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Ejercicio Tema 3
Joaquín Torres
5 de noviembre de 2014
Objetivos del problema
Mostrar la que se puede construir múltiples carteras de inversión sin gran dificultad atendiendo bien a la rentabilidad que se espera obtener o bien al nivel de riesgo que se quiere alcanzar. Pero que sólo tiene sentido económico construir carteras que sean efi- cientes, es decir aquellas que combinan adecuadamente el nivel de rentabilidad esperada y el grado de riesgo soportado.
Aplicar el teorema de dos fondos para construir carteras eficientes de manera sencilla en base a las carteras de mínima varianza global y la de máxima rentabilidad por unidad de riesgo para las cuales hemos sistematizado su construcción.
En el caso de un mercado de activos arriesgados y activo libre de riesgo el teorema de un fondo facilita la construcción de carteras eficientes en base a la cartera de tangencia y el activo libre de riesgo.
Comprender el significado de la construcción de carteras eficientes a la hora de tomar decisiones sobre la realización de proyectos de inversión arriesgados.
1. Problema: Mercado sin activo libre de riesgo
El Sr. Juan se presenta en nuestras oficinas de asesoramiento financiro con la intención de realizar una inversión de 120 000,00 euros, su horizonte de planificación es de un año. Las cuestiones que nos propone son las siguientes:
- ¿Qué tipos de activos y rentabilidades existen para poder llevar a cabo su inversión?
- Posibilidad de construir una estrategía de inversión —construir una cartera con los acti- vos del mercado— que le permita alcanzar una rentabilidad del 3,5 % para el horizonte de planificación indicado.
- ¿Cuál es el grado de certeza de alcanzar dicha rentabilidad?
- Dado que se trata de una operación de inversión con riesgo, ¿existe la posibilidad de minimizar el riesgo asociado a realizar una inversión de este tipo? ¿Cuáles son las con- secuencias de que se adopte ésta última estrategia?
- ¿Es posible obtener de alguna estrategia de inversión que para el nivel de rentabilidad indicado del 3,5 %, el riesgo asumido sea el menor posible? ¿Cuál es el nivel de riesgo menor para este caso?
- ¿Qué otras posibilidades de inversión se pueden establecer? ¿Qué nivel de rentabilidad y riesgo llevan asociadas?
¿Qué tipos de activos y rentabilidades existen para poder llevar a cabo su
inversión?
El mercado formado por los activos act.1, act.2, act.3 cuyas características vienen dadas por
En el mercado existe la posibilidad de tomar posiciones cortas en cualquiera de los tres activos.
Rent.Esp. act.1 act.2 act. act.1 0.0427 0.0100 0.0018 0. act.2 0.0015 0.0018 0.0109 0. act.3 0.0285 0.0011 0.0026 0.
Cuadro 1: Rent. Esperadas y Matriz de Covarianzas
Posibilidad de construir una estrategía de inversión que le permita alcanzar
una rentabilidad del 3,5 % para el horizonte de planificación indicado.
La estrategia de inversión consiste en establecer que porcentaje del patrimonio total se va a invertir en cada uno de los tres activos. La condición que se deberá verificar es que el total del patrimonio ha de estar invertirdo. Es decir, si representamos por WA, WB y WC la cantidad invertida en cada uno de los activos se debe verificar
WA + WB + WC = 120 000 ⇒ wi =
Wi 120 000
con lo que
wA + wB + wC = 1 y por tanto se deberá verificar wC = 1 − (wA + wB)
pudiendo determinarse libremente wA, mientras que wB se determina de manera que final- mente se alcance la rentabilidad establecida por el Sr. Juan. Para el desarrollo de este apartado utilizamos lo indicado en al nota para la determinación del peso del activo 1 en la cartera. Supongamos que las útimas dos cifras del DNI son 2 y 8, entonces wA = 0,28 entonces la cartera a construir vendrá dada por aquella composición de activos que verifique
Ew = wA EA + wB EB + wC EC wA = 0, wC = 1 − (wA + wB)
de donde,
Ew = 0,28 × 0,0427 + wB × 0,0015 + ( 1 − (0,28 + wB)) × 0,0285 = 0,035 ⇒ wB = −0,
Es decir, la composición de la cartera vendrá dada por
w =
¿Cuál es el grado de certeza de alcanzar dicha rentabilidad?
Debemos explicar al Sr. Juan que estamos en presencia de activos arriesgados de los que no podemos, con certeza, saber cuál será su valor dentro de un año, y por tanto imposible conocer cual será la rentabilidad de la inversión hasta ese momento. Lo más que podemos indicar es que con los datos de que disponemos, que se basan en el comportamiento de las resntabilidades de los tres activos en el pasado, podemos establecer que se espera que con la composición efectuada dentro de un año se alcance una rentabilidad del 3,5 % como él mismo nos indicó.
