ejercicios isostaticos e hiperestaticos, Ejercicios de Física del Estado Sólido

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ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES

EN LOS MEDIOS CONTÍNUOS

PROBLEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS

Julio Melián Pérez-Marín

Julio Melián/

Esta obra está dividida en capítulos en los que se agrupan problemas referentes a los

ejercicios propios de las siguientes materias:

 Cálculo y prácticas de álgebra tensorial: cambios de coordenadas, obtención de

vectores transformados de otros por un tensor, obtención de valores propios y

direcciones principales de un tensor simétrico y determinación de componentes

intrínsecas del transformado de un vector. Todo ello como esencia conceptual de la

condición tensorial de los esfuerzos actuantes en el interior de un sólido sometido

a cargas externas.

 Problemas específicos de Círculos de Mohr y aplicaciones concretas a tensores de

esfuerzos. Dentro de las mismas premisas citadas antes.

 Casos isostáticos en problemas de deformaciones de estructuras articuladas con

elementos unidimensionales. Orientado a comenzar el ejercicio de la utilización de

la Ley de Hooke que relaciona esfuerzos con deformaciones.

 Problemas de determinación de tensiones y esfuerzos en barras de estructuras

hiperestáticas articuladas. Problemas hiperestáticos de deformaciones. Con lo que

se pretende que el alumno organice su mente en la percepción de las condiciones

hiperestáticas de la estructura y así poder determinar incógnitas imposibles de

calcular por las ecuaciones deducidas de la Estática Analítica.

 Problemas de esfuerzos y deformaciones elásticas en cuerpos tridimensionales en

situación isostática. Traspasando así la barrera de los elementos unidimensionales

para adentrarnos en las formas reales tridimensionales.

 Problemas de esfuerzos y deformaciones elásticas en sistemas tridimensionales

hiperestáticos. Con lo que se desea completar y concluir la formación práctica

integral del contenido de esta materia.

 Problemas de resolución de reacciones y determinación de diagramas de fuerzas

cortantes, momentos flectores y elásticas en vigas isostáticas e hiperestáticas. Ello

capacitará al alumno para abordar, en cursos sucesivos de Cálculo de Estructuras,

y el estudio de pórticos simples, y estructuras reticulares como soporte resistente

en la edificación, cuyo desarrollo práctico se aborda en un último capítulo como

iniciación en los pórticos isostáticos e hiperestáticos.

Desde aquí le deseo al lector el mejor aprovechamiento de este trabajo.

Las Palmas de Gran Canaria, enero de 2010

El Autor

Julio Melián/

ÍNDICE

Capítulo 1: Álgebra Tensorial

Capítulo 2: Círculos de Mohr

Capítulo 3: Problemas isostáticos unidimensionales

Capítulo 4: Sistemas y estructuras articuladas planas

Capítulo 5: Sistemas tridimensionales hiperestáticos

Capítulo 6: Elementos estructurales con carga transversal

Capítulo 7: Sistemas estructurales compuestos. Pórticos

Julio Melián/

Capítulo Primero

Álgebra Tensorial

Julio Melián/

obteniéndose:

3

2

1

; y resultando la dirección: k

j 6

i 3

uA

  ^ 

d) El versor de V

es k

j 7

i 7

V

V

n

    ; por lo que su vector asociado mediante la

transformación del Tensor , será:

  k 7

j 7

i 7

2 k 7

0 j 7

1 i 7

w n T

resultando así que su componente normal es: 3 , 163

 n  w     

 ; y la

transversal: 1 , 218

  w    

Reflexiónese acerca del resultado y los valores dados como componentes del tensor.

Julio Melián/

PROBLEMA nº I-

Un tensor plano (T), transforma los versoresn 1

yn 2

en los vectoresv 1

yv 2

, siendo:

j 2

3 i 2

1 n

j 2

1 i 2

3 n

2

1

 ^ 

  

 

 

j 2

2 i 6 2

2 v 6

j 2

2 i 4 2

2 v 4

2

1

 ^ 

  

 

 

Hallar el tensor (T), referido a los ejes X e Y cuyos versores son i

y j

SOLUCIÓN

Si el tensor tiene por expresión

yx yy

xx xy

y

x

t t

t t

t

t

T 

( ) , resultará que

v n (T )

v n (T)

2 2

1 1

es decir:

t t i t t j t t

t t v i j i j

t t i t t j t t

t t v i j i j

xx yx xy yy yx yy

xx xy

xx yx xy yy yx yy

xx xy

     ^ 

      















    













    

 

 

 

  













     















   













   













  













    

2

3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

2 6 2

2 6

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

2 4 2

2 4

2

1

lo que, igualando los coeficientes de i

y de j

, en ambas ecuaciones, daría:

xy yy

xx yx

t t

t t

xy yy

xx yx

t t

t t

Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que, una vez resuelto, da respuesta al

problema:

1 2 ; t 2

t

2 ; t 3 2

t 3

yx yy

xx xy

Julio Melián/

PROBLEMA nº I-

Dado el tensor

en un espacio de dos dimensiones, referido a los ejes X e Y, determinar sus Valores

Propios y Direcciones Principales.

