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APLICACIONES DE LA DERIVADA
RECTA TANGENTE
EJERCICIO 1 : enx 0.
e
x 1 Escribe laecuacióndelarectatangentealacurvafx 0 x
2
Solución:
Ordenada del punto: f (0) 1
Pendiente de la recta:
x
2
x 2
x 2
x 2
x 2 x
e
2 x x 1
(e )
e 2 x x 1
(e )
2 xe x 1 ·e f 'x
f ' (0) 1
Ecuación de la recta tangente: y -1 1 ( x 0) y x 1
EJERCICIO 2 : Escribe las ecuaciones de la rectas tangentes a la curva x
3 y
2 x 9 0 en x 0
Solución:
Ordenadas de los puntos:
y 2
y 2 1 3 y 2 9 0 12 3 y 4 y
2 2 2
Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)
Pendientes de las rectas: 2 x 6 y · y ' 2 0
3 y
1 x y' 6 y
2 2 x y'
y' 1 , 2
y ' 1 , 2
Ecuaciones de las rectas tangentes:
x 3
x 1 y 3
x 3
x 1 y 3
- En 1 , 2 y 2
EJERCICIO 3 :
enx 3. x 1
x x 1 Halla laecuacióndelarectatangentealacurvay 0
2
Solución:
Ordenada en el punto: y (3) 9
Pendiente de la recta:
x 1
x x
x 1
x x 1 y
2 3 2
3
2 3 2
2 3 2
2 x 1
23 x 2 x x 1 x x
(x 1 )
2 x 1
3 x 2 x x 1 x x ·
y'
3
3 2
2 x 1
5 x 3 x 4 x
y' 3
Ecuación de la recta tangente:
x 8
x 3 y 8
y 9
ESTUDIO DE FUNCIONES
EJERCICIO 4 : Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:
3 x 1
3 x 9 x 3 fx
2
Solución:
2
2 2
2
2
( 3 x 1 )
18 x 6 x 27 x 9 9 x 27 x 9
( 3 x 1 )
6 x 9 3 x 1 3 x 9 x 33 f 'x 2
2
( 3 x 1 )
9 x 6 x
3 x 2 0 x
3 x 0 x 0
f 'x 0 9 x 6 x 0 3 x 3 x 2 0
2
Signo de f ' ( x ):
.Tieneunmáximo 3
, ;esdecrecienteen 0 , 3
f x escrecienteen , (^0)
. 3
en 0 , 3 yunmínimoen
EJERCICIO 5 : Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la curva: f (x) 5x
(x 1)
Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.
Solución:
Primera derivada: f ' ( x ) 10 x ( x 1)
5 x
· 2 ( x 1) 10 x ( x 1)
10 x
( x 1)
10 x ( x 1) ( x 1 x ) 10 x ( x 1) (2 x 1)
x
x 1
x 0
f'x 0
Signo de f ' ( x ):
1 , . Tieneun 2
, 1 ;escrecienteen 0 , 2
f x esdecrecienteen , (^0)
ydosmínimos: 0 , 0 y1, 0 . 16
máximo en
Segunda derivada:
f ' ( x ) 10 x ( x 1) (2 x 1) 20 x
30 x
10 x
f '' ( x ) 60 x
60 x 10 10 (6 x
6 x 1)
x 0 , 79
x 0 , 21
f ''x 0 6 x 6 x 1 0 x
2
Signo de f'' ( x ):
f ( x ) es cóncava en (; 0,21) (0,79; ); es convexa en (0,21; 0,79). Tiene dos puntos de inflexión: (0,21; 0,14)
y (0,79; 0,14).
TEOREMAS
EJERCICIO 6 : Comprueba que la función f ( x ) x
2 x 1 cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el
intervalo [3, 1]. ¿Dónde cumple la tesis?
Solución:
La función f ( x ) x
2 x 1 es continua y derivable en todo R ; por tanto, será continua en [3, 1] y derivable en
(3, 1).
^
soniguales. f 1 2
f 3 2 Además:
Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle. Así, sabemos que existe
c (3, 1) tal que f '( c ) 0.
Veamos dónde se cumple la tesis: f '( x ) 2 x 2 f '( c ) 2 x 2 c 1 (3, 1)
EJERCICIO 9 : Calcula los valores de a , b y c para que la función:
bx c si 1 x 2
x ax si 2 x 1 fx
2
cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [ 2, 2]. ¿Qué asegura el teorema en este caso?
