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TEMA 4
C¡LCULO INTEGRAL
Corregiremos al volver de vacaciones los ejercicios 1,3,4,10,11,12,16,
- Calcule el ·rea del recinto seÒalado en rojo, y el ·rea del recinto en azul
- Halle el ·rea del recinto S = f(x; y) 2 R^2 : y 4 x^2 e y 6 3 xg: IndicaciÛn: para dibujar el recinto es conveniente que halle los puntos de corte de las curvas y = 4 x^2 y y = 6 3 x:
- Expresa mediante integrales el ·rea del recinto seÒalado en el gr·Öco de la izquierda y seÒala en el gr·Öco de la derecha el ·rea que corresponde a
R 1
0 h(x)dx^ +^
R 2
1 g(x)dx
- Calcule las siguientes integrales inmediatas a)
R
(x + (^) x^32 (^) x^23 )dx f )
R (^) cos x 1+sen^2 x dx^ k)^
R (^) exdx 1+ex
b)
R
p 7 x + e^4 x^ + e x=^2 )dx g)
R
sin x(cos x + 1)^1 =^3 dx l)
R
x^2 (3x^3 + 1)^4 dx
c)
R
(2x^ + e x)dx h)
R (^) sin(x)dx 1+cos^2 x m)^
R
x(e^2 x
2
d)
R
(2^2 x^ + e ^3 x)dx i)
R (^7) dx p 1 4 x^2 n)^
R
e^2 x
p e^2 x^ + 1dx
e)
R
( (^) x^1 +1 + 7 cos(2x)
p 3 x + 1)dx j)
R 3
x ln(x)dx^ o)^
R (^) x 2 1+x^3 dx
- Diga si es cierta o falsa la siguiente aÖrmaciÛn
R
(xex^ + x ln(x) + x 2 )dx = ex(x 1) + x
2 2 ln(x) +^ C^ donde^ C^ es una constante.
- Sean las funciones f (x) = 2e ^3 x; f (x) = 6 (2x + 1)^5 ; f (x) = xp+3x ; f (x) = x (^) x 2 x+1 :
a) Calcule
R
f (x)dx: b) Halle, si fuese posible, una primitiva F (x) de f (x) tal que F (0) = 1:
- Calcule las siguientes integrales deÖnidas.
a)
Z 1
0
x^3 (3x^2 + 1)^2 dx; b)
Z 1
1
x^2 dx x^3 + 2 ; c)
Z 1
0
x
p 3 x^2 + 1dx; d)
Z 2
1
e^2 =x 3 x^2 dx
- La poblaciÛn de mosquitos M est· creciendo continuamente a un ritmo de 300(1 + t) ^1 =^2 cientos de mosquitos por semana. Si la poblaciÛn de mosquitos en t = 0 es de M 0 = 100 a) øEn cu·nto aumenta la poblaciÛn de mosquitos entre la tercera y la octava semana? b) øCu·ntos mosquitos tendremos al Önal de la octava semana? c) Halle la poblaciÛn de mosquitos en el instante T:
- Producir x unidades de bien X conlleva unos costes C(x): El coste marginal viene dado por la funciÛn
CM (x) =
x^2 5 x + 30:
Si producir 6 unidades de bien X cuesta 500 euros, a) øCu·l es la funciÛn de costes? b) Calcule C(0) e interprete su signiÖcado. c) Suponga que se producen 6 unidades de bien X: øCu·l serÌa el coste aproximado de una unidad adicional? d) Calcula cu·l es el coste marginal medio en el intervalo [0; 24]
- A partir del dia t = 0 un individuo pierde capital a un ritmo de 1000 euros diarios durante 10 dÌas y lo gana a un ritmo de 200(t 10) euros diarios a partir del dÈcimo dÌa. a) Estudie la continuidad de la funciÛn K^0 (t) que da el ritmo de variaciÛn del capital. b) Si el capital inicial era K 0 = 20000 euros, obtenga la funciÛn K(t) que da el capital del individuo el dÌa t: Represente gr·Öcamente K(t) y estudie los intervalos de crecimiento. c) øLlegar· a superar el capital del individuo el nivel inicial de K 0 = 20000 euros? øEn quÈ instante?
- El ritmo de variaciÛn de la prima de riesgo de EspaÒa en los ˙ltimos 30 dÌas ha sido
r (t) =
(^) (t+1)^162 0 t 15 3 15 < t 30 La prima de riesgo en t = 0 fue de 345 puntos. a) Obtenga la funciÛn R(t) que da el valor de la prima de riesgo el dÌa t. øEs continua? øEs derivable? Represente gr·Öcamente R(t) y estudie los intervalos de crecimiento. b) øLlegÛ a superar la prima de riesgo el nivel inicial de R 0 = 345 puntos? øEn quÈ instante?
- El valor actual descontado de un áujo monetario de f (t) unidades monetarias por aÒo (o por unidad de tiempo, que puede ser mensual, diario,...) que se recibir·n durante el periodo [0; T ] si la tasa de interÈs es viene dado por
R T
0 f^ (t)e
tdt: Una conocida marca de cafÈ sortea un sueldo de 2000 e al mes para toda la vida. Si el ganador del sorteo tiene una esperanza de vida de 15 aÒos y el tipo de interÈs es del 5% anual øcu·l es el valor actual descontado del premio que ha ganado?
- CalculeF (x) y F 0 (x) para las funciones que aparecen a continuaciÛn
a) F (x) =
R (^) x^2 +x 0 (u^ + 1)
(^2) du; b) F (x) = R^3 x (u^ + 2)
(^2) du; c) F (x) = 4 R^2 x x^2 y
(^3) dy
Compruebe que F 0 (x) coincide con el valor que se obtiene utilizando el teorema fundamental del c·lculo generalizado.
- Sea F (x) =
R (^) g(x) h(x) f^ (x)dx^ donde^ f^ (x) =^ x^ cos(x) + (x^ + 2)sen(x);^ g(x) =^ ^ ^ x^ y^ h(x) = 2x:^ Calcula^ F^
(^0) (x) y F 0 (0) usando el teorema fundamental del c·lculo generalizado.
- Sea F (x) =
R 10
x
t^2 4 t^2 +2 dt^ donde^ x^2 [0;^ 10]:^ øEs^ F^ una funciÛn derivable? En caso aÖrmativo halle los valores que anulan la derivada de esta funciÛn. Analice si estos valores son mÌnimos, m·ximos o puntos de ináexiÛn de la funciÛn F (x):
