Ejercicios ejemplos de ondas, Apuntes de Física

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EJEMPLOS DE ONDAS

Ing. Jorge Gutiérrez Tejerina

• Ejemplo.
• La ecuación de una onda viajera es:
• 𝑎 … … … 𝑦 𝑥, 𝑡 = 0. 05 𝐶𝑜𝑠 0. 4 𝜋𝑥 + 50 𝜋𝑡
• Calcular:
• La frecuencia, el periodo de la onda y la velocidad de propagación.
• La velocidad de vibración de un punto del medio de propagación.
• Determinar la ecuación de la onda estacionaria, asumiendo que se interfiere con otra onda de iguales características en oposición de fase.
• La distancia entre dos vientres de la onda estacionaria. - Solución. - De la ecuación se identifican los siguientes datos: - 𝑘 = 0 .4𝜋 1 𝑚 - 𝜔 = 50𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠 - La frecuencia. - 𝑎. 1 … 𝜔 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓 = 50𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠 - 𝑎. 2 … 𝑓 = 𝜔 2𝜋

50𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2𝜋

• El periodo de la onda.
• 𝑏. 1 … 𝑇 = 1 𝑓

1 25

• Del número de la onda.
• 𝑐. 1 … 𝑘 = 2𝜋 𝜆

• Ejemplo.
• Dos ondas se desplazan en la misma dirección a lo largo de una cuerda estirada. Las ondas están desfasadas 90°. Cada una de las ondas tiene una amplitud de 4 (cm). Encuentre la amplitud de onda resultante.
• 𝑎. 1 … 𝑦 1 𝑥, 𝑡 = 4 𝐶𝑜𝑠 𝑘 1 𝑥 − 𝜔 1 𝑡

• 𝑎. 2 … 𝑦 2 𝑥, 𝑡 = 4 𝐶𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥 − 𝜔 2 𝑡 + 90°

  • 0 1 2 3 4 5 6 7 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2. AMPLITUD Distancia "X" ONDA y1(x,t) y1(x,t=0)

0 1 2 3 4 5 6 7 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2. AMPLITUD Distancia "X" ONDA y2(x,t) y2(x,t=0)

• Solución.
• 𝑏. 1 … … 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦 1 𝑥, 𝑡 + 𝑦 2 𝑥, 𝑡 = 4 𝐶𝑜𝑠 𝑘 1 𝑥 − 𝜔 1 𝑡 + 4 𝐶𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥 − 𝜔 2 𝑡 + 90°
• 𝑏. 2 … … 𝑦 𝑥, 𝑡 = 4 𝐶𝑜𝑠 𝑘 1 𝑥 − 𝜔 1 𝑡 + 𝐶𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥 − 𝜔 2 𝑡 + 90°
• Identificaremos las siguientes variables.
• 𝑐. 1 … … 𝜃 1 = 𝑘 1 𝑥 − 𝜔 1 𝑡
• 𝑐. 2 … … 𝜃 2 = 𝑘 2 𝑥 − 𝜔 2 𝑡 + 90°
• Usando la relación trigonométrica.
• 𝑑. 1 … … … 𝐶𝑜𝑠𝜃 1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃 2 = 2𝐶𝑜𝑠 𝜃 1 −𝜃 2 2 ∙ Cos 𝜃 1 +𝜃 2 2
• 𝑑. 2 … … … 𝐶𝑜𝑠𝜃 1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃 2 = 2𝐶𝑜𝑠 𝑘 1 𝑥−𝜔 1 𝑡 −(𝑘 2 𝑥−𝜔 2 𝑡+90°) 2 ∙ Cos 𝑘 1 𝑥−𝜔 1 𝑡 +𝑘 2 𝑥−𝜔 2 𝑡+90° 2
• 𝑑. 3 … … … 𝐶𝑜𝑠𝜃 1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃 2 = 2𝐶𝑜𝑠 𝑘 1 −𝑘 2 2

𝜔 1 −𝜔 2 2

90° 2

𝑘 1 +𝑘 2 2

𝜔 1 +𝜔 2 2

90° 2

• Como;
• 𝑒. 1 … … … 𝑘 1 = 𝑘 2 = 𝑘
• 𝑒. 2 … … … 𝜔 1 = 𝜔 2 = 𝜔

• Ejemplo
• La cuerda de una guitarra tiene L = 0.9 m y densidad lineal de masa μ = 0.005 kg/m. Está sometida a 72 N de tensión y su modo de vibración es el que muestra la figura, con amplitud 2A = 0.5 cm.
• Encontrar:
• a) Velocidad de propagación
• b) Frecuencia de la onda
• c) La ecuación de la onda estacionaria correspondiente.
• Solución.
• 𝑎 … … … 𝑉 = 𝑇 𝜇

72

1. 005

𝑚 𝑠

• En las cuerdas sujetadas en los extremos, la distancia entre nodos es la mitad de la longitud de la onda.
• En el grafico se tiene la tercera armónicas.
• 𝑏. 1 … … … 𝐿 = 3 𝜆 2
• 𝑏. 2 … … … 𝜆 = 2 𝐿 3

2 ∙ 0. 9 3

• La frecuencia.
• 𝑐. 1 … … … 𝑉 = 𝜆 ∙ 𝑓
• 𝑐. 2 … … … 𝑓 = 𝑉 𝜆

120

1. 6

• La ecuación de la onda estacionaria.
• 𝑑 … … … 𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝑘𝑥 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡)
• 𝑒 … … … 𝑘 = 2 𝜋 𝜆

2 ∙𝜋

1. 6

𝜋

1. 3

10 𝜋 3

• 𝑓. 1 … … … 𝜔 = 𝑘𝑉 = 10𝜋 3

𝑉 𝜆

• 𝑓. 2 … … … 𝑓 = 120 0. 6

𝑟𝑎𝑑 𝑠

• La amplitud máxima.
• ℎ. 1 … … … 𝐴𝑜 = 2 ∙ 𝐴 ∙ 𝑆𝑒𝑛 (𝑘𝑥)
• ℎ. 2 … … … 𝐴𝑜 = 0. 5 ∙ 𝑆𝑒𝑛 10𝜋 3

• La ecuación de la onda estacionaria.
• 𝑖. 1 … … … 𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝑘𝑥 ∙ 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡)
• 𝑖. 2 … 𝑦 𝑥, 𝑡 = 0. 5 ∙ 𝑆𝑒𝑛 10𝜋 3

• EFECTO DOPPLER, influencia del viento.
• 𝑎 … … 𝑓𝑟 = 𝑓 𝑉±𝑉𝑜 𝑉±𝑉𝐹
• Si emite el auto azul el sonido, es la fuente en movimiento.
• Si al auto rojo recibe el sonido, entonces es observador.
• 𝑏 … … 𝑓𝑟 = 𝑓 𝑉+𝑉𝑜 𝑉−𝑉𝐹
• Si hubiera viento, se tendría la siguiente situación.
• La velocidad del sonido.
• Velocidad del viento contrario a la del sonido.
• 𝑏 … … 𝑉 = 𝑉𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 = 340 − 𝑉𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