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PRÁCTICA 2

CONTRASTE DE HIPÓTESIS (II)

EL ESTADÍSTICO Z UTILIZADO HASTA AHORA PARTE DE SUPONER QUE LA POBLACIÓN

SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL CON MEDIA μ DESCONOCIDA Y DESVIACIÓN

TÍPICA σ CONOCIDA.

¿ES REALISTA SUPONER QUE σ ES CONOCIDA?

¡NO! DE HECHO, SI CONOCIÉSEMOS σ EN ALGUNA SITUACIÓN TAMBIÉN

CONOCERÍAMOS μ PUESTO QUE PARA CALCULAR σ ES NECESARIO CONOCER μ

EN LA MAYORÍA DE LAS OCASIONES NO TENDREMOS INFORMACIÓN SOBRE σ POR LO

QUE NO PODREMOS UTILIZAR EL ESTADÍSTICO Z PARA LLEVAR A CABO EL CONTRASTE

DE HIPÓTESIS SOBRE μ.

¿QUÉ ESTADÍSTICO MUESTRAL UTILIZAMOS EN ESOS CASOS? → T-­‐STUDENT

STAT

X

t t Student conn 1 grados de libertad

s n

− μ

= : − −

CONTRASTE SOBRE LA MEDIA CON DESVIACIÓN TÍPICA POBLACIONAL DESCONOCIDA

1. Planteamos el contraste (H 0

y H 1

1. Fijamos el nivel de significación α, esto es, el riesgo de rechazar H 0

siendo H 0

cierta, que estamos dispuestos a asumir.

1. Determinamos los valores críZcos que dividen las zonas de rechazo y de no

rechazo.

1. Calculamos el estadísZco t
2. Comparamos el estadísZco t con los valores críZcos y concluimos.

ESTANDARIZAMOS

2

X Normal ⎡^ μ ,σ ⎤

, con μ y σ

2

⎡ μ σ ⎤ desconocidas

2

X Normal ,

Rechazamos H 0

No rechazamos H 0

Una de las mayores medidas de la calidad del servicio que proporciona

una organización es la velocidad con la cual responde a las quejas de los

clientes.

Una empresa familiar de muebles y alfombras ha llevado a cabo una

fuerte expansión en los úl_mos años. Más concretamente, el

departamento de montadores ha pasado de tener una plan_lla formada

por dos montadores a otra formada por un supervisor de instalaciones,

un medidor y 15 montadores.

La _enda _ene entre los obje_vos de su plan estratégico mejorar sus

respuestas a las quejas que pueda recibir. La variable de interés se

define como el número de días desde que se efectúa la queja hasta que

esta es resuelta.

Los datos se recopilaron a par_r de 50 quejas que se llevaron a cabo

durante el úl_mo año. Dichos datos aparecen en el fichero Furniture.txt,

y son los siguientes:

EJERCICIO 1

EJERCICIO 1

Problema que se plantea è ¿EL TIEMPO PROMEDIO PARA RESOLVER

UNA QUEJA ES DE 20 DÍAS?

HIPÓTESIS NULA (H

0

HIPÓTESIS ALTERNATIVA (H

1

q Si rechazamos la H

0

→ hemos demostrado que el Zempo promedio

para la resolución de las quejas es disZnto de 20 días.

q Si no rechazamos la H

0

→ no hemos conseguido demostrar que el

Zempo medio para la resolución de las quejas no sea igual a 20 días.

EJERCICIO 1

H

0

: μ = 20

H

1

: μ ≠ 20

TIEMPO MEDIO DE RESOLUCIÓN DE 20 DÍAS

TIEMPO MEDIO DE RESOLUCIÓN DISTINTO DE 20 DÍAS

PLATEAMOS EL CONTRASTE

FIJAMOS EL NIVEL DE SIGNIFICACIÓN

§ El nivel máximo de Error de Tipo I que estoy dispuesto a

asumir es del 5% → probabilidad de rechazar H 0

siendo H 0

cierto, probabilidad del 5% de decir que el Zempo medio

de resolución de las quejas no es de 20 días cuando en

realidad sí que lo es.

EJERCICIO 1

Si n=50 reclamaciones, X=43,04 y s=41,

t

STAT

=

X −μ

s n

=

43 , 04 − 20

41 , 93 50

= 3 , 88

4 CALCULAMOS EL ESTADÍSTICO T

5 COMPARAMOS t

STAT

CON EL VALOR CRÍTICO Y CONCLUIMOS

§ Con un nivel de significación del 5% RECHAZAMOS

H 0

.

