Estadistica tema3, Apuntes de Estadística

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ESTADÍSTICA ITEMA 3: SERIES ESTADÍSTICASUNIDIMENSIONALES

16

Grado en Contabilidad y Finanzas - ULL

3.1 Tablas estadísticas

17

Al

estudiar

los

datos

de

una

población

o

muestra

se

suele

obtener gran cantidad de información. Una vez ordenados los valoresde

forma

creciente,

se

lleva

a

cabo

una

reducción

de

las

observaciones

llamada

tabulación

,^

obteniendo

así

una

tabla

estadística

Generalmente,

una

tabla

estadística

debe

reunir

la

máxima

información posible del objeto de estudio, por lo que debe incluir:



Un título adecuado. 

Una indicación sobre las unidades de medida utilizadas. 

Una especificación clara de los subtítulos de cada columna. 

Nota acerca de la fuente de los datos si es conocida.

19 Conceptos o medidas que intervienen en una tabla estadística:^ 

Frecuencia

total

(N)

:^

Es

el

número

total

de

datos

o

unidades

estadísticas consideradas. ^

Frecuencia absoluta (n

):i

Es el número de veces que se repite cada

una de las modalidades de un atributo, o cada uno de los valores deuna variable. ^

Frecuencia relativa (f

):i

Indica la proporción de individuos o u.e. que

toma cada modalidad o valor. Se obtiene mediante el cociente entre lafrecuencia absoluta y la total, es decir:A^

partir

de

las

frecuencias

absolutas

y^

relativas

se

obtienen

las

siguientes medidas:

n N

f^

i

 i

3.1 Tablas estadísticas

3.1 Tablas estadísticas

^

Frecuencia absoluta acumulada (N

):i

Es la suma acumulada de

las frecuencias absolutas e indica el número de individuos o u. e.que toman un valor igual o inferior al i-ésimo, x

, o bien, que tomani

una modalidad igual o anterior a la i-ésima. a

i.

^

Frecuencia relativa acumulada (F

):i

Es la suma acumulada de las

frecuencias relativas e indica la proporción de individuos o u. e. quetoman un valor igual o inferior al i-ésimo, x

, o bien, que toman unai

modalidad igual o anterior a la i-ésima. a

i.

20

i j

j

i

i^

n

n

n

n

N

1

2

1

N^ N

F

i

i^

i j

j

i

i^

f

f

f

f

F

1

2

1

También se puedeobtener haciendo:

3.1 Tablas estadísticas

^

Así

pues,

la

tabla

estadística

correspondiente

a^

la

distribución

de

frecuencias no agrupada en intervalos de la variable

X sería:

N

F

= fk

+f 1

+…+f 2

k^

N

= nk

+n 1

+…+n 2

k^

= N

fk

= n

/Nk

n

k

x

k

F

= f 2

+f 1

2

N

= n 2

+n 1

2

f^2

= n

/N 2

n

2

x

2

F

= f 1

1

N

= n 1

1

f^1

= n

/N 1

n

1

x

1

F

i

N

i

fi

n

i

x

i

22

3.1 Tablas estadísticas

^

Cuando el número de valores diferentes que toma la variable, k, esgrande, se suelen agrupar en intervalos del tipo

[L

, Li

i+

). De esta

forma, se reduce el tamaño de la tabla estadística, aunque conllevauna pérdida de información. ^

En este caso, en lugar de los valores de la variable x

, …, x 1

, sek

usarán los intervalos

[L

, L 1

,^

[L

, L 2

[L

, Lk

k+

^

A la hora de construir la correspondiente tabla estadística, ademásde las medidas incluidas en la tabla anterior, habría que considerarlas siguientes: ^

Amplitud del intervalo (a

):i

Es la diferencia existente entre los

límites o extremos superior e inferior del intervalo, es decir:

i

i

i^

L

L

a

^1

Puede ser

constante

para todos los intervalos

o variar de uno a otro (

variable

).

23

3.1 Tablas estadísticas

^

Ejemplo 1: Se conoce la siguiente información acerca del númerode hijos que poseen 150 familias canarias seleccionadas al azar:45 familias no tienen hijos, 60 familias tienen 1 hijo, 21 familiasposeen 2 hijos, 15 familias tienen 3 hijos, 6 familias tienen 4 hijosy 3 familias poseen 5 hijos. Se pide: (a) Construir la tabla estadística incluyendo todas las frecuencias.(b) ¿Cuántas familias poseen 5 hijos?(c) ¿Qué porcentaje de familias poseen 3 hijos?(d) ¿Cuántas familias poseen menos de 2 hijos?(e) ¿Qué porcentaje de familias poseen a lo sumo 4 hijos?(f) ¿Qué porcentaje posee más de 3 hijos?(g) ¿Cuántas familias poseen 2 hijos como mínimo?

