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ejercicios de matematicas para primero de bachillerato
Tipo: Ejercicios
1 / 73
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Autores: Marea verde de Matemáticas Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF y de los autores
Matemáticas I. Bachillerato de Ciencias.
CAPÍTULO 1: NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS
1. Mentalmente decide cuáles de las siguientes fracciones tienen una expresión decimal exacta (E) y cuáles la tienen periódica (P): a) 2/3 b) 3/5 c) 7/30 d) 6/25 e) 7/8 f) 9/ 2. Halla la expresión decimal de las fracciones del ejercicio 1 y comprueba si tu deducción era correcta. a) 2/3 b) 3/5 c) 7/30 d) 6/25 e) 7/8 f) 9/ 3. Calcula la expresión decimal de las fracciones siguientes: a) 1/3 b) 1/9 c) 7/80 d) 2/125 e) 49/400 36/ 4. Escribe en forma de fracción las siguientes expresiones decimales exactas y redúcelas, comprueba con la calculadora que está bien: a) 7.92835; b) 291.291835; c) 0. 5. Escribe en forma de fracción las siguientes expresiones decimales periódicas, redúcelas y comprueba que está bien: a) 2.353535….. b) 87.2365656565…. c) 0.9999….. d) 26.5735735735….. 6. ¿Puedes demostrar que 4.99999… es igual a 5? ¿Calcula cuánto vale 2.5999…? Ayuda : Escríbelos en forma de fracción y simplifica. 7. Demuestra que^3 7 es irracional. 8. ¿Cuántas cifras puede tener como máximo el periodo de
9. ¿Cuántos decimales tiene (^) 7 4
?, ¿te atreves a dar una razón?
10. Haz la división 999999:7 y después haz 1:7, ¿es casualidad? 11. Ahora divide 999 entre 37 y después 1:37, ¿es casualidad? 12. Escribe 3 números reales que estén entre 2
1 − 5 y 1.
13. Escribe 5 números racionales que estén entre (^) 2 y 1.5. 14. Escribe 5 números irracionales que estén entre 3.14 y π. 15. Representa en la recta numérica los siguientes números:
a)
, b)
, c) 1.342, d) −2.555555….
16. Representa en la recta numérica:
2
1 + 5
17. Halla el valor absoluto de los siguientes números: a) 5 b) − 5 c) −π 18. Representa las siguientes funciones: a) f ( x ) = | x ²| b) f ( x ) = | x ² − 1| c) f ( x ) = | cos x | d) f ( x ) = (^) x 19. Representa en la recta real y calcula la distancia entre los números reales siguientes: a) Dist(5 , 9) b) Dist(−2.3 , −4.5) c) Dist(−1/5 , 9/5) d) Dist(−3.272727…. , 6.27272727….). 20. Escribe los siguientes intervalos mediante conjuntos y represéntalos en la recta real: 1. a) [1, 7) b) (−3, 5) c) (2, 8] d) (−∞, 6) 21. Representa en la recta real y escribe en forma de intervalo: 2. a) 2 < x < 5 b) 4 < x c) 3 ≤ x < 6 d) x ≤ 7
Matemáticas I. Bachillerato de Ciencias.
35. Comprueba los resultados siguientes: a) (1 + i) 16 = 2^8 = 256.
i
i
i
36. Realiza las siguientes operaciones con números complejos, expresándolos previamente en forma exponencial:
a) 2 2i
2 i − −
b)
30
37. Resuelve las ecuaciones, obteniendo las raíces reales y complejas: a) x^2 = – b) x^3 = – c) x^4 + 16 = 0 38. Calcula las raíces n -ésimas de la unidad, para n = 2, 3 y 4. Representarlas gráficamente, y comprobar que están sobre la circunferencia de radio 1, y en los vértices de un polígono regular.
a = 2.7 b = 3.292929... c = 0.01030303...
3. Descubre cuál de estos números es irracional:
a) 3.1416 b) 4 c) ℼ
4. ¿Podemos encontrar números irracionales en las marcas de una regla graduada? ¿Hay algún punto de la regla (aunque no tenga marca) que se corresponda con un número irracional? Justifica tu respuesta. 5. Clasifica los siguientes números en orden de mayor a menor y después represéntalos en la recta:
Matemáticas I. Bachillerato de Ciencias.
