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Ejercicios resueltos de polinomio de taylor en matlab
Tipo: Ejercicios
1 / 31
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Métodos Numéricos
Reporte 1. Polinomio de Taylor
Equipo: 8
Integrantes: Profesores:
Fecha de entrega: 08.10.
GODÍNEZ RAMOS KAREN
TÉLLEZ HURTADO ARTURO
LÓPEZ VEGA VALERIA
VELAZCO GÓNGORA ZAIRA
GRUPO: 4BM
JOSÉ Ignacio flores
Alejandra Valdés lozano
A veces analizar una función puede ser muy difícil. Un método, muy útil y utilizado,
que nos puede facilitar el trabajo es aproximar la función en cuestión por polinomios
ya que estos son las funciones reales más fáciles de evaluar. Cuando utilizamos
este método, evidentemente perdemos exactitud, pero ganamos en operatividad.
Podemos diferenciar entre dos tipos de aproximaciones de funciones por
polinomios: locales y globales. Las primeras son aquellas en la que el polinomio que
construimos coincide con la función en un ´único punto y solo nos serviría para
valores próximos porque a medida que nos alejemos es probable que el polinomio
y la función disten cada vez más. Las globales, sin embargo, son las que el
polinomio y la función coinciden a lo largo de un intervalo.
Al polinomio así construido con f y todas sus derivadas hasta el orden n en el punto
x=a, se denomina polinomio de Taylor de orden n de la función f en el punto a. Lo
escribimos como: Tn,f,a (x)
La notación se puede simplificar si se entiende por el contexto quien es el punto, la
función y el orden y podremos escribir
D
O
R
T
N
I
Ó
I
C
C
U
N
Regla 1. En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos.
Regla 2. Todos los ceros entre dígitos son significativas.
Regla 3. Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente
para fijar la posición del punto decimal y no son significativos.
Regla 4. En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del
punto decimal son significativos.
D
E
S
A
R
R
O
L
L
O
Cifras
significativas
Ejemplo:
3.14159 6 c.s
5.694 4 c.s
Ejemplo:
2.054 4 c.s
506 3 c.s
Ejemplo:
0.054 2 c.s
0.0002604 4 c.s
Ejemplo:
0.0540 3 c.s
30.00 4 c.s
Regla 5. Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más ceros, dichos
ceros pueden ser o no significativos para poder especificar el número de cifras
significativas se requiere información adicional para evitar confusiones es
conveniente expresar el número en notación científica, no obstante, también se
suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal
solamente. Si el punto decimal no se escribiera dichos ceros no son significativos.
ERROR ABSOLUTO: Diferencia entre el valor verdadero y un valor aproximado.
ERROR RELATIVO: Se calcula dividiendo el error absoluto entre el valor verdadero.
ERROR RELATIVO PORCENTUAL
Ejemplo:
1200 2 c.s
Errores
𝐸𝑎
𝑉𝑣
= |
|
𝑒(%) = |
| ∗ 100 → |
| ∗ 𝑥
Obtener el polinomio de Taylor grado 3 para la función f(x)=sen x ; a=pi/6.
1 .%Polinomio de Taylor
2 .%Ejemplo 1
3.f=inline('sin(x)');
4.a=pi/6;
5.p0=f(a);
6.syms x
7.f=sin(x);
8.p1=p0+subs(diff(f,1),a)*(x-a); %Polinomio grado 1
9.p2=p1+subs(diff(f,2),a)/factorial(2)*(x-a)^2; %Polinomio de segundo grado
10.p3=p2+subs(diff(f,3),a)/factorial(3)*(x-a)^3 %Polinomio de tercer grado
Ejemplo 1.
′
′′
2
3
′′(𝑎)
′′′(𝑎)
2
3
Código
11 .%Gráfica
12 .x=-1:0.1:5;
13 .plot(x,subs(f,x),'g') %Gráfica de la función
14 .grid on
15 .hold on
16 .plot(x,subs(p3,x),'r') %Gráfica del P
17 .legend('Función sin(x)','Polinomio 3')
18 .xlabel('Eje x')
19 .ylabel('Eje y')
20 .title('EJEMPLO 1')
p3 =
(3^(1/2)(x - pi/6))/2 - (3^(1/2)(x - pi/6)^3)/12 - (x - pi/6)^2/4 + 1/
GRÁFICA
29 .%error relativo P
30 .erp1=eap1/vv
31 .%error absoluto P
32 .vap2=subs(p2,x); %valor aproximado P
33 .eap2=abs(vv-vap2)
34 .%error relativo P
35 .erp2=eap2/vv
36 .%error absoluto P
37 .vap3=subs(p3,x); %valor aproximado P
38 .eap3=abs(vv-vap3)
39 .%error relativo P
40 .erp3=eap3/vv
Polinomios
p0 =1/
p1 = (x - 1)/log(10) + 1/
p2 = (x - 1)/log(10) - (x - 1)^2/(2*log(10)) + 1/
p3 = (x - 1)/log(10) - (x - 1)^2/(2log(10)) + (x - 1)^3/(3log(10)) + 1/
Errores
vv =0.
