Polinomio taylor y explicación, Diapositivas de Matemáticas

¡Descarga Polinomio taylor y explicación y más Diapositivas en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

T2 - sessi´o 4: Aplicacions de la derivaci´o - II

ESEIAAT - Universitat Polit`ecnica de Catalunya

Polinomi de Taylor

Volem trobar un polinomi d’ordre n que aproximi la funci´o donada f en un punt d’abcissa a: f (x) ' Tn(x) , quan x ´es proper a a

Figura: f (x) = sin(x), T 2 (x) = x − x

3

6 ,^ a^ = 0.

Per que? Doncs perque els c`alculs amb polinomis s´on molt m´es senzills que amb qualsevol altre funci´o. Ordre n: de grau n o inferior. (^) 2 / 14

I (^) f ′(a) = T (^) n′(a). Primer derivem Tn(x) (definida en (2)):

T (^) n′(x) = a 1 + 2a 2 (x − a) + 3a 3 (x − a)^2 + · · · + nan (x − a)n−^1

Tenim doncs que T (^) n′(a) = a 1 , d’on a 1 = f ′(a). Per tant, el polinomi de Taylor d’ordre 1 ´es:

T 1 (x) = f (a) + f ′(a)(x − a)

Noteu que T 1 (x) correspon a la recta tangent, que ja sabem que aproxima la funci´o en el punt de tang`encia (a, f (a)).

I (^) f ′′(a) = T (^) n′′ (a). Calculem T ′′(x):

T (^) n′′ (x) = 2a 2 + 2 · 3 a 3 (x − a) + · · · + n · (n − 1) (x − a)n−^2

D’on T (^) n′′ (a) = 2a 2 ⇒ f ′′(a) = 2a 2 ⇒ a 2 = 12 f ′′(a). El polinomi de Taylor d’ordre 2 ´es:

T 2 (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +

f ′′(a) (x − a)^2

I (^) f ′′′(a) = T (^) n′′′ (a): Fixeu-vos que 3 · 2 = 3! (tres factorial). Per tant, fent com abans trobem que a 3 = (^) 3!^1 f ′′′(a), d’on:

T 3 (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +

f ′′(a) (x − a)^2 +

f (3)(a)(x − a)^3

I (^) Com derivem potencies, tenim que en cada derivada baixa l’exponent i disminu¨ım en 1 la potencia: n(n − 1) · · · (n − j)(x − a)n−j−^1. Si fem els c`alculs fins la derivada n, obtenim tots els coeficients pel cas d’ordre n:

Tn(x) = f (a)+f ′(a)(x−a)+

f ′′(a) (x−a)^2 +

f (3)(a)(x−a)^3 +· · ·+

n!

f (n)(a)(x−a)n

Quan a = 0, s’anomena s`erie de MacLaurin.

Exemple. Anem a calcular el polinomi de Taylor de f (x) = ex^ d’ordre n. En aquest cas:

ex^ = f (0) +

f ′(0) 1!

(x − 0) +

f ′′(0) 2!

(x − 0)^2 +

f ′′′(0) 3!

(x − 0)^3 +...

Com les derivades de la funci´o exponencial s´on exponencials, i e^0 = 1, s’obt´e:

Tn(x) = 1 + x +^1 2

x^2 +^1 6

x^3 + · · · +^1 n!

xn

Per a x propers a 0, tenim que

ex^ '

∑^ n

k=

xk k!

Teorema de Taylor

Tot ho anterior es pot resumir en el seg¨uent teorema.

Teorema (de Taylor)

Sigui n ≥ 0. Si f ´es n + 1-cops derivable en un entorn del punt d’abcissa a, aleshores per a tot x proper a a es verifica que:

f (x) =

∑^ n

k=

f (k)(a) k!

(x − a)k^ + Rn(x)

on Rn(x) ´es l’error (o residu):

Rn(x) =

f (n+1)(ρ) (n + 1)!

(x − a)n+

sent ρ un valor real entre a i x.

Fixeu-vos que, en el teorema anterior, tenim una igualtat:

f (x) = Tn(x) + Rn(x)

El factor Rn(x), anomenat residu, ´es desconegut (la variable ρ ´es desconeguda). Si ´es petit, el podem despreciar i aleshores tenim que f (x) ' Tn(x), per a x proper a a, que ´es quan ho usem.

