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materiales de matemáticas
Ejercicios de derivadas Matemáticas aplicadas a las CCSS I
- Derivar las siguientes funciones y simplificar el resultado en la medida de lo posible.
y x x x 2)
2 2
y 3 x 4 x 5 3)
2 2 y x 3 2 x x 1
x y x
(^) 5) 2 (^) y x 5 6)
3 2 y x 1
5 2 y x 7 x 8)
2
3
x x y x
(^) 9) 2 y x 4 x 5
x y x
(^) 11)
3
2
x x y x
x y x
x y x
3 4
3
x y x
2 y x 1 x 2 x 2
- y 1 x 17)
2 y 2 x 2 x 18) y 2 x 2 x
2 y x 3 x 1 20)
x y x
(^) 21) y ln x
4 3 y ln x 23)
log 2
x y x
2 y log x 1 x
ln
2
x
x
y 26) y ln x 1 x 27)
2 y ln x x 1
- ln 1
x
x
e y e
2 2 ln
x y e x 30)
3 2 ln 2 1
x y x
3 3 x y x e
32)
ln 1
x
x
e y e
ln 1
x y x
2 2 2
x y x x e 35)
3 3 ln 3
x
y x x 36) y^ ^ a^ ^ x ^ a^ x
ln 1 1
x
x
e y e
38)^ y^ ^ x^ ^2 x^ ^ 2ln 1 x 39)
3 y 5 ln ax b
3 3 y a bx 41)
x y xe x 42)
2 2 10
x y x
2
y ln x ln ln x 44)^ y^ ^ ln^ x^ ^1 ^ ln^ x ^1 45)
2 2 1 1 1 ln
x y x x
2 2 5 x y x e 47) 2
x x e e y
2 y 1 x 1
x y x
(^) 50)
2
2
ln x x y x
2
x y x
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Ejercicios de derivadas Matemáticas aplicadas a las CCSS I
- Calcular las ecuaciones de la recta tangente a cada una de las curvas siguientes en el puntos de abscisa que se
indica:
a)
2 y 8 7 x x en x 1.
b)
3 2 y x 5 x 4 x 2 en x 3.
c)
x y x
en x 2.
d) y 2 x 1 en x 4.
- Sabemos que el espacio s recorrido por un móvil depende del tiempo t que lleve moviéndose. Es decir s es
una función de t. Además, la velocidad v del móvil es la derivada del espacio respecto del tiempo: v s ' t. Si
la ecuación de la trayectoria de un móvil es 2 s 3 t 5 t 8 ( s en metros, t en segundos)
a) ¿Qué velocidad lleva el móvil en el instante t 4 segundos?
b) ¿En qué momento se para el móvil?
- Hallar en qué punto la tangente a la curva
3 y x 5 es:
a) Paralela a la recta 12 x y 17 (dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente).
b) Perpendicular a la recta x 3 y 2 (dos rectas 1 2 y m x n , 2 2 y m x n son perpendiculares si
1 2
m m
- Determina el valor de m con la condición de que la derivada de la función
mx m y x x m
sea igual a
1 cuando x vale 1.
- El número de personas atacadas cada día por una determinada enfermedad viene dada por la función
2 f x x 40 x 84 , donde x representa el número de días transcurridos desde que se descubrió la
enfermedad. Calcula:
a) El número de días que deben transcurrir para que desparezca la enfermedad.
b) La tasa de propagación de la enfermedad al cabo de 5 días.
c) El momento en que la enfermedad deja de crecer.
d) El número de días que tienen que pasar para que la enfermedad se extinga a razón de 32 personas por día.
- La cotización de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de
un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:
3 2 C x 45 x 243 x 30000
a) ¿Cuál ha sido la cotización en Bolsa el día 2?
b) Determina los días en que alcanza las cotizaciones máxima y mínima.
c) Calcula esas cotizaciones máxima y mínima.
- De las funciones que se dan a continuación calcula el dominio, los puntos de corte con los ejes, las asíntotas, los
intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos. Finalmente, utilizando los
datos anteriores, realiza la representación gráfica de la función.