Solución:
Continuidad en [2, 2]:
- Si x 1, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.
- En x 1:
f 1 b c
lím fx lím bx c b c
lím fx lím x ax 1 a
x 1 x 1
2
x 1 x 1
Para que sea continua en x 1, ha de ser 1 a b c.
Derivabilidad en (2, 2):
- Si x 1, la función es derivable, y su derivada es:
b si 1 x 2
2 x a si 2 x 1 f'x
- En x 1, han de ser iguales las derivadas laterales:
2 a b
f' 1 b
f' 1 2 a
Además, debe ser f (2) f (2); es decir:4 2 a 2 b c
Uniendo las condiciones anteriores, tenemos que:
c 1
b
a
4 2 a 2 b c
2 a b
1 a b c
En este caso, el teorema de Rolle asegura que existe c (2, 2) tal que f '( c ) 0.
EJERCICIO 10 : Comprueba que la función f ( x ) 3 x
6 x 7 cumple las hipótesis del teorema del valor
medio en el intervalo [1, 2]. ¿Dónde cumple la tesis?
Solución:
La función f ( x ) 3 x
6 x 7 es continua y derivable en R ; por tanto, será continua en [1, 2] y derivable en
(2, 1). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio.
Entonces, existe c (1, 2) tal que: 3
f( 2 ) f( 1 ) f 'c
Veamos cuál es el valor de c en el que se cumple la tesis: f '( x ) 6 x 6 f '( c ) 6 c 6 3 6 c 3
. Latesissecumpleen c 2
c
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
EJERCICIO 11 : La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del
tercero suman 120. Halla los números que verifican estas condiciones y cuyo producto es máximo.
Solución:
Llamamos x al primer número, y al segundo y z al tercero. Así, tenemos que:
y 60 2 z
x z
x 2 y 120 3 z
x y 60 z
x 2 y 3 z 120
x y z 60 x,y,z 0
El producto de los tres números es: P x · y · z z · (60 2 z ) · z z
(60 2 z ) f ( z ), z > 0
Buscamos z para que f ( z ) sea máximo:
f '( z ) 2 z (60 2 z ) z
· (2) 2 z (60 2 z z ) 2 z (60 3 z ) 120 z 6 z
z 20
z 0 (novale,pueshadeserz 0). f'z 0
Veamos que en z 20 hay un máximo: f ''( z ) 120 12 z ; f ''(20) 120 < 0 hay un máximo
Por tanto, el producto es máximo para x 20, y 20, z 20.
EJERCICIO 12 : Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 5 metros, determina razonadamente el
que tiene área máxima.
Solución:
f x, 0 x 5
x 25 x Área
2
Buscamos x para que el área sea máxima:
25 x x fx
2 4
2
2
2
2
2 4
3
2 4
3
2 25 x
25 2 x
2 x 25 x
x 25 2 x
2 25 x x
25 x 2 x
4 25 x x
50 x 4 x f'x
x
(novale) 2
x
f 'x 0 25 2 x 0 x
2 2
yf' x 0 asuderecha,en
(Como f'x 0 alaizquierdadex hayunmáximo). 2
x
metros. 2
Por tanto, eláreaesmáximacuandolosdoscatetosmidenx
EJERCICIO 13 : Un móvil se desplaza según la función: e ( t ) 600 t 150 t
115 t
27 t
2 t
, que nos da el
espacio en metros recorrido por el móvil en t minutos.
Determina a cuántos metros de la salida está el punto en el que alcanza la máxima velocidad.
Solución:
La función que nos da la velocidad es la derivada de e ( t ):
e' ( t ) 600 450 t
460 t
135 t
12 t
v ( t )
Para obtener el máximo de la velocidad, derivamos v ( t ):
v' ( t ) 900 t 1 380 t
540 t
60 t
60 t (15 23 t 9 t
t
) 60 t ( t 1) ( t 3) ( t 5)
v' ( t ) 0 t 0, t 1, t 3, t 5
Obtenemos el valor de v ( t ) en estos puntos: v (0) 600, v (1) 713, v (3) 249, v (5) 1 225
Por tanto, la máxima velocidad se alcanza en el minuto t 5 y el espacio recorrido es
e (5) 3 000 m.