SOLUCIÓN

En general, las direcciones principales serán:

cos ;

cos ;

2 2 2

1 1 1

u i j sen i j

u i j i sen j

(expresiones que, en función del ángulo υ que formanu 1 i

 

con , cumplen las condiciones de

que u 1

y u 2

sean unitarios y perpendiculares) siendo sus asociados:

   

 4 cos   2 2 cos  ;

4 cos 2 cos 2 ;

0

0

b sen i sen j

a sen i sen j

   

   

que deberán ser perpendiculares entre sí: a 0  b 0  0

(producto escalar nulo) por lo que:

 2 cos 2   2 2 cos  0

4 cos 4 cos

     

    

sen sen

sen sen

lo que, tras el correspondiente desarrollo analítico, resulta  0 ; es decir, u i

1  y u j

con lo que las direcciones principales resultarán

b i 2 j ;

a 4 i 2 j;

0

0

siendo sus módulos los

valores propios A, B

2 2

2 2

B

A

Esto mismo puede ser razonado, entendiendo que si u 1

y u 2

coinciden con los ejes

originales, sus transformados serán las componentes tx

y ty

del Tensor dado, llegándose a la

misma conclusión.

X

Y

u 1

u 1

u 2

Julio Melián/

PROBLEMA nº I-

Considérese el Tensor que, expresado en los ejes X , Y , Z , es:

  

T

y determínense sus valores propios y direcciones principales, así como la forma que adquiere

al referirlo a dichas direcciones.

SOLUCIÓN

Para calcular sus valores propios resolveremos la ecuación:

      

 

3

2

1 2 2

Las direcciones principales vendrán dadas por aquel triedro u 1 ;u 2 ;u 3

tal que multiplicado por

el Tensor  T  nos den tres vectores de direcciones coincidentes con el triedro y de módulos

Tras el planteamiento de las ecuaciones homogéneas y la independiente del módulo unidad

del versor de cada dirección, se obtienen como solución:

 i 2 j k 

u

i j k 3

u

i k 2

u

1

2

1

  ^ 

El Tensor, referido a sus direcciones principales, queda:

 



T

Julio Melián/

PROBLEMA nº I-

Dado el Tensor que, referido a los ejes i ;j;k

, tiene por expresión:

a) Compruébense que sus invariantes valen 6, 11 y 6.

b) Determínense sus valores propios.

c) Determínense sus direcciones principales

SOLUCIÓN

a) Invariantes:

t t t

t t t

t t t

ABC

AB BC CA t t t t t t t t t

A B C t t t

13 23 33

12 22 23

11 12 13

2 23

2 13

2 1122 2233 3311 12

11 22 33

b) Valores Propios:

   

     

 

C 1

B 2

A 3

3 2 2

c) Dirección principal correspondiente al mayor valor propio A  3 :

k 3

j 3

i 3

n

n

n

n

n n n 1 3 n 1

n n n

4 n 4 n 8 n 0

n 5 n 4 n 0

5 n n 4 n 0

A

3

2

1

2 2

2 3

2 2

2 1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

  ^ 

El mismo proceso se seguirá con los otros dos valores propios, resultando:

k; 6

j 2 6

i 6

j; n 2

i 2

n (^) B C

     ^ 

Julio Melián/

PROBLEMA nº I-

Dado el Tensor  



T , referid aciertos ejes conocidos i ;j;k

, hallar sus valores

propios y direcciones principales

PROBLEMA nº I-

Determinar las componentes intrínsecas del transformado del versor j

i 2

n

mediante un tensor plano que tiene un valor propio igual a -1 y que da, como

transformado de un versor a

, el vector de componentes intrínsecas    3 ;  2 .

Se supone que i y j

son los versores de las direcciones principales.

PROBLEMA nº I-

Dado el tensor ^ 

T. Determínese la posición de los vectores que al

transformarse por el Tensor no cambian de dirección y duplican su módulo.

PROBLEMA nº I-

Un elemento de volumen de un sólido se encuentra sometido a los esfuerzos normales y

cortantes que indica la figura, medidos en Kg/cm

2

. Determinar los esfuerzos normales

máximos de tracción y de compresión.

Julio Melián/

Capítulo Segundo

Círculos de Mohr

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