6. Escribe una sucesión infinita de números reales dentro del intervalo (−1, 1). 7. Calcula el valor absoluto de los siguientes números:
72
8. Calcula x en las siguientes ecuaciones: ( pista : x puede tener dos valores)
9. Dibuja las siguientes funciones en un gráfico:
10. Elige un día y calcula la distancia que has recorrido en total, y compárala con la distancia entre los puntos inicial (al principio del día) y final (al terminar el día). 11. Un artesano fabrica dos productos. El primero (a) le cuesta 2 horas y 3 euros en material, y el segundo (b) le cuesta 6 horas y 30 euros de material. Si valora en 10 euros cada hora de trabajo, y los vende por (a) 30 y (b) 90 euros, averigua cuál es más rentable para su negocio. 12. Entre Kroflite y Beeline hay otras cinco ciudades. Las siete se encuentran a lo largo de una carretera recta, separadas unas de otras por una distancia entera de kilómetros. Las ciudades se encuentran espaciadas de tal manera que si uno conoce la distancia que una persona ha recorrido entre dos de ellas, puede identificarlas sin ninguna duda. ¿Cuál es la distancia mínima entre Kroflite y Beeline para que esto sea posible? 13. Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones: a) | x | < 1 b) | x | ≤ 1 c) | x | > 1 d) | x | ≥ 1
diferencia entre el mayor y el menor de todos estos números.
a) A = [ −11, −9]; B = ( −1, 6)
b) A = [ −5, 5]; B = (3, 4)
18. Comprueba si: a)
z
z = 1. B) (^) |cos α +isenα |= |e iθ^ | = 1.
19. Calcula: a) (2 + i)^5 b) | 2 3i|
13 −
c) (^3)
2
20. Demuestra que z es real si y solo si (^) z =z. 21. Verifica que el inverso de z , z -1, es igual a (^) 2 x +y
x y 2
− i =
. Calcula el inverso de 2 + 3i.
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a) 6.3333333….. b) 7/3 c) e d) 5.98234234234….
a) x = 10, x = − 4 b) x = 10 c) x = −10, x = 4 d) x = − 4
3. Determina el conjunto A − B si A = [ −11, 9]; B = ( −1, 6):
a) [ −11, −1) ∪ [6, 9] b) [ −11, −1) ∪ (6, 9] c) [ −11, −1] ∪ (6, 9] d) [ −11, −1] ∪ [6, 9]
(2+3i)
(3 +2i)⋅(3-2i)
a) −46 + 9i b) 62 + 63i c) −46 + 63i d) Ninguna de las anteriores
a) x = 1 b) x = 1, x = − 1 c) x = ±i d) x = ±1, x = ±i
a) 5( cos (π/2) + i sen (π/2)) b) (5, π/2) c) 5( cos (3π/2) + i sen (3π/2)) d) 5( sen (90º)+i cos (90º))
a) 18, 135º b) 3 2 , 3π/4 c) 3 2 , 7π/4 d) 3, 5π/
a) x = i b) x = –i c) x = i, x = –i d) No tiene solución
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Ejemplos Números reales Está formado por la unión de los números racionales y los números irracionales
5, −4, 2/3, 7.5, π, e, Φ…
Densidad de los Números Reales
El conjunto de los números reales es denso, es decir, entre cada dos números reales hay infinitos números.
Entre 0 y 1 calculando el punto medio obtenemos infinitos puntos: 0, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625,..., 1 Valor absoluto
≥
0
0 x si x
x six x
Distancia en la recta real
Dist( x , y ) = | x − y| Dist(3, 8) = |8 − 3| = 5. Dist(−2, −9) = |− 9 − (−2)| = |−9 + 2)| = |−7| = 7 Intervalos (^) Abierto : ( a , b ) = { x ∈ ℜ a < x < b } Cerrado: [ a , b ] = { x ∈ ℜ a ≤ x ≤ b } Semiabierto (izq): ( a , b ] = { x ∈ ℜ a < x ≤ b } Semiabierto (der): [ a , b ) = { x ∈ ℜ a ≤ x < b }
Entornos Es una forma especial de expresar los intervalos abiertos. Se define como el conjunto de números que están a una distancia de a menor que r : E( a , r )
El número i (^) i (^2) = − 1 ⇔ i = − 1 Forma binómica (^) z = x + i⋅ y Suma de complejos (^) ( x + i y ) + ( u + i v ) = ( x + u ) + i⋅( y + v ) (2 + 3 i) + (4 + 5i) = 6 + 8i Producto de complejos
( x + i y ) ⋅ ( u + i v ) = ( x ⋅ u – y ⋅ v ) + i⋅ ( x ⋅ v + y ⋅ u ) (2 – i)·(1 + 2i) = 2 + 4i – i – 2i 2 = 2 + 4i – i + 2 = 4 + 3i División de complejos Se multiplica, numerador y denominador por el conjugado del denominador. Así se consigue que el denominador sea un número real
1 i 2
2(1 i) (1+i)(1 i)
1 +i
Forma trigonométrica (^) z = r (cos θ + i·sen θ ) z = 2·(cos
Producto de complejos
Se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos (^) z·z = 4·(cos 3
2 π (^) + i·sen 3
2 π (^) )
División de complejos Se dividen sus módulos y se restan sus argumentos z/z =1·(cos 0 + i·sen 0) = 1
Fórmula de Moivre (^) ( cos θ + i· sen θ)n^ = cos ( n θ) + i· sen ( n θ)
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18. Encuentra dos polinomios tales que al dividirlos aparezca q (^^ x )=^ x^2 − x −^3 como polinomio cociente y r (^ x )=^ −^3 x^2 −^1
como resto.
