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EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERVALOS
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERVALOS El importe del alquiler de pisos de una habitación en la ciudad A sigue una distribución normal con media desconocida y cuya desviación típica es de 60 €. Para una muestra aleatoria de 15 de estos pisos, el alquiler medio resultó igual a 450 €. Construir un intervalo de confianza al 97 % para la medía del alquiler de pisos de una habitación en la ciudad A. El alquiler medio de este tipo de pisos se distribuye como X —N 50m 15 Como 1-0=0,97, resulta 0015. y delas tablas dela NO, 1) se obriens que PIE <2pp)= 1-0.015=0.985> 2 =2.17 De modo que elintervalo de confianza al 97 % para Jl es: Fer E J 60 60) 450-2173: 4450 42,173= |=(411 64) ( 27 osa el) (416,36, 482,64) Es decir, se puede afirmar con una confianza del 97 % que el precio medio del alquiler de pisos de una habitación de la ciudad Á está entre 416,36 € y 483,64 €. Se quiere estimar la proporción de estudiantes de una universidad que tienen cernet de conducir. Para ello se ha obtenido una muestra aleatoria de 400 estudiantes, de los cuales 240 tiene carnet de conducir. Calcular los intervalos de confianza del 95 % y del 99 % para la proporción de estudiantes de la universidad con carnet de conducir. - El tiempo hasta la primera averia de dos marcas diferentes de televisores puedes suponerse que sigue una distribución normal de media y varianza desconocidas. Dos muestras aleatorias de 50 televisores de cada una de las. marcas, dieron los siguientes resultados (en miles de horas): A: X-201 5/-=16.65 8: F-24,8 5i-27,86 Encontrar intervalos de confianza al 90 % y al 98% para la diferencia de los tiempos medios de duración hasta la primera averia de las dos marcas. Un estimador puntual de la proporción p de estudiantes de esa universidad con camet de conducir es 290 400 El tamaño de la muestra es suficientemente grande como pare que el intervalo de confianza para p se pueda calcular aproximando por la narmal. 0.6 Como z,,,5=1.96, el intervalo de confianza al 95 % para la praporción p es: Es decir, con una confianza del 95 % se puede decir que el porcentaje de alumnos de la universidad que tienen carnet de conducir está entre el 55,2 % y el 64,8 %. Y el intervalo de confianza la 99 % para la proporción desconocida p es: [0.5(1-0.). 58, paraa - Hsnl)=| 0.62. RES 00 =(0,537:0.663) Es decir, con una confianza del 99 % se puede decir que el porcentaje de alumnos de la universidad que tienen carnet de conducir está entre el 53,7 % y el 66,3 %. Comon =m= 50, aunque las varianzas sean desconocidas se puede calcular el intervalo usando las cuasivarianzas muestrales. Aun nivel de confianza del 90 % se tiene: 1a=09=5=0.05 =2, =1645 Por tanto, el intervalo de confinaza al 90 % es- 65. 27,86 65. 27,86 taa —m)= [2012081605 5 + 2014 748-1,64 1665, E 50 350 =(56,25, -345) En cuanto al intervalo de confianza al98 %1-a=0,98= 5 =0Di=2, =13 T Cade 201208239 665, 27.86. 233/1665, 27.85 |_ Corn 03203 24,82, EE ; 20,1+24,8- 232 E ] =(-6,898,-2,502) En ambas casos, se puede observar con elaridad que los televisores de la marca A se averían, en promedio, antes que los de la marca B. Sea una muestra aleatoria de tamaño n de una vartable aleatorla X con distribución Mu o=3). ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que el error cometido en la estimación de la media |: sea inferior a 1, con una confianza del 99 %? El error cometido en esta estimación debe ser menor que 1, es decir 7 Dado que 4= 0,01, sustituyendo , 5 =2.57 .y =3, se obtiene n>(257-3) = 59,44 Es decir, se nece media muestral estime la media poblacional con una prec La estatura de los estudiantes que ingresaron este año en una universidad tiene una listribución normal de media desconocida y y desviación típica 0= 8. Calcula el tamaño de la muestra para estimar 1 con un error inferior a 3 cm y ur nivel de confianza del 95 %. Una encuesta realizada por una empresa de demoscopia a 1500, 780 se mostraron a favor de restringir el tráfico en el centro de la ciudad. La empresa concluye que el 52 % de la población se muestra a favor de restringir el tráfico en el centro, con un margen de error de 22,5 %. ¿Cuál es el nivel de confianza de este resultado? Se quiere hacer un estudio de mercado para conocer el precio medio de los libros de narrativa que se venden en la actualidad. Para ello se elige una muestra aleatoria de 121 libros, encontrando que tienen un precio medio de 23 £. Se sabe que el precio de los libros de narrativa sigue una distribución normal con media desconocida y desviación típica 5€ a) Obtenga un intervalo de contianza, al 98,8 %, para el precio medio de esos libros. b) ¿Cuántos libros hay que elegir como muestra para que, con la misma confianza, el error máximo de la estimación no exceda de 1 €? 1 adn >2, 0 => lz, oy ln 7 ta como mínimo un tamaño muestral de 60 observaciones para que la inferior a 1 SeaX la variable que mide la estatura de los estudiantes y X,, X;, ... X, una muestra de tamaño n. Si se desea estimar 4 mediante un intervalo de Confianza al 95 56, el error inferior a 3 tm, como O=8y0=0,05, cOn 2, .: =1,96, debe ser A Zu
1 (2262) =21,32 An 3 Es decir, el mínimo tamaño muestral necesario para estimar la media de la estatura con la precisión deseada es n=28 observaciones. El estimador por intervalo de confianza de la proporción p de la población que se muestra a favor de Como P 1500 Entonces, buscando en latabla de la normal: a 2.=194=>1- 7 De modo que el nivel de confianza es del 98,7 %. =0,9738>a=0,018>1-a.=0,987 La media muestral de las 121 observacionss, tiene una distribución normal de media 1 y varianza z Z De modo que el intervalo de confianza al nivel 100(1— ax) % tiene la forma: 7 572,5 10) = | X—z, M2, ( dia ra ) a) Enestecaso, 1-a=0,988> 0=0,012 0.006 Zoo =251 Y dado que la media muestral observada es X=23 £ , el intervalo de confianza al 98,8 % es: Ios - = (21,86; 24,14) b) El error cometido en la estimación por intervalo de confianza al 98,8 % de la media poblacional li debe ser inferior a 1, es decir: 131 22,51-53n > (2,51: 5) =157,5 2.5 osos Va De manera que se necesita un mínimo de 158 libros para estimar el precio medio con la precisión deseada. 
