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Vectores
Problema 1. Consider´a los vectores: u⃗ = (4; −5) v⃗ = (−2; 2) a) Hall´a el vectorw⃗ = − 3 u⃗ + 12 v⃗ b) Hall´a un versor cuya direcci´on est´a dada por el vectorw⃗.
Respuestas. a)w⃗ = (−13; 16) b) rˆ 1 =
√−^13
; √^16
r ˆ 2 =
√^13
; √−^16
Problema 2. Encontr´a un vector paralelo al vectoru⃗ = 4ˆi + 4ˆj − 2 ˆk, cuyo m´odulo sea igual a 3
Respuesta.w⃗ = 3ˆu = 2ˆi + 2ˆj − ˆk = (2; 2; −1)
Problema 3. Indic´a los valores de p y q para que el vectorv⃗ = (4; p; 5) sea paralelo al vectoru⃗ = (−q; −2; 2)
Respuesta. p = − 5 , q =
Problema 4. Los puntos A = (0; 1; 2), B = (1; 0; 1) y C = (1; 1; 1) forman un tri´angulo. Demostr´a, usando vectores, que se trata de un tri´angulo rect´angulo.
Problema 5. Hall´a el valor de k ∈ R de modo que el vector de origen A = (−1; k; 3) y extremo B = (1; −2; −2) sea perpendicular au⃗ = (−3; 3; 6).
Respuesta. k = − 14
Problema 6. Hall´a el o los valores reales de k sabiendo que los vectoresu⃗ = (4; −4; 2) yv⃗ = (1; k; 0) forman un ´angulo de 60◦.
Respuesta. k ≈ 0 , 23
Problema 7. Hall´a el valor de real p sabiendo que el producto vectorial entre los vectoresu⃗ = (4; 0; 2) yw⃗ = (1; p; 0) es el vectorv⃗ = (−6; 2; 12).
Respuesta. p = 3
Problema 8. Las aristas que determinan un paralelep´ıpedo est´an dadas por los vectoresu⃗ = (2; 1; 0),v⃗ = (0; k; 1) y w⃗ = (−2; 0; −k). a) Hall´a k ∈ R, si existe, para que el ´area del paralelogramo determinado por los vectoresu⃗ yv⃗ sea
b) Para el valor o los valores hallados en (a), calcul´a el volumen del paralelep´ıpedo determinado poru⃗ ,v⃗ yw⃗.
Respuestas.
a) k = 0 b) V = 2
Respuestas. a)v ⃗r ·v ⃗s = − 15 b) Las rectas no se intersecan.
Problema 4. Sean las rectas:
r : (x; y; z) = (2; 1; 5) + k(1; 1; 1), k ∈ R s : (x; y; z) = (1; −1; m) + t(1; 2; 3), t ∈ R
Hall´a el valor de m ∈ R sabiendo que la intersecci´on de las rectas r y s es un ´unico punto.
Respuesta. m = 2
Problema 5. Consider´a las rectas r, s y t cuyas ecuaciones se dan a continuaci´on. Hall´a la distancia entre cada par de rectas.
r : (x; y; z) = (−1; 1; 0) + k(1; 1; 2) , k ∈ R s :
x = 1 + m y = 3 − m z = 4
, m ∈ R t : x^ + 1 2 = y^ + 1 2 = z 4
Respuestas. d(r, s) = 0. d(r, t) ≈ 1 , 8257 d(s, t) =
Planos
Problema 1. Dos de los siguientes planos son perpendiculares. Indic´a cu´ales son y justific´a por qu´e los seleccionaste.
α : − 3 x − 5 y + 4z = 20 β : − 6 x − 10 y + 8z = 0 π : 4x − 2 y − 2 z = 15 ε : −x + 2y = 4z
Respuesta. Los planos ε y π son perpendiculares.
Problema 2. Consider´a la ecuaci´on del plano β : 3x + 2y − 4 z = 12. Indic´a si la siguiente afirmaci´on es verdadera o falsa, justificando algebraicamente tu afirmaci´on:
La recta r : (x; y; z) = (−1; 2; 1) + k(−6; −4; 8) (con k ∈ R) es perpendicular al plano β.
Respuesta. La afirmaci´on es verdadera.
Problema 3. Demostr´a que el plano α de ecuaci´on −x+3y− 3 z = 5 es paralelo al plano β de ecuaci´on 3x = 9y− 9 z+15.
Respuesta. α ∥ β
Problema 4. Los puntos A = (0; −1; 6) y B = (1; 1; 4) pertenecen a la recta s. El plano α es perpendicular a dicha recta y el punto P = (0; 1; −1) pertenece al plano α. Escrib´ı la ecuaci´on del plano α.
Respuesta. x + 2y − 2 z − 4 = 0
Problema 5. El plano α de ecuaci´on 3x − ay − z = 6 es paralelo a la recta r que pasa por los puntos A = (−1; 0; 2) y B = (0; 1; −1). a) ¿Cu´al es el ´unico valor real del coeficiente a? b) ¿Cu´ales son las coordenadas del punto de intersecci´on entre el plano α y la recta r?
Respuestas. a) a = 6 b) La recta y el plano no se intersecan porque son paralelos.
Problema 6. Hall´a la intersecci´on del plano α y la recta r:
α : 2x + 3y − z = 2 r : (x; y; z) = (0; −2; 4) + t(1; 1; −1), t ∈ R
Respuesta. P = (2; 0; 2)
