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Problemas de Álgebra Lineal, Ejercicios de Matemática Empresarial

Universidad Complutense de Madrid (UCM)Matemática Empresarial

Este documento contiene una serie de problemas relacionados con el aprendizaje de álgebra lineal, tomados del libro 'álgebra lineal para la economía' de sinesio gutierrez. Los ejercicios abarcan temas como matrices, determinantes, espacios vectoriales, aplicaciones lineales y formas cuadráticas.

Tipo: Ejercicios

2017/2018

Subido el 13/05/2018

gabriela_maria_de_armas_vega
gabriela_maria_de_armas_vega 🇪🇸

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Problemas propuestos para el Bloque I.!
Ejercicios del libro:!
Álgebra lineal para la Economía!
Sinesio Gutierrez!
Editorial AC!
!
3.1. Sean las matrices:!
A=(1 -1 2)!
Calcular cada una de las expresiones que se indican:!
i) (2A+3Bt) C!
ii) (AB-C)!
iii) CtAt-(AC)t!
iv) (C-2I)t·(B+At)!
3.3. Sean A y B matrices de orden 4x4, det(A)=3, det(B)=-2. Calcular:!
a) det(2A)!
b) det(0,5B)!
c) det(AB)!
d) det(BAt)!
e) det(AB)t!
f) det(BtAtB)t!
3.6. Hallar el rango de cada una de las matrices:!
3.8. Determinar si el conjunto de vectores S⊂V es sistema generador del espacio vectorial V(R) y,
en caso afirmativo, extraer una base.!
V=R3!
S=[v1=(1 0 1); v2=(2 -1 0); v3=(0 -1 -2); v4=(1 1 1)]!
3.9. Hallar los valores del parámetro a para que sean linealmente dependientes los vectores del
conjunto S, pertenecientes al espacio vectorial V(R):!
V=R3!
S=[(1 0 2), (-1 2 a), (0 a 0)]!
4.1. Expresar en forma matricial, clasificar y hallar una del núcleo y del conjunto imagen en cada
una de las aplicaciones lineales:!
i) f: R3→R3. f(x, y, z)=(2x-z, y-z, x)!
ii) f: R2→R3. f(x1, x2)=(x1, x1-x2, x1+x2)!
iii) f: R→R3. f(x)=(x, 2x, -x)!
iv) f: R3→R. f(x1, x2, x3)=x1- x2+ x3!
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Problemas propuestos para el Bloque I. Ejercicios del libro: Álgebra lineal para la Economía Sinesio Gutierrez Editorial AC 3.1. Sean las matrices: A=(1 -1 2) Calcular cada una de las expresiones que se indican: i) (2A+3Bt) C ii) (AB-C) iii) CtAt-(AC)t iv) (C-2I)t·(B+At) 3.3. Sean A y B matrices de orden 4x4, det(A)=3, det(B)=-2. Calcular: a) det(2A) b) det(0,5B) c) det(AB) d) det(BAt) e) det(AB)t f) det(BtAtB)t 3.6. Hallar el rango de cada una de las matrices: 3.8. Determinar si el conjunto de vectores S⊂V es sistema generador del espacio vectorial V(R) y, en caso afirmativo, extraer una base. V=R^3 S=[ v 1 =(1 0 1); v 2 =(2 -1 0); v 3 =(0 -1 -2); v 4 =(1 1 1)] 3.9. Hallar los valores del parámetro a para que sean linealmente dependientes los vectores del conjunto S, pertenecientes al espacio vectorial V(R): V=R^3 S=[(1 0 2), (-1 2 a), (0 a 0)] 4.1. Expresar en forma matricial, clasificar y hallar una del núcleo y del conjunto imagen en cada una de las aplicaciones lineales: i) f: R^3 →R3.^ f(x, y, z)=(2x-z, y-z, x) ii) f: R^2 →R3.^ f(x 1 , x 2 )=(x1, x 1 -x2, x 1 +x 2 ) iii) f: R→R3.^ f(x)=(x, 2x, -x) iv) f: R^3 →R.^ f(x 1 , x 2 , x 3 )=x 1 - x 2 + x 3

5.1. Obtener la dimensión y las ecuaciones de cada uno de los subespacios vectoriales generados por los vectores que se indican: (i) (1, 1, 1), (0, -1, 2) (ii) (0, 1, 1, 0), (-1, 1, 0, 0), (-1, 0 -1, 0), (1, 5, 3, 0) (iii) (0,1), (2, -1) 5.2. Hallar una base para cada uno de los subespacios vectoriales: (i) { x ∈R^3 / x 1 =-x 2 , x 2 + x 3 =0} (ii) { x ∈R^4 / x 1 +x 3 ,=0, x 2 -x 4 =0} (iii) { x ∈R^3 / x 1 =0} (iv) { x ∈R^4 / x 1 -x 2 =x 3 , x 2 -2x 4 =0, x 1 -2x 4 -x 3 =0} 6.6. Calcular An^ en cada uno de los casos ( realizar en cada caso todos los pasos explicados en clase ): 8.6. Estudiar el signo de cada una de las formas cuadráticas: (i) Q(x 1 ,x 2 )=3x 12 -4x 1 x 2 +7x 22 (ii) Q(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 12 +6x 1 x 2 +2x 22 (iii) Q(x 1 ,x 2 ,x 3 )=3x 12 -2x 1 x 2 +4x 1 x 3 +5x 22 +4x 32 -2x 2 x 3 8.7. Estudiar el signo de la forma cuadrática XtAX, según los valores del parámetro a, siendo: 8.8. Encontrar el valor del parámetro a para que sea semidefinida la forma cuadrática: Q(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 12 +2x 22 -2x 1 x 3 +ax 32