19. Usa la regla de Ruffini para realizar las siguientes divisiones de polinomios:
a) 3 1 − x^2 + x +
x^4^ + x^3 − x +
c) 4 3 1 x^3^ − x^2 −
x^3 − x +
21. Utiliza la regla de Ruffini para conocer el valor del polinomio (^) − 3 x^3 + 7 x^2 + 2 x + 4 en x = 5. 22. Emplea la regla de Ruffini para dictaminar si los siguientes números son o no raíces de los polinomios citados:
a) α^ =^3 de 4 5 x^3 − x^2 + b) β =− 2 de 2 2 − x^3 − x^2 + x +
23. Para cada uno de los siguientes polinomios señala, en primer lugar, qué números enteros son candidatos a ser raíces suyas y, después, determina cuáles lo son:
a) 2 2 x^3^ − x^2 + x − b) 4 4 4 3 x^4 + x^3 + x^2 + x +
c) 2 18 9 x^3^ + x^2 − x − d) x^^2 x^3 x^6 x
(^4) + (^3) + (^2) +
24. Comprueba que 2
− (^1) es raíz del polinomio (^2) x (^3) + 3 x (^2) − 11 x − 6.
25. Para cada uno de los siguientes polinomios indica qué números racionales son candidatos a ser raíces suyas y, después, determina cuáles lo son:
a) 3 x^2^^ +^4 x −^5 b) 2 x^3 −^9 x^2 +^12 x +^2
c) ¿Hay alguna relación entre las raíces del polinomio p 1 (^) ( x ) y las del polinomio 4 ⋅ p 1 ( x )?
27. Construye un polinomio de grado 4 tal que posea tres raíces distintas. 28. Determina un polinomio de grado 4 tal que tenga, al menos, una raíz repetida. 29. Construye un polinomio de grado 4 de forma que tenga una única raíz. 30. Conjetura, y luego demuestra, una ley que nos permita saber cuándo un polinomio cualquiera
1 0
1 a x a 1 x ...... ax a n n
n n +^ + + +
− − admite al número 0 como raíz.
31. Demuestra una norma que señale cuándo un polinomio cualquiera a^ n xn +^ an − 1 xn −^1 +......^ + a 1 x + a 0 admite al número 1
como raíz.
32. Determina las raíces de cada uno de los siguientes polinomios:
(^2) − g) 4 3 x^2 − x − h) x^^4 x
(^3) − i) x^^25 x
(^3) +
33. Simplifica, si es posible, las siguientes expresiones:
a) 3 6 8
4 3 2
2
− −
x x x
x x b) 3 6 8
1 3 2
2
− x x x
x (^) c) x x x
x 6
1 3 2
2
−
34. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a) 9 15
3 6 2
2
− x
x x b) 3 2
3 2
7 4
5 a a
a a
− (^) c) xy
xy xy 4
(^2) + 3 2 d) ab ab
ab ab −
3
2 2 2 3
35. Realiza las siguientes operaciones teniendo en cuenta las factorizaciones de los denominadores:
a) x x
x x (^) 4
2 3 12
5 (^2) −
− +
b) 1
3 1 (^2 2 12) − − − − +
− x
x x x
x
36. Efectúa los siguientes cálculos:
a) x x
x 4 1
2 1 (^2) + +
3 2
1
x − x
c) 1
1 (^2 3) − ⋅
− x x^ x
x d) 3
2 3
2 (^2) +
−
− x
:x x x
x
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37. Realiza las siguientes operaciones alterando, en cada apartado, únicamente uno de los denominadores, y su respectivo numerador:
a)
3 2
(^2 )
x
x x
− x + x − − + b) 3
x x^ x
x
38. Comprueba las siguientes identidades simplificando la expresión del lado izquierdo de cada igualdad:
a) ab ab
a b 2 2 2
4 3 4 2
(^8) = b) xy y xy
xy xy 2
c) 4
3 6 12
3 2 9 2
− x
x x x
x x d) b a
ab a ab ab
ab ab ab 8
3 4 5 2 16
6 8 10 2 2
2 2 2
= + −
−
39. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 7
4 3 2
−
− x
x b) 1
x
x x
x x
x c) 12
151 3
