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I.T. Telecomunicaciones (Telemática) Cálculo Curso 2007/ 1 o^ Cuatrimestre Derivabilidad de funciones reales de variable real
Hoja de problemas Tema 4
- Determinar los valores del número real k para los cuáles la función p(x) = x^3 − 3 x+k se anula en algún punto del intervalo [− 1 , 1].
- Estudiar la existencia y la continuidad de la función inversa de la función f (x) = 3 + 1/x definida para x > 0.
- Estudiar la existencia y la continuidad de la función inversa de la función f (x) = (1 − x^3 )/x^3 definida para x > 1.
- Estudiar la derivabilidad en el punto x 0 = 0 de las siguientes funciones
f (x) = (x^3 + x^2 )^1 /^2 y f (x) =
∣x^1 /^3
definidas en un entorno de x 0 = 0. ¿Son continuas estas funciones en dicho punto?
- Se considera la función f definida sobre R del siguiente modo:
f (x) = e−^1 /(1−x (^2) ) si |x| < 1 f (x) = 0 si |x| ≥ 1
a) Demostrar que f es continua en todo R. b) Calcular la derivada de f en cualquier punto x ∈ R.
- Calcular las derivadas a la derecha y a la izquierda de x = 0 de la función
f (x) =
x arctan (^1) x si x 6 = 0 0 si x = 0
- Calcular la función derivada de las siguientes funciones:
1)f (x) = arctan(
x − 1) − arcsin
x− 1 x
x > 1; 2)f (x) = log
√ 1+x+ √ √^1 −x 1+x−√ 1 −x ,^0 < x < 1;
3)f (x) = log cos arctan
√^1 x^2 − 1
, |x| > 1; 4)f (x) = (x−2)
9 √ (x−1)^5 (x−3)^11 , x > 3;
5)f (x) = (sen(x))cos(x)^0 < x < π/2; 6)f (x) =
x +
x +
x, x > 0
7)f (x) =
( 1 −x 1+x
)2 log(1+x) , x > −1; 8)f (x) = xarcsin(x), x > 0
- Las manecillas de un reloj miden 4 y 6 cm; unidos sus extremos, formando así un triángulo. Se pide:
a) Expresar en función del tiempo el área del triángulo. b) Determinar el instante comprendido entre las 12 horas y las 12,30 horas para el cual es máxima el área. Determinar el valor de este máximo.
- Un depósito está inicialmente lleno con 1.000 litros de agua salada cuya concentra- ción o salinidad es de 2 gr. de sal por litro. Para reducir la salinidad se hace entrar agua pura en el depósito a razón de 5 litros por minuto, al tiempo que por un orificio el depósito evacua el mismo caudal. Determinar la cantidad de sal contenida en el depósito en función del tiempo y calcular el tiempo que debe transcurrir para que queden sólo 200 gramos de sal.
- Halla las intersecciones con los ejes de la recta que es tangente a la curva y = x^3 en el punto (− 2 , −8).
- Halla los puntos sobre la curva y = 2x^3 − 3 x^2 − 12 x + 20 donde la tangente sea
a) perpendicular a la recta y = 1 − (x/24); b) paralela a la recta y =
2 − 12 x.
- Una partícula se mueve de izquierda a derecha sobre la parábola y =
−x, de tal manera que su coordenada x (medida en metros) decrece a razón de 8 m/s. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo de inclinación θ de la recta que une a la partícula con el origen cuando x = − 4 ?.
- Las coordenadas de una partícula en el plano métrico xy son funciones diferenciables del tiempo t, con dx/dt = − 1 m/s y dy/dt = − 5 m/s. ¿Con qué velocidad cambia la distancia de la partícula al origen cuando pasa por el punto (5, 12)?
- Un aeroplano que patrulla la autopista vuela a 3 millas sobre una autopista recta y sin declive alguna a 120 mi/h. El piloto ve un auto que se acerca y con el radar determina que el instante en el que la distancia entre ellos y el auto a lo largo de su línea de visión es de 5 millas, dicha distancia decrece a razón de 160 mi/h. Halla la velocidad del auto sobre la autopista.
- Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:
a)f (x) =
x^3 + x^2 b)f (x) = log(|x|)
c)f (x) =
x^2 x ≥ 1 ax + b x < 1
d)f (x) =
cos(x) si − π/ 2 < x ≤ 0 sen(x) si 0 < x < 2 π
- Sea f (x) = 1 + xm(x − 1)n^ siendo m, n ∈ N. Demostrar que f ′(x) posee una raíz en el intervalo (0, 1).