eap1 = 23/(100*log(10)) - 0.
erp1 = 0.38989321424726258535779834517647/log(10) -
eap2 = 0.089905111439406937279272824525833 - 4071/(20000*log(10))
erp2 = 0.15240605598421177096130794526855 -
0.34505549460882738804165153548117/log(10)
eap3 = 622817/(3000000*log(10)) - 0.
erp3 = 0.35193061162005411829679404630112/log(10) -
GRÁFICA
a) Obtener el polinomio de Taylor de grado 3 de la función 𝑓
= log ( 1 −
1
2
b) Obtener mediante el polinomio anterior, un valor aproximado de 𝑓( 0. 5 )
c) Obtener el error absoluto y relativo cometidos en dicha aproximación
d) Gráficas de función y polinomio
% Tarea
%Problema 1
clc,clear,close all
syms x
f=log(1-(x/2));
a=0;
p0=subs(f,a);
p1=p0+subs(diff(f,1),a)*(x) %Polinomio Grado 1
p2=p1+subs(diff(f,2),a)/factorial(2)*(x)^2 %Polinomio Grado 2
p3=p2+subs(diff(f,3),a)/factorial(3)*(x)^3 %Polinomio Grado 3
%Gráficas
x=0.1:0.01:2;
plot(x,subs(f,x),'b')%Gráfica de la función
grid on
hold on
plot(x,subs(p1,x),'r')%Gráfica P
plot(x,subs(p2,x),'y')%Gráfica P
plot(x,subs(p3,x),'k')%Gráfica P
legend('Función log(1-(x/2))','P1','P2','P3')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('FUNCIÓN Y POLINOMIO')
%Errores
x=0.5;
vv=vpa(subs(f,x),4) %valor verdadero
%error absoluto P
vap1=vpa(abs(subs(p1,x)),4) %valor aproximado P
eap1=vpa(abs(vv-vap1),4)
%error relativo P
erp1=vpa(abs(eap1/vv),4)
%error absoluto P
vap2=vpa(abs(subs(p2,x)),4) %valor aproximado P
eap2=vpa(abs(vv-vap2),4)
%error relativo P
erp2=vpa(abs(eap2/vv),4)
%error absoluto P
vap3=vpa(abs(subs(p3,x)),4) %valor aproximado P
eap3=vpa(abs(vv-vap3),4)
%error relativo P
CÓDIGO
clear all
clc
syms x
f=1/(1-x);
a=0;
p0=subs(f,a);
p1=p0+subs(diff(f,1),a)*(x-a);
p2=p1+(subs(diff(f,2),a)/factorial(2))*(x-a)^
p3=p2+(subs(diff(f,3),a)/factorial(3))*(x-a)^
p4=p3+(subs(diff(f,4),a)/factorial(4))*(x-a)^
x=-2:0.1:0.9;
plot(x,subs(f,x),'k');
hold on
grid on
plot(x,subs(p1,x),'y');
plot(x,subs(p2,x),'g');
plot(x,subs(p3,x),'r');
plot(x,subs(p4,x),'b');
legend('Función 1/(1-x)','Polinomio 1','Polinomio 2','Polinomio 3','Polinomio 4')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('GRÁFICO DE FUNCIÓN Y POLINOMIOS')
%Errores
x=pi/8;
vv=subs(f,x); %Valor verdadero
ValorAproxP1=subs(p1,x); %Valor aproximado P
ErrorAbsP1=vpa(abs(vv-ValorAproximadoP1),5) %Error absoluto P
ErrorRelP1=vpa(abs(ErrorAbsP1/vv,5)) %Error relativo P
ValorAproxP2=vpa(subs(p2,x),5) %Valor aproximado P
ErrorAbsP2=vpa(abs(vv-ValorAproxP2),5) %Error absoluto P
ErrorRelP2=vpa(abs(ErrorAbsP2/vv,5)) %Error relativo P
ValorAproxP3=vpa(subs(p3,x),5) %Valor aproximado P
ErrorAbsP3=vpa(abs(vv-ValorAproxP3),5) %Error absoluto P
ErrorRelP3=vpa(abs(ErrorAbsP3/vv,5)) %Error relativo P
ValorAproxP4=vpa(subs(p4,x),5) %Valor aproximado P
ErrorAbsP4=vpa(abs(vv-ValorAproxP4),5) %Error absoluto P
ErrorRelP4=vpa(abs(ErrorAbsP4/vv,5)) %Error relativo P
RESULTADOS
p1 = x + 1
p2 = x^2 + x + 1
p3 = x^3 + x^2 + x + 1
p4 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
ValorAproxP1 = 1.3927 ErrorAbsP1 = 0.25393 ErrorRelP1 = 0.
