Polinomio de Taylor: Fundamentos, Ejemplos y Aplicaciones, Ejercicios de Cálculo

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POLINOMIO DE

TAYLOR

BIBLIOGRAFÍA utilizada: apunte teórico de Susana Imperatore y parciales de la cátedra del prof. Ezequiel Martín.

Dada una función 𝑓 definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥), derivable hasta el orden 𝑛 + 1 en 𝑥 = 𝑎; 𝑎 ∈ 𝐷𝑓 , el polinomio de grado n tal que las primeras n derivadas de 𝑓 coinciden con las del polinomio: 𝑃𝑛 𝑎 = 𝑓 𝑎 𝑃𝑛 ′ 𝑎 = 𝑓′ 𝑎 𝑃𝑛 ′′ 𝑎 = 𝑓′′ 𝑎 𝑃𝑛 ′′′ 𝑎 = 𝑓′′′ 𝑎 ….. 𝑃 𝑛 (𝑛) 𝑎 = 𝑓 (𝑛) 𝑎 se denomina POLINOMIO DE TAYLOR de orden n en el punto 𝒙 = 𝒂.

POLINOMIO de TAYLOR de orden 𝑛 en el punto 𝑥 = 𝑎:

′

′′

2

′′′

3

(𝑛)

𝑛 𝑃 𝑛 𝑥 = ෍ 𝑖= 0 𝑛 𝑓 (𝑖) 𝑎 𝑖! 𝑥 − 𝑎 𝑖

EXPRESIÓN PARA EL TÉRMINO COMPLEMENTARIO:

𝑓 (𝑛+ 1 ) 𝑎+𝜃 𝑥−𝑎 𝑛+ 1!

𝑛+ 1 ; 0 < 𝜃 < 1 POLINOMIO DE Mac LAURIN es un caso particular del Polinomio de Taylor, cuando 𝑎 = 0. 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑓 ′

1. 𝑥 + 𝑓 ′′ 0 2!

2

𝑓 ′′′ 0 3!

3 +…+ 𝑓 (𝑛) 0 𝑛!

𝑛 𝑃𝑛 𝑥 = ෍ 𝑖= 0 𝑛 𝑓 (𝑖) 0 𝑖!

𝑖

EJEMPLO : Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 en 𝑎 = 2 de 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥. ln(3𝑥 − 5 ) y obtener un valor aproximado del número 𝑓( 2 , 1 ) usando dicho polinomio. 𝑓 𝑥 = 2 + 𝑥. ln(3𝑥 − 5 ) 𝑓 ′ (𝑥) = ln 3𝑥 − 5 + 3𝑥 3𝑥 − 5 → 𝑓 ′ ( 2 ) = 6 𝑓′ ′ (𝑥) = 3 3𝑥 − 5

3 3𝑥 − 5 − 3𝑥. 3 3𝑥 − 5 2 → 𝑓 ′′ ( 2 ) = - 12 𝑃 2 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 + 𝑓 ′′ 𝑎 2! 𝑥 − 𝑎 2 → 𝑃 2 𝑥 = 2 + 6 𝑥 − 2 − 12 2! 𝑥 − 2 2 → 𝑃 2 𝑥 = 2 + 6 𝑥 − 2 − 6 𝑥 − 2 2 → 𝑓( 2 , 1 ) ≅ 𝑃 2 2 , 1 = 2 + 6 2 , 1 − 2 − 6 2 , 1 − 2 2 → 𝑓 2 , 1 ≅ 2 , 54 → 𝑓( 2 ) = 2

EJEMPLO : Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 en 𝑎 = 27 de 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 y obtener un valor aproximado del número 𝑓( 26 ) usando dicho polinomio. 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) =

′ ( 27 ) =1/ 𝑓′′ 𝑥 = 1 3 − 2 3

− 5 Τ 3 = − 2 9

− 5 Τ 3 → 𝑓 ′′ 27 = −

𝑃 2 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 + 𝑓 ′′ 𝑎 2! 𝑥 − 𝑎 2 → 𝑃 2 𝑥 = 3 + 1 27 𝑥 − 27 − 1 2187 𝑥 − 27 2 → 𝑓( 26 ) ≅ 𝑃 2 26 = 3 + 1 27 26 − 27 − 1 2187 26 − 27 2 → 𝑓 26 ≅ 2 , 9625