25

3.1 Tablas estadísticas

^

Ejemplo 2: Se conoce la siguiente información acerca de la alturade un grupo de personas seleccionadas al azar: 9 miden entre 140y 160 cm, 75 entre 160 y 170 cm, 45 entre 170 y 175 cm, 15 entre175 y 180 cm y, finalmente, 6 personas del grupo miden entre 180y 200 cm. Se pide:(a)

Construir

la

tabla

estadística

incluyendo

todas

las

medidas estudiadas.

(b) ¿Cuántas personas miden menos de 175 cm?(c) ¿Qué porcentaje mide menos de 180 cm?(d) ¿Qué porcentaje mide, como mínimo, 175 cm?(e) ¿Cuántos miden entre 160 y 180 cm?(f) ¿En qué intervalo se concentran más personas por cm?

26

3.2 Representaciones gráficas

EE I

28^ 

El

objetivo

de

las

representaciones

gráficas

es

proporcionar

una

imagen de los datos numéricos que sirva de complemento a la

tabla

estadística

. Algunas

características

que hay que tener en cuenta son:

^

Permiten sintetizar la información buscando las regularidades. ^

Constituyen

un

método

de

control

que

permite

descubrir

las

variaciones anormales debidas a errores de transcripción o de cálculo. ^

Permiten representar en un único gráfico varias tablas estadísticas,facilitando así su comparación. ^

No sustituyen nunca a la tabla estadística, sino que la complementan. ^

Deben rotularse con un título adecuado, en el que estén perfectamentedelimitados los hechos observados en espacio y tiempo. ^

Su interpretación es subjetiva al basarse en impresiones visuales. ^

Hay que

tener cuidado con las escalas de medida de los ejes ya que

pueden distorsionar la realidad.

3.2 Representaciones gráficas

A continuación, se van a comentar las principales

representaciones

gráficas

que pueden realizarse a partir de una tabla estadística.

DISTRIBUCIONES NO AGRUPADAS EN INTERVALOS: ^

Diagrama de barras:

Consiste en levantar una línea de altura n

o fi

i

para cada valor de la variable, x

.i

^

Polígono

de

frecuencias:

Se

obtiene

uniendo

los

extremos

superiores de las líneas del diagrama de barras anterior. ^

Diagrama acumulativo:

Primero, se representan los pares (x

, Ni

)i

o (x

, Fi

) y luego, se trazan segmentos paralelos al eje de abscisasi

(eje X) entre un valor de la variable y el siguiente. Ejemplo: Representa gráficamente la distribución de frecuencias delejemplo 1. 29

3.2 Representaciones gráficas

DISTRIBUCIONES AGRUPADAS EN INTERVALOS: ^

Histograma:

Consiste en levantar, para cada intervalo, una barra

de altura n

o fi

si la amplitud de los intervalos esi

constante,

o bien

de altura d

si esi

variable

^

Polígono de frecuencias:

Se obtiene uniendo los puntos medios

superiores de las barras del histograma. ^

Polígono acumulativo:

Primero, se representan los pares (L

i+

, N

)i

o (L

i+

, F

), i = 1, …, k, y a continuación se unen todos los puntosi

partiendo del origen (L

Ejemplo: Representa gráficamente la distribución de frecuencias delejemplo 2. 31

3.2 Representaciones gráficas

^

Las representaciones gráficas serían:

Polígono de frecuencias

10 8 6 4 2 0

[140,160)

[160,170)

[170,175)

[175,180)

[180,200)

Estaturas

Densidades

Polígono acumulativo

160140120100806040200 140

150

160

170

180

190

200

Estaturas

Ni

Histograma

10 8 6 4 2 0

[140,160)

[160,170)

[170,175)

[175,180)

[180,200)

Estaturas

Densidades

32

3.3.1 Medidas de posición

Estas medidas, que tratan de resumir la información de la tablaestadística, pueden ser de dos tipos: ^

Medidas de tendencia central o promedios:

Son aquellas que

hacen referencia a un valor central que representa a la distribuciónde frecuencias. Las más conocidas son la

media aritmética, la

mediana y la moda. ^

Medidas

no

centrales:

Son

las

que

permiten

dividir

a

la

distribución en partes que contienen una cantidad similar de datos.En este grupo se encuentran los

cuantiles

Primero, vamos a empezar por las

medidas de tendencia central

, que

deben cumplir una serie de condiciones denominadas

condiciones

de Yule. 34

3.3.2 Medidas promedio

CONDICIONES DE YULE: ^

La medida debe ser definida de manera objetiva. ^

Debe basarse en todas las observaciones de la variable. ^

No debe tener un carácter matemático muy abstracto. ^

Debe ser fácil de calcular. ^

Ha de adaptarse a cálculos posteriores. MEDIA ARITMÉTICA:

Es la suma de todas las observaciones de la

variable dividida entre la frecuencia total o tamaño de la población omuestra. Por tanto, vendría dada por:

k i

i i

k k^

n x

N

N

n x n x n x X

1

2 2

1 1

35