ValorAproxP2 =1.5469 ErrorAbsP2 = 0.099718 ErrorRelP2 = 0.
ValorAproxP3 = 1.6075 ErrorAbsP3 = 0.039159 ErrorRelP3 = 0.
ValorAproxP4 = 1.6313 ErrorAbsP4 = 0.015378 ErrorRelP4 = 0.
clear all
clc
syms x
f=x/(x+1);
a=1;
p0=subs(f,a);
p1=p0+subs(diff(f,1),a)*(x-a)
p2=p1+subs(diff(f,2),a)/factorial(2)*(x-a)^
p3=p2+subs(diff(f,3),a)/factorial(3)*(x-a)^
p4=p3+subs(diff(f,4),a)/factorial(4)*(x-a)^
%Graficas
x=0.1:0.1:2;
clear all
clc
syms x
f=log10(x);
a=1;
p0=subs(f,a);
p1=p0+subs(diff(f,1),a)*(x-a)
p2=p1+subs(diff(f,2),a)/factorial(2)*(x-a)^
p3=p2+subs(diff(f,3),a)/factorial(3)*(x-a)^
p4=p3+subs(diff(f,4),a)/factorial(4)*(x-a)^
%Graficas
x=0:0.1:3;
plot(x,subs(f,x),'k');
hold on
plot(x,subs(p1,x),'r');
plot(x,subs(p2,x),'b');
plot(x,subs(p3,x),'g');
plot(x,subs(p4,x),'c');
legend('Funcion log(x)','Polinomio 1','Polinomio 2','Polinomio 3','Polinomio 4')
3 ) 𝑓(𝑥) = log(𝑥) 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎 = 1
%Errores
x=pi/8;
vv=subs(f,x);
ValorAprxP1=vpa(subs(p1,x),5)
ErrorAbsP1=vpa(abs(vv-ValorAprxP1),5)
ErrorRelP1=vpa(abs(ErrorAbsP1/vv,5))
ValorAprxP2=vpa(subs(p2,x),5)
ErrorAbsP2=vpa(abs(vv-ValorAprxP2),5)
ErrorRelP2=vpa(abs(ErrorAbsP2/vv,5))
ValorAprxP3=vpa(subs(p3,x),5)
ErrorAbsP3=vpa(abs(vv-ValorAprxP3),5)
ErrorRelP3=vpa(abs(ErrorAbsP3/vv,5))
ValorAprxP4=vpa(subs(p4,x),5)
ErrorAbsP4=vpa(abs(vv-ValorAprxP4),5)
ErrorRelP4=vpa(abs(ErrorAbsP4/vv,5))
p1 =(x - 1)/log(10)
p2 = (x - 1)/log(10) - (x - 1)^2/(2*log(10))
p3 = (x - 1)/log(10) - (x - 1)^2/(2log(10)) + (x - 1)^3/(3log(10))
p4 = (x - 1)/log(10) - (x - 1)^2/(2log(10)) + (x - 1)^3/(3log(10)) - (x -
1)^4/(4*log(10))
ValorAprxP1 = - 0.26375 ErrorAbsP1 = 0.14219 ErrorRelP1 = 0.
ValorAprxP2 = - 0.34383 ErrorAbsP2 = 0.062106 ErrorRelP2 = 0.
ValorAprxP3 = - 0.37626 ErrorAbsP3 = 0.029681 ErrorRelP3 = 0.
ValorAprxP4 = - 0.39103 ErrorAbsP4 = 0.014912 ErrorRelP4 = 0.