1 4 6
5 3 4
3 ( 2 1 ) = +
−
x
x x
x x
40. Resolver: a) 1 9
( 3 ) 25
x x b) 9
3 / 4 1 16
x^2^ x = + c) 4 x^4 + 8 x^2 – 12 = 0 d) 80 x^4 − 48 x^2 − 12 = 0
41. Sumando siete unidades al doble de un número más los 3/2 del mismo obtenemos como resultado el séxtuplo de dicho número menos 23. ¿De qué número se trata? 42. Las dimensiones de un rectángulo son 54 y 36 m. Traza una paralela al lado que mide 36 m de modo que se forme un rectángulo semejante al primero. ¿Cuáles son las longitudes de los segmentos en que dicha paralela divide al lado de 54 m? 43. Deseamos vender un coche, un piso y una finca por un total de 300000 €.Si la finca vale 4 veces más que el coche y el piso cinco veces más que la finca .¿Cuánto vale cada cosa? 44. Resuelve las siguientes inecuaciones y representa la solución en la recta real: a) 5 + 3 x < 2 x + 4 b) 3 + 4 x ≤ 8 x + 6 c) 5 + 4 x > 3 x + 2 d) 1 + 3 x ≥ 5 x + 7 45. Resuelve las siguientes inecuaciones y representa la solución en la recta real: a) 4(3 + 2 x ) < −( 6x + 8) b) 7(2 + 3 x ) ≤ 5(6 x + 3) c) 9(2 + 4 x ) + 4(5 x – 2) > 3(2 x + 1) 46. Resuelve las siguientes inecuaciones y representa la solución en la recta real: a) 6 + 3 x < x /3 + 1 b) 5 + 5 x /2 ≤ 9 x /2 + 1 c) (2 + 5 x )/3 > 4 x + 1 d) (1 + 5 x )/2 + 1≥ (3 x + 6)/ 47. Escribe una inecuación cuya solución sea el siguiente intervalo: a) [2, ∞) b) (−∞, 3) c) (4, ∞) d) (−∞, 2) 48. Calcula los valores de x para que sea posible calcular las siguientes raíces:
49. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) x^2 − 1 ≥ 0 b) x^2 − 4 ≤ 0 c) x^2 − 9 >0 d) x^2 + 4 ≥ 0 e) 2 x^2 − 50 < 0 f) 3 x^2 +12 ≤ 0 g) 5 x^2 − 45 > 0 h) x^2 + 1 ≥ 0 50. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) x^2 + x ≤ 0 b) x^2 − 5 x > 0 c) x^2 ≤ 8 x d) x^2 ≤ 3 x e) 2 x^2 − 3 x > 0 f)5 x^2 − 10 x < 0 51. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) x^2 − 2 x − 3 ≤ 0 b) −x^2 − 2 x + 8 ≥ 0 c) x^2 + 9 x + 14 > 0 d) x^2 − 6 x + 9 ≤ 0 e) − x^2 − 4 x − 5 < 0 f) x^2 + 8 x + 16 > 0 g) x^2 + x + 3 ≥ 0 h) 2 x^2 − 3 x − 5 ≤ 0 52. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
53. Calcula los valores de x para que sea posible obtener las siguientes raíces:
a) x^2^ − 1 b) − x^2 + 4 c) x^2 + 5 x + 6 d) x^2 − 5 x + 6
54. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
a) (2 x + 5)(2 x – 5) ≤ 11 b) (2 x – 5)(4 x – 3) – ( x – 10)( x – 2) ≥ 50 c) 3
x
x x
x
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5. Señala sin efectuar la división, si las siguientes divisiones son exactas o no:
a) 3
(^57 ) −
x x x x x b) 2
(^543 ) −
x x x x x c) 1
9 5 74 33 52 17 1 −
x x x x x
6. Construye un polinomio de grado 2 tal que el número 4 sea raíz suya. 7. Escribe dos polinomios de grados diferentes y que tengan en común las raíces 2 y 3. 8. Construye un polinomio de grado 4 tal que tenga únicamente dos raíces reales. 9. Encuentra un polinomio q ( x ) tal que al dividir p (^^ x )=^ x^6 + x^4 + x^2 + x +^1 entre q ( x ) se obtenga como polinomio resto
r ( x )= 5 x^4 + 5 x^2 + (^1).