Aquest teorema permet obtenir aproximacions polinomiques d’una funci´o entorn d’un punt on la funci´o ´es diferenciable: f (x 0 ) ' Tn(x 0 ), per a x 0 proper a a. Pero cal dir quan de bona ´es aquesta aproximaci´o: aixo ens ho diu Rn(x 0 ). Pero no la podem determinar... nom´es podem obtenir-ne una cota o fita C :

|Rn(x 0 )| =

∣∣ f^ (n+1)(ρ) (n + 1)!

(x 0 − a)n+

∣∣ ≤ C

En aquesta inequaci´o, podem coneixer f , n, a i un punt x 0. De ρ nom´es sabem que es troba entre a i aquest valor de x 0 que estem considerant. Cal ’eliminar’ aquest factor de la definici´o de Rn(x 0 ). A partir de saber com ´es la derivada n + 1 de f (x), usant que ρ esta entre a i x 0 , haurem de proposar un valor que acoti f (n+1)(ρ): |f (n+1)(ρ)| ≤ K

Aquest valor de K no ´es ´unic, i cal buscar-lo en cada cas (dep`en de f , a i x 0 ).

Calcula la fita C a partir de n

Tornem a l’exemple de l’exponencial de la p`agina 6: f (x) = ex^. Volem saber ara quant de gran ´es l’error si usem el polinomi de Taylor de grau 7 en a = 0 per a calcular e^0.^1 : |e^0.^1 − T 7 (0.1)| ≤ C Com nom´es volem saber una fita C de l’error, no necessitem calcular el polinomi. Tenim que n = 7, a = 0, x = 0.1. Usem la proposici´o anterior:

|f (x) − Tn(x)| ≤ K

|x − a|n+ (n + 1)!

= C

amb |f (n+1)(ρ)| ≤ K. En el nostre cas:

|e^0.^1 − T 7 (0.1)| ≤ C = K |^0.^1 −^0 |

7+ (7 + 1)!

Necessitem un valor per a K ,i per aix`o cal estudiar f (8)(ρ), amb 0 ≤ ρ ≤ 0. 1 desconeguda. Com f (x) = ex^ , tota derivada d’ordre n ´es ex^. Per tant:

|f (8)(ρ)| = |eρ| = eρ^ ≤ e^0.^1 ≤ e^1 ≤ 2 .8 = K

on usem que e > 0, ex^ ´es una funci´o creixent i que e ' 2. 78.... No podem usar e^0.^1 com a cota, ja que ´es el valor que estem aproximant. Compte! El valor de K no ´es ´unic, per tant tampoc el valor de C. Escollint K = 2. 8 obtenim una cota de l’error:

|e^0.^1 − T 7 (0.1)| ≤ 2. 8

10 −^8

' 7 · 10 −^13 ≤ 10 −^12 = C

Per tant, podem dir que e^0.^1 ' T 7 (0.1) = 1.10517091807540, amb un error menor que 10−^12 (12 primers decimals correctes).

Pas 2: Per a x = 0.2, determinar el valor de n a partir de la cota de l’error.

| cos(0.2) − Tn(0.2)| ≤ K

| 0. 2 − 0 |n+ (n + 1)!

1. 2 n+ (n + 1)!

< 10 −^5.

Cal resoldre 0.^2

n+ (n+1)! <^10

− (^5). Com en general no es pot determinar n, es donen valors a n i es calcula la fracci´o:

n Cota: 0.^2

n+ (n+1)! 2 0. 0013 3 6. 67 · 10 −^5 4 2. 67 · 10 −^6 < 10 −^5

Per tant, n = 4. El polinomi de Taylor ha de tenir ordre 4 per tal d’assegurar que l’error ´es inferior a 10−^5.

Infinit`essims equivalents

Un infinitessimal o infinit`essim ´es una quantitat infinitament petita. Si lim x→a

f (x) = 0, es diu que f ´es un infinitessim en x = a. Suposem que f (x) ´es un infinitessim quan x → 0. Aleshores es t´e la taula seg¨uent:

Taula: Alguns infinit`essims equivalents.

sin(x) ≈ x tan(x) ≈ x cos(x) ≈ 1 − x

2 2 arcsin(x) ≈ x arctan(x) ≈ x ex^ ≈ 1 + x ln(1 + x) ≈ x

Per tant, si x est`a prop de 0, es pot considerar que sin(x) = 0 i cos(x) = 1.