En base a esos mismos datos podemos establecer que la rentabilidad final podrá oscilar alrededor de ese valor, es decir que la volatilidad de esa rentabilidad esperada es;
σ w^2 = w ′ Vw = 0,1324 ⇒ σ w =
σ w^2 = 0,
Dado que se trata de una operación de inversión con riesgo, ¿existe la po-
sibilidad de minimizar el riesgo asociado a realizar una inversión de este
tipo? ¿Cuáles son las consecuencias de que se adopte ésta última estrategia?
Indicamos al Sr. Juan que sí existe la posibilidad de consturir otro tipo de carteras, com- posiciones distintas de cada activo, y que somos capaces de entre todas esas posibilidades construir la que menor volatilidad implica a final del periodo de planificación.
Cartera de menor riesgo para el 3,5 % –cartera p–
Aplicando el teorema de dos fondos con las carteras mv y d, obtenemos la composición de la cartera de menor varianza con Ep = 0,035, posteriormente comprobaremos si es eficiente. Sabemos que se verifica que
Ep = xEd + ( 1 − x)Emv
de donde
x =
Ep − Emv Ed − Emv
= 0,4584 ⇒ ( 1 − x) = 0,
Y apartir de aquí podemos bien utilizar que
p = x d + ( 1 − x) mv
y por tanto
p = 0,4584 d + 0,5416 mv =
Siendo sus características Ep = 0,035 y σ p = 0, Para comprobar si la estrategia adoptada es eficiente se debe verificar que, además de ser una cartera de menor riesgo, su rentabilidad esperada es mayor que la rentabilidad esperada para la cartera de mínimo riesgo
Ep = 0,035 > 0,
y que su volatilidad es mayor que la volatilidad de la cartera de mínimo riesgo
σ p = 0,086 > 0,
Por tanto la estrategia adoptada es eficiente.
Construcción de la cartera de menor riesgo para Ep en base al criterio general
Otra forma de construir la cartera p sería
p = hEp + g =
× 0,035 +
¿Qué otras posibilidades de inversión se pueden establecer? ¿Qué nivel de
rentabilidad y riesgo llevan asociadas?
En base a la siguiente expresión podemos establecer el conjunto de pares rentabilidad- riesgo que son estrategias de menor riesgo.
σ p =
D
∗ (C ∗ E^2 p − 2 ∗ B ∗ Ep + A)
lo que para nuestro mercado es
σ p =
10,1511 ∗ E^2 p − 2 ∗ 0,2371 ∗ Ep + 0,
0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.
−0.
Carteras de menor riesgo
Volatilidad
Rentabilidad Esperada
Los valores para las carteras de menor riesgo marcadas por puntos en el gráfico anterior se muestran en la tabla siguiente:
Volatilidad RentEsp 1 0.3694 -0. 2 0.3383 -0. 3 0.3074 -0. 4 0.2767 -0. 5 0.2463 -0. 6 0.2163 -0. 7 0.1869 -0. 8 0.1585 -0. 9 0.1316 -0. 10 0.1075 0. 11 0.0885 0. 12 0.0783 0. 13 0.0804 0. 14 0.0940 0. 15 0.1150 0. 16 0.1402 0. 17 0.1676 0. 18 0.1964 0. 19 0.2261 0. 20 0.2562 0.
Cuadro 2: Características de algunas carteras de menor riesgo
2. Problema: Mercado con activo libre de riesgo
¿Cuál sería el planteamiento si existiera la posibilidad de pedir prestado o
prestar a un tipo de interés libre de riesgo del 1 %?
El nuevo mercado vendrá ahora dado por
Rent.Esp. act.1 act.2 act.3 rf act.1 0.0427 0.0100 0.0018 0.0011 0. act.2 0.0015 0.0018 0.0109 0.0026 0. act.3 0.0285 0.0011 0.0026 0.1990 0. rf 0.0100 0.0000 0.0000 0.0000 0.
Cuadro 3: Rent. Esperadas y Matriz de Covarianzas con activo libre de riesgo
con rentabilidad esperada Eprimera = 0,3499 y volatilidad σ primera = 8,
Ahora bien, es muy importante tener en cuenta que a la hora de elaborar esta cartera para nada se ha tenido en cuenta el grado de riesgo de cada activo considerado de manera individual ni colectivamente. Algo que como debemos saber es la peor de las formas para construir carteras de activos desde el punto de vista del fundamento económico y financiero.
¿Cuál es el grado de certeza de alcanzar dicha rentabilidad?