10. Halla las raíces enteras o racionales de los siguientes polinomios:
a) 4 x^3^ + 11 x^2 + 6 x − 3 b) 3 x^3^ − 2 x^2 + 6 x − 3 c) 3 x^3^ − 4 x^2 + 2 x − 1 d) 2 x^3 + x^2 − 6 x − 3
11. Descompón los siguientes polinomios como producto de polinomios irreducibles: a) 3 x^3^ + 11 x^2 + 5 x + 3 b) 5 x^3^ + 5 x^2 + x − 1 c) 2 x^3^ + x^2 + 6 x − 3 d) 3 x^3 − 6 x^2 + x − 2 12. Realiza las operaciones entre fracciones algebraicas:
a) 6 9
x x
x x x
x b) 6 9
2 3
1 2
2 (^2) − − − +
− x x
x x x
x (^) c) 6 9
x x
x x x
x d) 6 9
x x
x x x
x
13. Analiza si los siguientes polinomios han surgido del desarrollo de potencias de binomios, o trinomios, o de un producto suma por diferencia. En caso afirmativo expresa su procedencia. a) x^2^ − 6 x + 9 b) x^4 + 8 x^2 + 16 c) x^^2 +^20 xy +^5 y^2 d) x^4 + 2 x^3 + x^2 + 2 x + 1
e) x^4^ − 2 x^3 + x^2 + 2 x + 1 f) x^2^ − 36 g) 5 x^2^ + 1 h) 5 x^2^ − 11 i) x^^4 −^3 y^2
14. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica todo lo posible:
a) 2 ( 5 )
6 ( 5 )
2 x x − x
−
b) (^22)
2 2
x y
x y x y
x y −
c) 4 1
2 1 (^2) −
x
x
15. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica todo lo posible:
a)
x
x x
x
2
4 b) x a
x a x a
x ax ax a −
−
(^3) − 3 2 + 3 2 − (^3) : c) a b
ab a b
a b a b
a b −
16. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica todo lo posible:
a)
x a y
x a y
a x y
a x y
−
−
−
−
1 1
1 1
: 1 1
1 1
b) (^)
x (^) x x x x x
c)
x y
x y
x y
x y 3 5
2 1
1 3
3 2
− ⋅
17. Resolver las ecuaciones siguientes:
a) 9
5 2 4
(^3 1) = −
− x
x (^) b) (^7) 6
5 3 2
x (^) + = x − c) (^2) 1
5 1
(^5) − −
=
x x
18. Resolver las siguientes ecuaciones indicando cuantas soluciones tienen y cuales son:
a) x x
x (^) 5 8 2 3
16 7 2
3 = + −
− (^) b) x (^4) (^) + 8 x (^2) − 12 = 0 c) 80 x (^4) − 48 x (^2) + 7 = 0 d) 1 25
( 5 ) 16
x x
19. El cateto mayor de un triángulo rectángulo es una unidad mayor que el cateto menor. La hipotenusa es tres unidades mayor que el cateto menor. Se pide: a) Escribir la expresión algebraica que resulta de aplicar el Teorema de Pitágoras. b) Calcula la hipotenusa y los catetos. 20. En una competición de baloncesto a doble vuelta participan doce equipos. Cada partido ganado vale 2 puntos y los partidos perdidos, 1 punto (no puede haber empates). Al final de la competición, un equipo tiene 36 puntos. ¿Cuántos partidos ha ganado?
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21. Una caja de forma cúbica se llena con cierto número de cubitos de un centímetro cúbico y sobran 71 cubitos; pero si todos los cubitos que hay se ponen en otra caja que tiene un centímetro más por cada arista, faltan 200 para llenarla. Calcula las longitudes de las aristas de las dos cajas y el número de cubitos que hay. 22. Las tres cifras de un número suman 24. Si a ese número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtienen 198; la cifra de las decenas es la media aritmética entre las otras dos. Halla el número. 23. Queremos averiguar las edades de una familia formada por los padres y los dos hijos. Si sumamos sus edades de tres en tres, obtenemos 100, 73, 74 y 98 años, respectivamente. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos? 24. Resuelve:
a) (^92) 3
x (^) − < b) x (^) 7 5 x 7
d) x^ 2 x 5
3 ( + 4 )< e) 6
1 9 6 3
2 x − (^4) + > x + f) 4
1 3 5 2
7 x − < x − x +
25. Calcula los valores de x para que sea posible calcular las siguientes raíces: a) 3 x − 6 b) − x + 3 c) 15 − 3 x d) − 6 x − 24 26. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) 2 x^2 − 8 < 0 b) − x^2 + 25 ≤ 0 c) – x^2 + 49 ≥ 0 d) 5 x^2 − 45 ≥ 0 e) 9 x^2 − 1 > 0 f) 16 x^2 − 9 < 0 g) 49 x^2 − 36 < 0 h) 121 x^2 + 100 ≤ 0 27. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) –2 x^2 + 50 x ≤ 0 b) 7 x^2 + 3 x ≥ 0 c) 2 x^2 < 8 x
28. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) 5 x^2 ≤^0 b) 7 x^2 > 0 c) −2x 2 < 0 d) 6x^2 ≥^0 29. Calcula los valores de x para que sea posible obtener las siguientes raíces:
a) 2 x^2 +x − 3 b) x^2 +^2 x + 1 c) − 1 + 2 x − x^2
d) x^2^ + 3 x + 5 e) − x^2^ + 12 x + 36 f) x^2 + 6 x − 27 g) 1 − 4 x^2
30. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y discute el resultado:
a)
=
=
2
2
2 4
y z
x y
x y z b)
− + =
− =
1
3
1
3
x y z
y z t
x z t
x y t
c)
− =−
− + =
4 6
2 5 13
2 4
x y z
x y z
x y z
d)
− + =−
− + =
2 2
6 6 2 2
3 4 6
x y x
x y z
x y z e)
− − =−
− =−
− =−
8 4 4
4 8 2 2
4 8 8
x y z
x y z
x y z f)
− + − =
− + + =
− + − =
− + + =
3 2 3 1
3 2 5
2 1
2 3 4 6
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
Matemáticas I. Bachillerato de Ciencias.