- Haciendo uso de la fórmula de Taylor para la función (1 + x)^1 /^3 calcular aproxima- damente (1, 03)^1 /^3. Situando el término complementario en el lugar de las derivadas terceras, estimar el error cometido.
- Calcular los siguientes límites:
a) l´ımx→ (^0) log(cos(3log(cos(2xx))) b) l´ımx→ (^0) x(1x−−sen(cos(3xx)))
- Representar gráficamente las siguientes funciones:
a)y = x+e
x x−ex^ b)y^ =^
√ x^2 − 1 x^2 − 4 c)y^ =^ x
x(4 − x) d)y = ex
2 x^2 − 4 x e)y = x 3 (1+x)^2
Solución a los problemas de la sección anterior
- Si calculamos la derivada de p(x) obtenemos: p′(x) = 3x^2 − 3. La derivada se anula para x = − 1 y x = 1. Puesto que p′′(x) = 6x. Tenemos que en x = − 1 la función tiene un máximo y en x = 1 un mínimo siendo en el intervalo [− 1 , 1] una función decreciente. Para que la función se anule en [− 1 , 1] basta con que la función alcance un valor positivo o nulo en − 1 y negativo o nulo en 1.
p(−1) = −1 + 3 + k = k + 2
p(1) = 1 − 3 + k = k − 2 Entonces p(−1) ≥ 0 si y sólo si k + 2 ≥ 0 , es decir k ≥ − 2. Análogamente p(1) ≤ 0 si y sólo si k − 2 ≤ 0 , es decir, k ≤ 2. Luego si k ∈ [− 2 , 2] la función p(x) se anula en [− 1 , 1].
- f (x) = 3+ (^1) x = y, despejando x obtenemos que (^1) x = y − 3 , luego x = (^) y−^13 y la función
inversa será f −^1 (x) = (^) x^1 − 3 definida para x > 3 , siendo continua en su dominio de definición.
- Procedemos como en el ejercicio anterior: f (x) = (1−x
(^3) ) x^3 =^
1 x^3 −^1 , de aquí^ x
f (x)+ y x =
1 f (x)+
. Luego
f −^1 (x) =
x + 1
definida para − 1 < x < 0.
- Ambas funciones son continuas en x 0 = 0. Veamos si son o no derivables en dicho punto.
l´ım x→ 0
(x^3 + x^2 )^1 /^2 − 0 x
= l´ım x→ 0
|x|
x + 1 x
Estudiemos este límite por la derecha y por la izquierda:
l´ım x→ 0 +
(x^3 + x^2 )^1 /^2 x
= l´ım x→ 0 +
x + 1 = 1
l´ım x→ 0 −
(x^3 + x^2 )^1 /^2 x
= l´ım x→ 0 −^
x + 1 = − 1
De esta forma concluimos que la función es continua en x 0 = 0 pero no es derivable en dicho punto. De forma análoga procederíamos en el segundo apartado. La función vuelve a ser continua pero no derivable en dicho punto.
- y′^ = 3x^2. La derivada para x = − 2 es 12. La recta tangente será de la forma y = 12 x + n. Como pasa por (− 2 , −8) tenemos que n = −8 + 24 = 16. Las intersecciones con los ejes son los puntos (0, 16), (− 4 / 3 , 0).
- y′^ = 6x^2 − 6 x − 12 ha de ser igual a 24 en el primer caso y a -12 en el segundo.
- La función que expresa el ángulo en función del tiempo viene dado por: (-4,2) es el punto de partida. Cuando ha transcurrido un tiempo t estamos en el punto (−4 + 8 t,
− 8 t + 4). El ángulo θ 0 = arctan(1/2) con el eje 0X. En t el ángulo será θ(t) = arctan(
√ − 8 t+ −4+8t ). La derivada de esta función en^ t^ = 0^ corresponde con la rapidez con la que cambia el ángulo de inclinación θ que une el punto con el origen.
- (5 − ∆t, 12 − 5∆t) es el nuevo punto. La distancia de este punto al origen viene dada por d(∆t) =
169 + 25(∆(t))^2 − 130∆t y d(0) = 13. La derivada de la función d en t = 0 nos da el valor que estamos buscando.
- La distancia entre el avión y el auto viene dada por
d(∆t) =
(120∆t − 4 + m∆t)^2 + 9.
La derivada de d en el punto t = 0 es conocida y sabemos que vale 160 mi/h. De esa ecuación podemos obtener el valor de m que es el de la velocidad del auto. El resultado es de 80 millas/hora.