2 3
x f x x
2
2
x f x x
3) ^ ^2
f x x
2
f x x
2
2
x f x x
2
x f x x
3
2 1
x f x x
2
2 1
x f x x
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Ejercicios de derivadas Matemáticas aplicadas a las CCSS I
Si (^) q 25.000, obtenemos:
I
C
Fabricar la unidad (^) 25.001ocasiona un gasto adicional de 150 euros. Su venta, un ingreso extra de 0 euros. Esto
no interesa.
c) Es conveniente fabricar más unidades siempre que I ' q C ' q ; y el máximo se alcanza cuando
I ' q C ' q . Luego: 2.000 0,08 q 100 0,002 q 1.900 0,082 q q 23.170,73.
Por tanto conviene fabricar, redondeando, hasta 23.171unidades para que los beneficios sean máximos.
Ejercicios
- El coste de fabricación (en euros) de un determinado producto depende del número q de unidades fabricadas
según la función:
2 C q 1.000.000 100 q 0,001 q
Se pide:
a) ¿Cuál es el coste medio por unidad CM q ? [ Indicación : se define el coste medio por unidad como el coste
total entre el número de unidades fabricadas]
b) ¿Qué cantidad hay que fabricar para minimizar el coste medio por unidad?
c) ¿Cuál es el coste mínimo promedio por unidad?
- La demanda del producto de una empresa está en función del precio de venta de ese producto. A un precio p
(en euros) la empresa vende 50.000 50 p unidades de ese producto al año. Se pide:
a) La función I p que da el ingreso anual de esa empresa.
b) El precio al que debería vender el producto para maximizar el ingreso anual. ¿A cuánto ascendería ese
ingreso?
- La función que da el coste (en euros) de fabricación de q unidades de un producto viene dada por la expresión:
2 C q 5.000 500 q 0,02 q
a) Calcula el coste medio por unidad. Si se fabrican 1.000piezas, ¿cuál será el coste unitario?
b) ¿Qué cantidad hay que fabricar para minimizar el coste medio por unidad?
- A un precio de p euros se venden: q 100.000 200 p unidades de un determinado producto. Por otra parte,
el coste de producción de esas q unidades es:
2 C q 150.000 100 q 0,03 q
Halla:
a) La función B q que da el beneficio de las q unidades producidas y vendidas.
b) El número de unidades que hay que producir para que la ganancia sea máxima.
c) El precio al que deben venderse para ello.
d) Las ganancias para ese precio.
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Ejercicios de derivadas Matemáticas aplicadas a las CCSS I
Soluciones:
1) y ' 3 x x 2 2)
2 y ' 2 3 x 4 x 5 6 x (^4) 3) 3 2 y ' 8 x 3 x 14 x 3
2
y x
(^) 5) 2
x y x
2 3 2
x y
x
2 4 5
x y
x x
(^) 8)
4 3
2 3
x x x y
x
(^) 9) 2
x y x x
y x x x
4 2
2 2
x x x y
x
y x x x
2
y
x x
2 3 3
5 3
x x y
x
2
2
x x y x x
y
x x x
(^) 17)
2 5 8 ' 2
x x y x
(^) 18)
x x y x
2
2
x y x
x y x x
(^) 21)
2 ln
y x x
y x
2 2 ln
y x x
2
2
1 ln
x y x x
1 ln ln 2 ' 2
x
x x y x
x y x x
2
2 2
x x y
x x x
x x y e e
' 2 ln
x y e x x
x y x x
2 3 ' 3 1
x y x e x
32) 2
x
x
e y e
- 2 2
y x x
2 '
x y x e 35)
2 y ' 3 x ln x 36)
a x y a x
x
y e
x y x
(^) 39)
2 15 ln '
a ax b y ax b
2
2 3 3
bx y
a bx
x x
x
e xe y xe x
2 ' 10 2 ln
x y x x
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3 ) 4 )
5 ) 6 )
7 ) 8 )
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Ejercicios de derivadas Matemáticas aplicadas a las CCSS I
9. a)
CM q 100 0,001 q q
b) Para minimizar el coste medio por unidad habrá que fabricar 31.622,77 unidades.
c) El coste mínimo promedio por unidad será de 163,25 euros.
10. a)
2 I p 50.000 p 50 p
b) Precio al que debería venderse el producto: 5.000 euros. Ingreso total: 125 millones de euros.
11. a)
CM q 500 0,02 q q
. El coste unitario es de 525 euros.
b) Para minimizar el coste medio por unidad hay que fabricar 500 unidades.
12. a)
2 B q 150.000 400 q 0,008 q.
b) Número de unidades que hay que producir para que la ganancia sea máxima: 25.
c) Precio al que deben venderse para ello: 375 euros.
d) Ganancias para ese precio: 4.850.000 euros.