3 𝑥 𝑃 1 (𝑥) 𝑃 2 (𝑥) 𝑃 3 (𝑥)

Sea 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑. Determinar los valores 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ con 𝑏 > 0 , para que el polinomio de Taylor de orden 2 de 𝑓 en 𝑎 = 0 sea 𝑃 2 𝑥 = 3 + 8 𝑥 − 2 𝑥 2

. Para esos valores, dar la fórmula del polinomio de Taylor de orden 3 de 𝑓 en 𝑎 = 0. 𝑓 𝑥 = ln 1 + 2𝑥 + 6𝑥 + 3 𝑏^ =^2 𝑐^ =^6 𝑑 = 3 𝑓′′ 𝑥 = − 4 1 + 2 𝑥 2 = − 4 1 + 2 𝑥 − 2 𝑓′′′ 𝑥 = 16 1 + 2 𝑥 − 3 → 𝑓′′′ 0 = 16 Y ya conocemos 𝑓 0 = 3 𝑓′^0 =^8 𝑓′′^0 =^ −^4 Debemos hallar 𝑓′′′ 0 𝑃 3 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 + 𝑓 ′′ 𝑎 2! 𝑥 − 𝑎 2

𝑓 ′′′ 𝑎 3! 𝑥 − 𝑎 3 𝑃 3 𝑥 = 3 + 8 𝑥 + 2 𝑥 2

16 6 𝑥 (^3) Es el polinomio de Taylor de orden 3 de 𝑓 en 𝑎 = 0

EJERCICIO DE PARCIAL!

Sea 𝑓 una función dos veces derivable tal que su polinomio de Taylor de orden 2 en 𝑎 = 3 es 𝑃 𝑥 = 2 − 𝑥 − 3 + 𝑥 − 3 2

. Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 en 𝑎 = 3 de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 . 𝑓 𝑥 + 𝑒 2 𝑥− 6 . Si 𝑃 es el polinomio de Taylor de orden 2 en 𝑎 = 3 de 𝑓 entonces: 𝑃 3 = 𝑓 3 → 𝑓 3 = 2 𝑃′^3 =^ 𝑓′^3 → 𝑓′( 3 ) = − 1 𝑃′′ 3 = 𝑓′′ 3 → 𝑓′′( 3 ) = 2 𝑃 𝑥 = 2 − 𝑥 − 3 + 𝑥 − 3 (^2) 𝑃′ 𝑥 = − 1 + 2 𝑥 − 3 𝑃′′ 𝑥 = 2

Sea 𝑓 una función tres veces derivable tal que su polinomio de Taylor de orden 3 en 𝑎 = 0 es 𝑃 𝑥 = 4 + 3 𝑥 − 2 𝑥 2 − 𝑥 3

. Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 en 𝑎 = 3 de la función 𝑔 𝑥 = 𝑓 ′ (𝑥 − 3 ) + 𝑥. 𝑓(𝑥 2 − 9 ). Si 𝑃 es el polinomio de Taylor de orden 3 en 𝑎 = 0 de 𝑓 entonces: 𝑃 0 = 𝑓 0 = 4 𝑃′^0 =^ 𝑓′^0 =^3 𝑃′′ 0 = 𝑓′′ 0 = − 4 𝑃 𝑥 = 4 + 3𝑥 − 2 𝑥 2 − 𝑥 (^3) 𝑃′ 𝑥 = 3 − 4𝑥 − 3 𝑥^2 𝑃′′ 𝑥 = − 4 − 6𝑥 𝑃′′′ 0 = 𝑓′′′ 0 = − 6 𝑃′′′ 𝑥 = − 6

EJERCICIO DE PARCIAL!