Al igual que en el caso anterior debemos explicar al Sr. Juan que estamos en presencia de activos arriesgados de los que no podemos, con certeza, saber cuál será su valor dentro de un año, y por tanto imposible conocer cual será la rentabilidad de la inversión hasta ese momento. La inclusión del activo libre de riesgo posibilita la realización de inversiones seguras, pero con una merma importante en términos de rentabilidad, sólo se podría alcanzar una rentabilidad del 1 % en el caso de realizar una inversión completamente segura. Al igual que en el caso anterior lo más que podemos indicar es con la composición efectua- da dentro de un año se alcance una rentabilidad del 3,5 % como él mismo nos indicó. En base a esos mismos datos podemos establecer que la rentabilidad final podrá oscilar alrededor de ese valor, es decir que la volatilidad de esa rentabilidad esperada es;
σ^2 primera = primera ′ Vprimera = 64,9582 ⇒ σ primera =
σ^2 primera = 8,
Es decir, hemos construido una cartera con mucha mayor variabilidad de la inicialmente com- puesta.
Dado que se trata de una operación de inversión con riesgo, ¿existe la po-
sibilidad de minimizar el riesgo asociado a realizar una inversión de este
tipo? ¿Cuáles son las consecuencias de que se adopte ésta última estrategia?
En esta ocasión si que podemos explicar al Sr. Juan que la inclusión del activo sin riesgo ha ampliado de manera sensible las posibilidades de inversión, llegando a poder construir carteras que permitan alcanzar cualquier nivel de rentabilidad desde el 1 % en adelante. Sin olvidar que querer obtener mayores rentabilidades esperadas implica tener que asumir mayo- res niveles de riesgo, es decir carteras con mayor volatilidad en los resultados finales.
La composición que minimiza el riesgo, en términos de volatilidad, será aquella en la que todo el patrimonio de la inversión se destina únicamente a la compra del activo sin riesgo —prestar todo el patrimonio al tipo de interés del 1 %— pero que, evidentemente, como ya le hemos indicado supone renunciar a su rentabilidad esperada objetivo del 3,5 %.
¿Es posible obtener de alguna estrategia de inversión que para el nivel de
rentabilidad indicado del 3,5 % , el riesgo asumido sea el menor posible –
cartera p–? ¿Cuál es el nivel de riesgo menor para este caso?
En primer lugar determinamos los valores de las primas de riesgo o exceso de rentabilidad sobre el activo libre de riesgo
primariesgo = E − R (^) f (^1) 3
Prima de riesgo sobre la rentabilidad objetivo Ep − R (^) f = 0,
Para la construcción de esta cartera contamos con dos métodos
- En base al teorema de un fondo Otra posibilidad para la construcción de esta cartera de menor varianza es utilizar el teorema de un fondo, según el cual podemos construir la cartera como una combinación lineal de la cartera de tangencia T y el activo libre de riesgo. De esta manera; por el teorema de un fondo se verifica
Ep = xET + ( 1 − x)r (^) f (1)
Para poder resolver y obtener el valor de x necesitamos construir la cartera T y así conocer sus características.
T =
V −^1 ( E − R (^) f (^1) 3 ) 1 ′ 3 V −^1 ( E − R (^) f (^1) 3 )
Y cuyas características son: ET = 0,0678 y volatilidad σ T = 0,1613. A partir de la expresión (1) obtenemos
x =
Ep − R (^) f ET − R (^) f
Con lo que la cartera de menor volatilidad para el nivel de rentabilidad objetivo p tiene una composición dada por
p = 0,4329 T =
- En base al criterio general, mediante la resolución del programa de optimización Necesitamos la determinación de los valores intermedios dados por
Elemento H > 0 H = ( B − R (^) f (^1) 3 )′ V −^1 ( B − R (^) f (^1) 3 ) = 0,
y el valor del elemento h
h =
H
V −^1 ( E − R (^) f (^1) 3 )
La composición de la cartera de menor volatilidad viene dada por
p = h (Ep − R (^) f ) =
En ambos casos falta por incorporar el peso del activo libre de riesgo y que viene dado por 1 − ∑^3 i= 1 pi = 0,
Las características de esta cartera son; Rentabilidad esperada Ep = 0,035 , mientras que su volatilidad es σ p = 0,
¿Qué otras posibilidades de inversión se pueden establecer? ¿Qué nivel de
rentabilidad y riesgo llevan asociadas?
Las posibilidades de inversión para el Sr. Juan, como hemos venido señalando hasta aho- ra, se ha incrementado de manera considerable. La caracterización de estas posibilidades la realizamos a través del espacio rentabilidad esperada y volatilidad, por medio de la expresión
Ep = R (^) f ±
H σ p
