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BLOQUE 1: Variables aleatorias y modelos probabilísticos discretos y continuos.
Ejercicios propuestos:
1.- Un experimento consiste en lanzar 3 veces una moneda, definiéndose la variable aleatoria X como el número de caras obtenidas. Se pide:
(a) Definir el espacio muestral y determinar el rango de X. (b) Obtener la función de probabilidad y representarla. (c) Determinar la probabilidad de obtener 2 o menos caras. (d) Calcular la probabilidad de obtener más de 1 cara. (e) Obtener el número esperado de caras y la varianza de X.
2.- La función de densidad de una determinada variable aleatoria X viene dada por:
resto
kx si x f x 0 ,
Determinar:
(a) El valor de k para que f sea función de densidad, así como la representación gráfica de f. (b) P (0 ≤ X ≤ 1). (c) P (X = 1). (d) Media y varianza de la v.a. X.
3.- (Tarea) Para el lanzamiento de dos dados, se define una variable aleatoria X que toma el valor 1 si se obtienen dos resultados pares, el valor 2 si los dos son impares y 3, si se obtiene uno par y el otro impar.
(a) Determinar la función de probabilidad de X y representarla. (b) Probabilidad de que la variable X tome un valor mayor que 1. (c) Probabilidad de que la variable X tome un valor menor que 3. (d) Hallar la media y la varianza de X.
4.- Algunos economistas han propuesto que haya un control de salarios y precios para combatir la inflación, pero otros consideran que esos controles no son efectivos porque tratan los efectos y no las causas de la inflación. Un reciente encuesta revela que el 40 % de los españoles adultos están a favor de un control de precios y salarios. Si se seleccionan 5 adultos aleatoriamente:
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté a favor del citado control? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 3 estén a favor del control? (c) Por término medio, ¿cuántos estarán a favor del control?
GRADO EN CONTABILIDAD Y FINANZAS
Estadística II
5.- El número de clientes que llegan a un banco sigue una distribución de Poisson. Si el número promedio es de 120 clientes a la hora, se pide:
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen al menos 3 clientes? (b) Calcula probabilidad de que lleguen en 6 minutos a lo sumo 2 clientes.
6.- Un fabricante de automóviles compra los motores a una compañía donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar 8 de forma aleatoria y someterlos a prueba. Si encuentra que ningún motor presenta serios defectos acepta el lote; de otra forma, lo rechaza. Si se sabe que el lote contiene dos motores con serios defectos:
(a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos motores defectuosos en la muestra examinada? (c) De los 8 motores examinados, ¿cuántos se espera que sean defectuosos?
7.- En cierto hospital se ha comprobado que el ingreso por urgencias de lesionados en accidentes de circulación la noche de los sábados sigue una pauta media de 2 accidentados cada media hora.
(a) Si al comenzar la noche, a la enfermera de admisiones le quedan dos horas de turno. ¿Qué probabilidad hay de que admita menos de tres accidentados en lo que le queda de turno? (b) Un enfermero desea tomarse un café y calcula que tardará 15 minutos, pero no puede dejar el servicio. ¿Qué probabilidad tendría de que no se notara su ausencia si decide arriesgarse e ir a tomar el café?
8.- Un tirador especializado de los GEO presenta en su currículum un 95 % de acierto en disparos a un blanco estándar a 100 metros.
(a) Durante la fase de clasificación para las finales del campeonato de tiro de la policía debe disparar 100 veces a un blanco que está a 100 m., ¿qué probabilidad hay de que falle menos de 5 disparos? (b) Supongamos que llega a la final en la que ha de realizar 10 disparos al mismo tipo de blanco, ¿Qué probabilidad tiene de acertarlos todos? ¿Cuántos espera fallar?
9.- Una compañía que se dedica a la fabricación de impresoras ha detectado un fallo en el proceso de producción que ha provocado que el 10 % de la unidades fabricadas sean defectuosas. La compañía ha distribuido las impresoras a los centros de venta en lotes de 10 unidades.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote tenga alguna impresora defectuosa? (b) Se ha repartido un lote de impresoras en cada uno de los 57 centros de ventas con que cuenta la compañía. Cada lote será devuelto si se encuentran más de dos impresoras defectuosas. Calcule la probabilidad de que se devuelvan menos de 3 lotes de los repartidos a los centros. (c) Si en un determinado almacén el lote de impresoras recibido tuviera 4 defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que, seleccionadas 5 impresoras al azar, ninguna sea defectuosa en la muestra?
10.- El peso en toneladas de los rollos de acero fabricados en una planta sigue una distribución normal N(10, 0’5).
(a) Si sólo de admiten los rollos que tengan un peso comprendido entre 9’5 y 11 toneladas, ¿cuál sería la probabilidad de rechazar un rollo?
se forme cola en más de 7 ventanillas? (c) Si la Agencia Tributaria posee 210 oficinas (con 10 ventanillas cada una) en todo el país, ¿cuál es la probabilidad de que en una determinada hora haya al menos 1500 ventanillas con cola?
18.- (Tarea) Un proveedor de cerraduras de puertas blindadas envía las piezas en lotes de 100 cerraduras a las fábricas que se dedican a la producción y comercialización de tales puertas. Como consecuencia de fallos en el proceso de fabricación, el proveedor se encontró con una serie de cerraduras defectuosas; pero, para evitar las pérdidas que se producirían si retira estas piezas, decidió introducir 5 cerraduras defectuosas en cada uno de los lotes con la esperanza de que pasaran desapercibidas por los controles de calidad que realizan sus clientes, que consisten en seleccionar dos cerraduras al azar de un lote, de manera que, si ninguna presenta defectos, el lote será aceptado por la fábrica, y en caso contrario, será devuelto al proveedor.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el control de calidad de un lote se encuentre al menos una cerradura defectuosa? (b) Si 51 clientes del proveedor han recibido un lote de cerraduras, ¿cuál es la probabilidad de que devuelvan el lote recibido menos de 4 clientes?
19.- Una empresa que fabrica pañuelos de papel sabe que el 8% de su producción tiene algún tipo de defecto. Si los pañuelos se venden en paquetes de 10 unidades, se pide:
(a) Probabilidad de que haya dos pañuelos defectuosos en un paquete. (b) Probabilidad de encontrar más de dos pañuelos defectuosos en un paquete. (c) El número esperado de pañuelos defectuosos en un paquete.
20.- Un odontólogo atiende cada semana a exactamente 400 pacientes. Si sabemos que aproximadamente el 20 % de los pacientes que llegan a la consulta no tiene caries, se pide:
(a) Si elegimos cuatro pacientes al azar de una semana en la que llegan 100 sin caries, ¿cuál es la probabilidad de que, como máximo, uno no tenga caries? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes atienda a más de 100 pacientes sin caries?