Noción Descripción Ejemplos
Polinomio Expresión construida a partir de la suma de monomios (^) − x^3 + 4 x^2 + 8 x + 6 Grado de un polinomio El mayor grado de sus monomios^ Grado 3 Suma, resta y producto de polinomios
El resultado siempre es otro polinomio p = – 3 x + 6; q = x^2 + 4. p + q = x^2 – 3 x + 10; p – q = – x^2 – 3 x + 2; p ∙ q = –3 x^3 + 6 x^2 – 12 x + 24. División de dos polinomios Se obtienen otros dos polinomios, los polinomios cociente ( c ( x )) y resto ( r ( x )), ligados a los polinomios iniciales, los polinomios dividendo ( p ( x )) y divisor ( q ( x ))
p ( x )= q ( x )⋅ c ( x )+ r ( x )
Regla de Ruffini Nos puede ayudar a la hora de factorizar un polinomio y conocer sus raíces Teorema del resto El valor numérico que adopta un polinomio p (^ x ) al particularizarlo en x =α coincide con el resto que
el número 0, es decir, si p ( α)= 0
2 es raíz de − 3 x + 6. 1 y −3 son raíces de (^) x^2 + 2 x − 3
Factorización de un polinomio Consiste en expresarlo como producto de otros polinomios de menor grado
x^5 − 3 x^3 − x^2 + 3 = = ( x^2 − 3 )⋅( x^3 − 1 ) Fracciones algebraicas Es una fracción de expresiones polinómicas x x x
x 6
1 3 2
2
−
Resolución de ecuaciones de 1º grado
Son igualdades algebraicas con una sola incógnita y de grado uno. (^2)
1 6
5 3
7 ( x − 1 )+ x = − x
Resolución de ecuaciones de segundo grado
Igualdades algebraicas con una sola incógnita y elevada al cuadrado.
− x^2 + 4 x + 5 Cuya solución es: x 1 = −1; x 2 = 5
Resoluciones de inecuaciones de 1º grado
Desigualdades algebraicas con una sola incógnitas de
Resolución de inecuaciones de 2º grado
Desigualdades algebraicas con una sola incógnita, elevadas al cuadrado.
x^2 – 6 x + 5 > 0 su solución es el intervalo (1, 5). Sistemas de ecuaciones lineales, por el método de Gauss
Resolución por el método de Gauss. x + 4 y + 3 z = - 1 2 x - 3 y - 2 z = 1 − x + 2 y + 4 z = 2
Matemáticas I. Bachillerato de Ciencias.
CAPÍTULO 3: SUCESIONES.
a) 7, 10, 13, 16, … b) 2, 5, 10, 17, … c) 1, 3, 5, 7, … d) 0, 3, 8, 15, 24…
m/s. Si en el primer segundo su velocidad es de 10 m/s, escribe en tu cuaderno la velocidad en los segundos indicados en la tabla. ¿Observas alguna regla que te permita conocer la velocidad al cabo de 30 segundos? Representa gráficamente esta sucesión. Tiempo en segundos 1 2 3 30 n Velocidad en m/s 10
a) a (^) n = 3 n^2 + 3 b) b (^) n = 3
2 1
− n
n c) c 1 = 1, cn = 2 cn − 1 + 4 d) d 1 = 2, d 2 = 5 (^) , d (^) n = 3 d (^) n − 1 + 2 d (^) n − 2
a) {−2, 2, −2, 2, −2, 2, −2, 2, …} b) {0, 3, 8, 15, 24, 35, …} c) {2, 4, 6, 8, 10, …} d)
(^) ,... 26
,^9 17
,^7 10
,^5 5
,^3 2
1
términos de la sucesión.
