n

n n

n n

ε ε

ε ε

Luego fijado ε > 0 basta tomar

0

n E 2

ε

para que se cumpla la definición

de límite.

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ejercicios: Sucesiones numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Sucesiones recurrentes

Estudiar la convergencia de la sucesión recurrente dada por

( )

1

2

3

1

n n

a

a a n

Solución: (Curso 03-04)

Applet Laboratorio Sucesiones Recurrentes

Es fácil ver que 0

n

≤ a , veamos que 2

n

a ≤. Lo probaremos por inducción.

• Para n=1 ,

1

a = 1 ≤ 2

• Supuesto que 2

n

a ≤ debemos probar que

1

n

a

Como por hipótesis de inducción se tiene que 2

n

a ≤ se cumplirá:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 3 3 3

1

n n n n n

a a a a a

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Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Sucesiones numéricas

Veamos ahora que la sucesión es monótona decreciente. Es fácil ver que:

( ) ( ) ( )

2 2 3

3

1

n n n n n n

a a a a a a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 2 2

2

0

n

n

n n n n n

a

a

a a a a a

≤

≤

La última desigualdad es trivialmente cierta ya que anteriormente hemos

probado 0 2

n

≤ a ≤. Luego se cumple

n 1 n

a a

Por el teorema de Weierstrass al ser una sucesión monótona y acotada es

convergente.

Dada la sucesión

1

a = 1 y

1

n

n

a n

a

−

, demostrar que

(a) ( )

2

n n

a − a + ≤ para todo número natural

(b) la sucesión { }

1

n

n

a

∞

=

es convergente y calcular su límite.

Applet Laboratorio Sucesiones recurrentes

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Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Sucesiones numéricas

Vamos a probar que 0 1

n

< a ≤. Lo haremos por inducción.

1

0 < a ≤ 1 ya que 0 < 1 ≤ 1

Veamos que si 0 1

n

< a ≤ entonces

1

n

a

Entonces suponiendo 0 1

n

< a ≤ se tiene que 1 0

n

− ≤ −a <.

Sumando 3 a ambos miembros:

n

n

a

a

Luego,

1

n

a

Monotonía: Vamos a probar que es monótona decreciente, es decir, si

para todo número natural

n 1 n

a a

≤ :

para nuestra sucesión hay que demostrar que

n

n

a

a

Como

( ) ( )

2

3 0

n

n n n n n

n

a

a a a a a

a

− >

y la última equivalencia es cierta por el apartado (a) se cumple

n

n

a

a

Por el teorema de Weierstrass al ser una sucesión monótona y acotada es

convergente. Si llamamos L al límite de la sucesión

n

a se tendrá que :

1 1

lim lim

3 3 lim

n

n definición n propiedades

n n

de la sucesión de los límites n

a

a a

→∞ →∞

− −

→∞

en consecuencia el punto L buscado tiene que cumplir

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Ejercicios: Sucesiones numéricas

Fundamentos Matemáticos I

( )

L L L

L

es decir será una raíz del polinomio:

( )

2

x 3 − x = 1 ⇔ x − 3 x + 1 = 0

Resolviendo

x

De las dos raíces el valor de L es

L

= que es menor que 1. (Observar

que la sucesión es monótona decreciente y el primer término es menor que 1).

Dada la sucesión

1 1

n n

a a a n

−

= = ≥ , demostrar que la sucesión { }

1

n

n

a

∞

=

es

convergente y calcular su límite.

Observa que

1/

1/2 1/2 1/

1 2

a = 2, a = 2 2 = 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2

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Ejercicios: Sucesiones numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Applet Laboratorio Sucesiones Recurrentes

Solución: (Parcial I 2003)

(a) Solución: Veamos que 1,

n

a ≥ ∀n ∈  por inducción.

• Se verifica para n = 1 ya que

1

a = 7 ≥ 1

• Suponiendo que 1

n

a ≥ veamos si

( )

2

1

n

n

n

a

a

a

. Se tiene

que,

( ) ( )

2 2

1

n n

n

n n

a a

a

a a

( ) ( )

2

1

n

n n n n

a

por hipotesis

de inducción

a a a a

≥

(b) Veamos si es monótona. Como

2

1 2

a a

intentaremos

ver si es monótona decreciente,

( )

2

1

n

n n n

n

a

a a a

a

Profesora: Elena Álvarez Sáiz S

Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Sucesiones numéricas

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 2

n

n n n n

elevando

n

al cuadrado por

ser cantidades

positivas

a

a a a a

a

( ) ( ) ( )

3 2 2

n n n n

a a a a

Esta última desigualdad es cierta ya que 1

n

≤ a. Por lo tanto es monótona

decreciente.

Como la sucesión es monótona y acotada es convergente. Llamando

lim

n

n

L a

→∞

= se tendrá que:

2 2

2

L L

L L

L L

3 2 2 2

0

L 2 L L 2 L 1 L 2 L 2 0 L 1

≠

(1) Dada la sucesión { }

n

a definida por

1

.

n n

a

a n a n

−

se pide probar por

inducción que ∀ n∈  ,

2

n

a − n < n

(2) A partir de la sucesión anterior se define la sucesión

2

n

n

a

b

n

=. Estudiar la acotación de

{ }

n

b y calcular su límite.

Solución: Febrero 2003

(1) La sucesión

{ }

n

a es una sucesión recurrente y la sucesión

2

n

n

a

b

n

= se calcula

a partir de

{ }

n

a. Los primeros términos de ambas son:

{ }

n

a =

n

b

Profesora: Elena Álvarez Sáiz S

Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Sucesiones numéricas

Cálculo de límites: Propiedades

Siendo

1 2 3

a = 3 , a = 3 3 , a = 3 3 3 , etc. Calcular lim

n n

a

→∞

Observamos los términos de la sucesión:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 4 2 4 2 4 8 2 4 8

1 2 3

a 3 ; a 3 3 3 ; a 3 3 3 3 ;...

1 1 1 1

...

2 4 8 2

3

n

n

a

Sumamos los términos de la progresión geométrica que aparece en el exponente.

n

n n

de modo que

1

1

2

n

n

a

−

y tomando el límite,

1

1

2

lim lim 3 3

n

n n n

a

−

→∞ →∞

Cálculo de límites: Teorema del encaje

Calcular el siguiente límite:

2 2 2

n

n n n

a

n n n n

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ejercicios: Sucesiones numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Calcular el límite de la sucesión que tiene por término general

2 2 2 2

n

n n n n

a

n n n n n

Solución: Construimos dos sucesiones para compararlas con la sucesión anterior,

cuyos términos generales son

2

2 2 2 2 2

n

n n n n n

b n

n n n n n n n n n n

y

2

2 2 2 2 2

n

n n n n n

c n

n n n n n

observamos que se verifica

n n n

b < a < c para todo n, además

2

2

lim lim 1

n n n

n

b

n n

→∞ →∞

y

2

2

lim lim 1

n n n

n

c

n

→∞ →∞

como lim lim 1

n n n n

b c

→∞ →∞

= = , también será

2 2 2 2

lim lim 1

n n n

n n n n

a

n n n n n

→∞ →∞

(a) Demuestra que para todo número natural se cumple:

( )

( )

2 1

2

n

n

n

n

−

(b) Estudia la convergencia de la siguiente sucesión

( )

( )

2

n

n

a

n

(a) Vamos a probar la desigualdad

( )

( )

2 1

2

n

n

n

n

−

≤ por inducción.