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Grado en Administración y Dirección de Empresas
Matemáticas para la Economía y la Empresa
RELACIÓN DE PROBLEMAS. LECCIÓN 2 – Parte 1
1. Dada la función 2
2
−
x
x f x , calcule:
a) La función derivada. b) La derivada en el punto x = 4. c) La recta tangente en el punto x = 4.
2. Sean las funciones:
w
uv guvw
f x y z x yz Lnxyz exyz
=
( , , ) (^2 , ( ), )
a) Determine el dominio de f y g. b) Calcule las funciones componentes de f y g. c) ¿Se pueden componer f y g?
3. Calcule Dv f ( x (^) 0 ) para x 0 = (1, 1) y v = (3, 2), para la siguiente función:
f ( x 1 , x 2 ) = 2
x
Ln x
4. Dada f ( x , y ) = sen ( x^2 y ) + cos ( xy^2 ). Calcule la derivada direccional según el vector v = (2, 1) en x 0 = (π, 0) e indique su significado. 5. (Examen feb. 2003) Calcule el desarrollo de Taylor de gado uno de la función en el punto (1, 1, 1).
3
( , , ) z
x y
f x y z e
6. (Examen feb. 2004) Sea la función f : D ⊂ R^3 → R^2 definida por
( ) (^) ⎟⎟ ⎠
y x z z x
x y f ( x , y , z ) Ln , 1 2 , calcule la derivada direccional de f en el punto
(1,-1, 2), según la dirección del vector (-1, 1, -1) e interprete el resultado.
7. (Examen sep. 2004) Dada la función (^) ⎟⎟ ⎠
= y xz y x
zx f x y z^2
3 ( , , ) , calcule la
jacobiana de la función en el punto (1,-1,-1).
8. a) Calcule la matriz jacobiana de la función:
( , ) ( , x^2 y^2 xy ) y
Lnx f x y = + +
b) Calcule la hessiana de la función escalar que ocupa la primera componente, en el punto (1, 1/2).
9. (Examen sep. 2003) Dada la función (^) ⎟⎟ ⎠
z
x y f x y z Ln
2 3 ( , , ) donde , calcule ⎪ ⎩
z t
y e
x t t
2
2
dt
df ( t ) para t = 1 utilizando la Regla de la Cadena.
10. (Examen feb. 2004). Sean las funciones f ( x , y )= ( x^2 + 2 y^1 /^2 , x cos( y − 1 )) y
, analice si se pueden componer, y en caso afirmativo, calcule la
derivada parcial de la función compuesta con respecto a su segunda variable, en el punto (1, 1), aplicando la regla de la cadena.
g ( u , v )= u^1 /^2 v^2
11. (Examen feb. 2003) En un proceso productivo, a partir de tres materias primas, A, B y C, se obtienen dos bienes semiterminados B1 y B2 mediante la siguiente función de producción:
2 3
2
z
x y Ln z
x y uv f x y z
donde x , y , z son las cantidades de materia prima utilizadas de A, B y C respectivamente, mientras que u y v son las cantidades de B1 y B2. A partir de B1 y B se produce un bien final, B mediante la función:
v u
u v g uv −
( )^2
Calcule la productividad marginal de las tres materias primas, A, B y C si en el momento actual utilizamos una unidad de cada una de ellas.
12. (Examen sep. 2004) Una empresa produce dos bienes utilizando tres factores productivos en cantidades x , y , z , respectivamente. La función de producción viene dada por la siguiente expresión:
q ( x , y , z )= ( q 1 ( x , y , z ), q 2 ( x , y , z )) =( Ln ( x^2 z + y ), y x^2 + z^2 )
a) Analice si la función de producción del segundo bien ( q 2 ( x , y , z )) es una función homogénea y, en caso afirmativo, de qué grado. Interprete los resultados. b) Si las cantidades empleadas de los dos factores evolucionan en el tiempo de acuerdo con las siguientes expresiones:
t
zt
yt e
xt t t
2 ()
2
2
Determine la productividad marginal de cada una de las tres materias primas en el bien final, si en este momento la empresa está utilizando las siguientes cantidades de las mismas: x = 1, y = 4, z = 2.
19. (Examen Feb. 2005) Una empresa produce un bien A , utilizando dos productos semiterminados S 1 y S 2 , en cantidades u y v , respectivamente, siendo su función de producción:
q ( u , v )= 2 uv^2 +ln uv
Estos productos semiterminados se obtienen a su vez a partir de tres materias primas M 1 , M 2 y M 3 , que utiliza en cantidades x , y , z , respectivamente, según la siguiente función de producción conjunta:
= = + z xy z y
xz u v f x y z^2
2 ( , ) ( , , ) ln ,
r
a) Si en este momento se está utilizando 1 unidad de cada materia prima, determine qué cantidad se está produciendo del bien A. b) ¿Qué rendimientos de escala presenta la segunda función componente de f , f
r 2? c) Si los precios unitarios de las tres materias primas es el mismo, ¿de cuál convendría más aumentar la cantidad utilizada?
20. (Examen Junio 2005) Sea la función f : D ⊂ R^3 → R^2 definida por:
y z
x
f ( x , y , z ) ex^ y z ,
2 2 2
Calcule la derivada direccional en el punto (^1 ,^1 ,^1 )según la dirección. Interprete
el resultado.
( 2 , 4 , 1 )
21. (Examen Sep. 2005) Una empresa dedicada a la producción de un bien utiliza en su proceso productivo dos productos semiterminados S1 y S2 , en cantidades u y v respectivamente, y obtiene una cantidad del bien final, w , según la función de producción conjunta:
w = q ( u , v )= uv + v^2
a) Determine el tipo de rendimiento de escala que muestra dicha función e interprete el resultado obtenido b) Supongamos que la empresa adquiere una máquina mediante la cual obtiene los dos productos semiterminados, S1 y S2 , a partir de dos materias primas: M1 y M2 , que la empresa utiliza en cantidades x e y. Según la función de producción conjunta:
( , ) , u v y
x y f x y x y Ln ⎟⎟= ⎠
r
Calcule la productividad marginal de las dos materias primas en el producto final, supuesto que se utiliza una tonelada de cada materia prima. ¿Qué interpretación daría al resultado obtenido?