a) 6, 18, 54, 162, … b) 3, 2, 5/3, 6/4, 7/5, … c) 7, 0.7, 0.07, 0,007, … d) 2, 5, 8, 11, 15, …
minutos. A) Completa en tu cuaderno la tabla adjunta. B) Escribe una expresión general que te permita conocer la hora en que ha completado la vuelta n -ésima. C) Busca una expresión que te permita conocer la hora en función de la hora de la órbita anterior. D) Busca una expresión que te permita conocer la hora en función de la primera. E) ¿Cuántas vueltas completas habrá dado 30 días más tarde a las 9 horas? Nº de órbitas 1 2 3 4 5 6 Hora en la que la ha completado
geométricas o de otro tipo.
a) a (^) n = 3 · 3 n^ b) a (^) n = 5 n + 7 c) an = 3 · 2 n − 1 d) n
n a
n n (^) 3
términos.
indica la figura. El trozo mayor lo dejamos sobre la mesa y nos quedamos en la mano con el cuadrado, al que volvemos a cortar de la misma forma. Y así sucesivamente. ¿Qué área tienen los sucesivos cuadrados que tengo en la mano? ¿Crece o disminuye? Escribe el término general de la sucesión de áreas que tenemos en la mano. ¿Y los recortes que quedan sobre la mesa? ¿Crece el área sobre la mesa o disminuye? Vamos sumando áreas, calcula la suma de estas áreas si hubiéramos hecho infinitos cortes.
Matemáticas I. Bachillerato de Ciencias.
7. Por el alquiler de una casa se acuerda pagar 700 euros al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en 30 euros mensuales. ¿Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 10 años? 8. El quinto término de una progresión geométrica es 48 y el primero es 3. Halla los cinco primeros términos de dicha progresión. 9. Halla x para que x − 1, x + 1, 2( x + 1) estén en progresión geométrica. 10. A una cuerda de 350 m de longitud se le dan dos cortes, de modo que uno de los trozos extremos tiene una longitud de 50 m. Sabiendo que las longitudes de los trozos están en progresión geométrica, determina la longitud de cada trozo. 11. Halla la fracción generatriz del número decimal 0.12121212..., como suma de los términos de una progresión geométrica ilimitada. 12. Se tiene una cuba de vino que contiene 512 litros. El 1 de diciembre se vació la mitad del contenido; al día siguiente se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y así sucesivamente todos los días. ¿Qué cantidad de vino se sacó el día 15 de diciembre? 13. Dado un cuadrado de 1 m de lado, unimos dos a dos los puntos medios de sus lados; obtenemos un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la misma operación, y así sucesivamente. Halla la suma de las infinitas áreas así obtenidas. 14. Triángulo de Sierpinski: Vamos a construir un fractal. Se parte de un triángulo equilátero. Se unen los puntos medios de los lados y se forman cuatro triángulos. Se elimina el triángulo central. En cada uno de los otros tres triángulos se repite el proceso. Y así sucesivamente. A la figura formada por iteración infinita se la denomina Triángulo de Sierpinski , y es un fractal. A) Imagina que el primer triángulo tiene un área A. Cuando aplicamos la primera iteración, el área es (3/4) A. ¿Y en la segunda? Escribe la sucesión de las áreas. ¿Es creciente o decreciente? B) Imagina ahora que la longitud de cada lado del triángulo inicial es L. Escribe la sucesión de las longitudes. ¿Es creciente o decreciente?
15. Calcula el límite de las sucesiones siguientes:
a) 2 6
2 2 3
3
−
= + n
a n n n b)^ n n a n n (^) 6
5 4 2
2
−
= − c) n n
a n n n (^) 3 8
5 2 10
10 2
= + d) 7
3
= − n
a n n
16. Calcula el límite de las sucesiones siguientes:
a) 2 6
2 2 3
2
−
= + n
a n n n b)^ n n
n a (^) n 6
= (^) c) n n
a n n n 3 8
5 2 10
7 2
= + d) 7
3
= − n
a (^) n
17. Calcula el límite de las sucesiones siguientes:
a) 2 6
2 2 3
5
−
= + n
a n n n b)^ n n
a n n 6
5 4 2
7
−
= − c) n n
a n n n 3 8
5 2 10
12 2
= + d) 7
(^23)
= − n
a n n
18. Calcula el límite de las sucesiones siguientes:
a) 2 6
3
5
−
n
n n a (^) n b) n n
n a (^) n 6
5 4 2
7
−
− = c) n n
n n a (^) n 3 8
10
12 2
= (^) d) 7
(^23)
= − n
a n n
19. Calcula el límite de las sucesiones siguientes:
a)
2 1
2 3 6
n n n
a (^) b)
2
57 6
−
n n n n
a (^) c) 1
(^23)
3 8
1 2 −
= + n
n an (^) n
20. Calcula el límite de las sucesiones siguientes:
a)
2 1
3
3
2 6
2 2
−
= +
n n n
a n n b)
2
7
7
5 6
5 4
−
−
= −
n n n n
a n c) 1
(^23)
3 8
(^3 2) −
= n
n n (^) n
n a
21. Calcula el límite de las sucesiones siguientes:
a)
2 3
2
2
6
2
−
−
=
n n n
n n a b)
2
2
2
6
4
−
−
n n n n
n a c) 3 1
2 2 3
5
2 −
−
= + n
n
n (^) n a n
Matemáticas I. Bachillerato de Ciencias.
