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Tarea 1.
Variable Compleja I
Flores Arreola Miguel Alejandro
Tejero Arévalo Ricardo
Salas Palmerin Donovan
Facultad de Ciencias
16 de Agosto del 2024
- Calcule la norma, el argumento y el conjugado de los siguientes números complejos:
a. z 1 = − 4 − 4
3 i Norma:
|z 1 | =
q (−4)^2 + (− 4
3)^2 =
p 16 + (16)(3) =
Argumento:
α = arctg
= arctg(
- = arctg(1,732) = 60
Conjugado:
z 1 = −4 + 4
3 i
b. z 2 = −
2 i Norma:
|z 1 | =
q (−
2)^2 + (
2)^2 =
Argumento:
α = arctg
= arctg(−1) = − 45
Conjugado:
z 2 = −
2 i
c. z 3 = 1 −
3 i Norma:
|z 1 | =
q (1)^2 + (−
3)^2 =
Argumento:
α = arctg
= arctg(−
- = arctg(− 1 ,732) = − 60
Conjugado:
z 3 = 1 +
3 i
d. z 4 = 3 + 4i Norma: |z 1 | =
p (3)^2 + (4)^2 =
Argumento:
α = arctg
= arctg(1,3333) = 53, 13010235
Conjugado:
z 4 = 3 − 4 i
- Sean z = 4 + 3i y w = 5 + 3i, calcule:
a. z + w Sustituyendo los valores de z y w tenemos:
(4 + 3i) + (5 + 3i) = (4 + 5) + (3 + 3)i = 9 + 6i
b. z − w Sabemos que el conjugado de un número complejo es de la forma z¯ = a − bi. Entonces:
z − w = (4 − 3 i) − (5 − 3 i) = (4 − 5) + (−3 + 3)i = −1 + 0i = − 1
c. zw Sustituyendo los valores de z y w tenemos:
(4 + 3i)(5 + 3i) = ((4)(5) − (3)(3)) + i((4)(3) + (3)(5)) = 11 + 27i
d. (^) wz Sustituimos los valores de z y w, además multimplicamos por el conjugado de w de manera que tenga- mos una division que de 1, así tenemos:
4 + 3i
5 + 3i
4 + 3i
5 + 3i
5 − 3 i
5 − 3 i
((4)(5) + (3)(3)) + i((4)(−3) + (3)(5))
(5)^2 + (3)^2
29 + 3i
34
3 i
34
- Encuentre z, w ∈ C que cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:
a. z + w = 5 b. (^) wz es un imaginario puro. c. |z| = 2|w|
- Demuestre que el cociente de un número complejo entre su conjugado da como resultado un complejo
de módulo 1.
Sea z = a + ib ∈ C , ent. z = a − ib. Primero:
z z
a + ib a − ib
a + ib a − ib
a + ib a + ib
(a^2 − b^2 ) + i(2ab) a^2 + b^2
i1+2+3+4+...,99+ Ahora lo que nos interesa calcular es:
S = 1 + 2 + 3 +... + 98 + 99 + 100
Gracias a la propiedad conmutativa de la suma, podemos poner los sumandos en este orden:
S = 100 + 99 + 98 +... + 3 + 2 + 1
Si ahora sumamos ambas expresiones lo podemos expresar, valga la redundancia, de la siguiente manera:
2 S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +... + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1)
Es decir: 2 S = 101 + 101 + 101 +... + 101 + 101 + 101 (100 veces 101)
Luego S será:
S =
es decir, 50 veces 101. Cabe mencionar que está fue la solución dada por Gauss a esta suma.
Ahora como sabemos que la potencia debe ser 5050 es fácil calcular lo que se pide. Como a 5050 se le debe restar un dos para que sea divisible entre 4 y gracias a que ya conocemos los valores de in^ mod 4 sabemos que:
i^5050 = i^2 = − 1
- Sea P = in^ + i−n, donde n es un número natural. ¿Cuántos y que valores puede tomar P?