Sea 𝑓 una función tres veces derivable tal que su polinomio de Taylor de orden 3 en 𝑎 = 0 es 𝑃 𝑥 = 4 + 3 𝑥 − 2 𝑥 2 − 𝑥 3

. Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 en 𝑎 = 3 de la función 𝑔 𝑥 = 𝑓 ′ (𝑥 − 3 ) + 𝑥. 𝑓(𝑥 2 − 9 ). 𝑓 0 = 4 𝑓′ 0 = (^3) 𝑓′′ 0 = − 4 𝑓′′′ 0 = − 6 𝑔 𝑥 = 𝑓 ′ (𝑥 − 3 ) + 𝑥. 𝑓(𝑥 2 − 9 ) 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓 ′′ 𝑥 − 3 + 𝑓 𝑥 2 − 9 + 𝑥. 2 𝑥. 𝑓′ 𝑥 2 − 9 𝑔′ ′ 𝑥 = 𝑓′ ′′ 𝑥 − 3 + 2𝑥. 𝑓 ′ 𝑥 2 − 9 + 4𝑥. 𝑓 ′ 𝑥 2 − 9 + 2 𝑥 2 . 2𝑥. 𝑓 ′′ 𝑥 2 − 9 𝑔′ ′ 𝑥 = 𝑓′ ′′ 𝑥 − 3 + 6 𝑥. 𝑓 ′ 𝑥 2 − 9 + 4 𝑥 3 . 𝑓 ′′ 𝑥 2 − 9

′ ( 0 ) + 3. 𝑓( 0 ) = 3 + 3. 4 = 15 → 𝑔 ′ 3 = 𝑓 ′′ 0 + 𝑓 0 + 18 𝑓 ′ 0 = − 4 + 4 + 18. 3 = 54 → 𝑔′ ′ 3 = 𝑓′ ′′ 0 + 18. 𝑓 ′ 0 + 108. 𝑓 ′′ 0 = − 6 + 18. 3 + 108. − 4 = − 384

EJERCICIO DE PARCIAL!

Sean 𝑓 y 𝑔 funciones dos veces derivables. Si 𝑓 3 = 2 𝑓 ′ 3 = 3 𝑓 ′′ 3 = 6 y el polinomio de Taylor de orden 2 de 𝑔 en 𝑎 = 2 es 𝑃 𝑥 = 3 + 5 𝑥 − 2 − 𝑥 − 2 2 ,hallar el polinomio de Taylor de orden 2 en 𝑎 = 2 de la función ℎ 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥). 𝑓 3 = 6 𝑓 ′ 3 = 3 𝑓 ′′ 3 = 2 𝑃 𝑥 = 3 + 5 𝑥 − 2 − 𝑥 − 2 2 𝑔 2 = 3 𝑔 ′ 2 = 5 𝑔 ′′ 2 = − 2 ℎ 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) ℎ ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑔 𝑥. 𝑔 ′ 𝑥

′ 2 = 𝑓 ′ 𝑔 2. 𝑔 ′ 2 ℎ′ ′ 𝑥 = 𝑓′ ′ 𝑔 𝑥. (𝑔 ′ 𝑥 ) 2 +𝑓 ′ 𝑔 𝑥. 𝑔′ ′ 𝑥 ℎ ′ ′ 2 = 𝑓′ ′ 𝑔 2. (𝑔 ′ 2 ) 2 +𝑓 ′ 𝑔 2. 𝑔′ ′ 2 ℎ ′ ′ 2 = 𝑓′ ′ 3 ( 5 ) 2 +𝑓 ′

3. − 2 ℎ′ ′ 2 = 2. ( 5 ) 2

• 3 − 2 = 44

′

3. 5 = 3. 5 = 15

EJERCICIO DE PARCIAL!

Sean 𝑓 y 𝑔 funciones dos veces derivables. Si 𝑓 3 = 2 𝑓 ′ 3 = 3 𝑓 ′′ 3 = 6 y el polinomio de Taylor de orden 2 de 𝑔 en 𝑎 = 2 es 𝑃 𝑥 = 3 + 5 𝑥 − 2 − 𝑥 − 2 2 ,hallar el polinomio de Taylor de orden 2 en 𝑎 = 2 de la función ℎ 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥). ℎ 2 = 6 ℎ ′ 2 = 15 ℎ ′′ 2 = 44 𝑇 𝑥 = 6 + 15 𝑥 − 2 + 22 (𝑥 − 2 ) 2

EJERCICIO DE PARCIAL!

𝑇 2 𝑥 = ℎ 𝑎 + ℎ ′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 + ℎ ′′ 𝑎 2! 𝑥 − 𝑎 2

2