22. La población de peces de una piscifactoría sigue un modelo de crecimiento exponencial y ha pasado de 100 ejemplares a 1500 en 60 días. ¿Qué población tendrá en 100 días? 23. Ingresamos en un banco 20.000 euros al 3 % de interés compuesto anual. ¿En cuánto tiempo habremos duplicado nuestro dinero? 24. Vanesa ha comprado un coche por 17.000 euros. Se estima que el precio se devalúa un 10 % cada año. ¿A cuánto lo podrá vender al cabo de 5 años? Si tiene un accidente en que el coche queda destrozado cuando tiene 7 años, ¿cuánto le pagará la compañía de seguros? 25. La escala de Richter relaciona la intensidad de un terremoto, x , con su energía y (en ergios): log y =11.4 + 1.5 x. Calcula la energía de un terremoto: a) de una intensidad 5 en dicha escala, y b) de una intensidad 7. 26. Juan ha visto cucarachas en su casa. Mira de que tipo es y se entera que se triplican cada mes siguiendo un modelo exponencial. Estima que en este momento podría tener 20. Si no hiciera nada, ¿cuántas tendría al cabo de 5 meses? 27. En la fórmula del término n –ésimo de una progresión geométrica, despeja n , aplicando logaritmos. 28. Nieves tiene un gran frasco de perfume muy concentrado de un litro. Saca con una pipeta 10 cm 3 que sustituye con agua. Vuelve a sacar de la mezcla con una pipeta 10 cm^3 que vuelve a sustituir con agua. Así hasta conseguir una mezcla con el 75 % de la inicial. ¿Cuántas operaciones ha debido hacer? 29. Resuelve, tomando logaritmos, la ecuación exponencial: (0.99) n^ = 0.75. 30. Utiliza la calculadora para estimar el valor de 2^63. Estima también 2^64 – 1. 31. Resuelve las ecuaciones:
x
1. ¿Cuál es la razón de la siguiente progresión geométrica: a (^) n = 7∙4 n −^1? a) 7 b) 4 c) − 1 d) No es una progresión geométrica 2. En la sucesión de múltiplos de 11, el 121 ocupa el lugar: a) 1 b) 2 c) 11 d) 121 3. La suma de los diez primeros términos de la progresión aritmética: 5, 10, 15, 20, … es: a) 220 b) 275 c) 55 d) 250 4. La sucesión 1, 1/5, 1/25, 1/125, ...: a) Es una progresión geométrica de razón 5 b) Es una progresión aritmética de diferencia 5 c) Es una progresión geométrica de razón 1/5 d) Es una progresión aritmética de diferencia 1/5.
x es: a) 40 b) 8 c) 10 d) 20
6. La progresión aritmética cuyo primer término es 3 y su diferencia 5, tiene como término general: a) a (^) n = 5 n b) a (^) n = 5 n + 2 c) a (^) n = 5 n − 1 d) a (^) n = 5 n − 2 7. Pepa está preparando el examen de selectividad. Para no dejar toda la materia para el final ha decidido estudiar cada día el doble de páginas que el día anterior. Si el primer día estudió dos páginas, ¿cuántas habrá estudiado al cabo de 5 días? a) 62 b) 32 c) 1024 d) 128 8. A Luis le han tocado 6000 € en la lotería y decide depositarlos en el banco a un tipo de interés compuesto del 4 %. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de 5 años? a) 6240 € b) 6104 € c) 7832,04 € d) 7299,92 €
7 4 3 2
2
− −
= − + n n
a n n n tiene como límite:
a) 0 b) ∞ c) −3/2 d) 7
n an (^) n
tiene como límite:
a) e^2 b) ∞ c) e −^2 d) − e