Sabemos que las potencias naturales de i son valores cíclicos y se comportan de la siguiente manera:
- i−4 = 1
- i−3 = i⋆
- i−2 = − 1 ⋆
- i−1 = −i⋆
- i^0 = 1⋆
- i^1 = i⋆
- i^2 = − 1 ⋆
- i^3 = −i⋆
- i^4 = 1
Como podemos ver en la lista los que tienen un símbolo de estrella al lado son valores cíclicos que se vuelven a repetir. Por lo que podemos decir que n toma valores [1, i, − 1 , −i] y −n toma valores [1, −i, − 1 , i] por lo que las combinaciones que hay son las siguientes:
P = 1 + 1 = 2
P = 1 − i
P = 1 − 1 = 0
P = 1 + i
P = i + 1
P = i − i = 0
P = i − 1
P = i + i = 2i
P = −1 + 1 = 0
P = − 1 − i
P = − 1 − 1 = − 2
P = −1 + i
P = −i + 1
P = −i − i = − 2 i
P = −i − 1
P = −i + i = 0
Recordemos que la suma es conmutativa, por tanto puede tomar 10 valores distintos y los valores que puede tomar son (2, 1 − i, 0 , 1 + i, i − 1 , 2 i, − 1 − i, − 2 , − 2 i)
- Si |z| = 1 pruebe que az+b bz+a
= 1 para todo a, b ∈ C. Puesto que |z| = 1, tenemos que z = z−^1 por lo tanto:
az + b
bz + a
az + b
b + az
z
Las ocho raices octavas de la unidad.
Por las propiedades de valor absoluto y puesto que |z| = 1
az + b
bz + a
az + b
b + az
|z|
ya que |az + b| = az + b = az + b
b. Demuestre que |z + w|^2 + |z − w|^2 = 2
|z|^2 + |w|^2
|z + w|^2 + |z − w|^2 = (z + w)(z + w) + (z − w)(z − w) = (z + w)(z + w) + (z − w)(z − w)
= (zz + zw + zw + ww) + (zz − zw − zw + ww)
= 2zz + 2ww = 2(zz + ww) = 2(|z|^2 + |w|^2 )
- Demuestre que la ecuación de una circunferencia o una recta en el plano z se puede escribir de la forma
αz z¯ + βz + β¯ z¯ + γ = 0 donde α, γ ∈ R y β ∈ C.
La circunferencia se puede expresar como |z 0 − z|^2 = r^2 en el plano complejo, donde z 0 ∈ C es el centro, z ∈ C un complejo que cumple la ecuación y r el radio. Así:
r^2 = |z 0 − z|^2 = (z 0 − z)(z 0 − z) = (z 0 − z)(z 0 − z) = z 0 z 0 − z 0 z − z 0 z + zz
⇒z 0 z 0 − z 0 z − z 0 z + zz − r^2 = 0
Sabemos que z 0 z 0 − r^2 ∈ R , y que −z 0 , −z 0 ∈ C y son conjugados. Definimos α = 1, β = −z 0 , γ = z 0 z 0 − r^2. Así: αz z¯ + βz + β¯ z¯ + γ = 0
- Muestre que sen(θ) = e
iθ (^) −e−iθ 2 i y cos(θ) =^
eiθ^ +e−iθ 2 Demostración: Según la formula de euler se tiene que ∀θ ∈ R y θ ∈ [− 2 π, 2 π] se cumple que:
eiθ^ = cos(θ) + isen(θ)
e−iθ^ = cos(θ) − isen(θ)
Supongamos entonces que sen(θ) ̸= e
iθ (^) −e−iθ 2 i y^ cos(θ)^ ̸=^
eiθ^ +e−iθ 2 Vease que si sumamos (e
iθ (^) y e−iθ (^) ) se
obtiene que:
eiθ^ + e−iθ^ = cos(θ) + isen(θ) + cos(θ) − isen(θ) = 2cos(θ)
por lo tanto cos(θ) = e
iθ (^) +e−iθ 2 despejando^ cos(θ)^ en la ecuación anterior. Así también vease que si restamos (eiθ^ y e−iθ^ ) se obtiene que:
e
iθ − e
−iθ = cos(θ) + isen(θ) − cos(θ) + isen(θ) = 2isen(θ)
por lo tanto sen(θ) = e
iθ (^) −e−iθ 2 i despejando^ sen(θ)^ en la ecuación anterior. Así concluyo que se puede escribir:
cos(θ) =
eiθ^ + e−iθ
2 y también se puede escribir
sen(θ) =
eiθ^ − e−iθ 2 i
Esto contradice la hipótesis. Por lo tanto queda demostrado que:
cos(θ) =
eiθ^ + e−iθ 2
y
sen(θ) =
eiθ^ − e−iθ
2 i □