§ Esto es, con una probabilidad del 5% de incurrir en el

error de Zpo I, podemos concluir que el Zempo

medio para la resolución de las quejas es disZnto de

los 20 días.

§ Existe por tanto evidencia de que la afirmación no es

cierta

RECHAZO RECHAZO

-­‐2,0 2,

NO RECHAZO

EJERCICIO 1

Importamos la base de datos Furniture

days<-­‐Furniture$Days Creamos la variable “days”

t.test(days,mu=20)

Contraste t en el que la hipótesis nula es μ=

One Sample t-­‐test

data: days

t = 3.8858, df = 49, p-­‐value = 0.

alternaZve hypothesis: true mean is not equal to 20

95 percent confidence interval:

sample esZmates:

mean of x

RECHAZAMOS H 0

A UN NIVEL DE SIGNIFICACIÓN α

REGLA DE DECISIÓN

VALOR HIPOTÉTICO ESPECIFICADO EN LA H 0

ESTÁ DENTRO DEL INTERVALO

VALOR HIPOTÉTICO ESPECIFICADO EN LA H 0

NO ESTÁ DENTRO DEL INTERVALO

Con n=25 cajas, σ=15 gramos y X=372,5 gramos 0

H : μ = 368

1

H : μ ≠ 368

NO PODEMOS RECHAZAR H 0

A UN NIVEL DE SIGNIFICACIÓN α

− μ −

σ

STAT

(X ) (372,5 368)

Z 1,

n 15 25

Z

0,

2 2

X Z ;X Z

n n

α α

⎡ σ σ ⎤

− + ⎢ ⎥

⎣ ⎦

15 15

372,5 1,96 ;372,5 1,

25 25

⎡ ⎤

− + ⎢ ⎥

⎣ ⎦

[ 366,62;378,38]

368 está incluido en el intervalo → dado el estadísZco muestral obtenido y el nivel

de significación fijado, no podemos considerar que 368 sea un valor inusual. No

podemos rechazar por tanto la H

0

ENFOQUE DEL P-­‐VALOR

P-­‐VALOR → PROBABILIDAD DE QUE EL ESTADÍSTICO t > 3,88 Y t < -­‐3,

Dado t=3,88 y n=

P-­‐valor = 0,

§ Si tomamos el estadísZco obtenido como valor

críZco, obtenemos que el riesgo de cometer Error

de Tipo I (rechazar H 0

siendo esta cierta) es del

(P-­‐VALOR = 0,003) < 0,05 → RECHAZAMOS H

0

INTERVALO DE CONFIANZA

2 2

s s

X t ;X t

n n

α α

⎡ ⎤

− + ⎢ ⎥

⎣ ⎦

43 , 04 − 2

41 , 93

50

; 43 , 04 + 2

41 , 93

50

"

$

%

&

'

20 no está incluido en el intervalo de confianza del 95% → dado el estadísZco

muestral obtenido y el nivel de significación fijado, podemos considerar que 20 es

un valor inusual. RECHAZAMOS POR TANTO LA H

0

EJERCICIO 1

[31;55]

EJERCICIO 1

c) Construid un boxplot o dibujar un dibujo de una probabilidad normal

para evaluar el supuesto llevado a cabo en el apartado b).

boxplot(days)

qqnorm(days)

BOX PLOT O DIAGRAMA DE CAJAS : gráfico representaZvo de la distribución de un

conjunto de datos en cuya construcción se usan 5 medidas descripZvas: mediana,

primer cuar_l, tercer cuar_l, valor máximo y valor mínimo.

Proporciona de forma simultánea información sobre la tendencia central, la

dispersión y la simetría.

1

1. Límite superior
2. Tercer cuarZl: por debajo de este

valor se concentran el 75% de las

observaciones.

1. M e d i a n a : 5 0 % d e l a s

observaciones están por debajo y

el 50% por encima.

1. Primer cuarZl: por debajo de este

valor se concentran el 25% de las

observaciones.

1. Límite inferior

2

3

4

5

EJERCICIO 1

d) ¿Considera que el supuesto necesario de cara a llevar a cabo el

contraste de la t -­‐Student en el apartado a es necesario? Explique su

respuesta.

q En la prácZca, siempre que el tamaño muestral no sea muy pequeño y que

la población no sea demasiado asimétrica, el estadísZco t proporciona una

buena aproximación para la media cuando la desviación pica es

desconocida.

q El estadísZco t es un contraste robusto → no pierde potencia aunque la

población se aleje ligeramente de la normal. Basta con que la muestra sea

lo suficientemente larga (n>30) como para que se le aplique el Teorema

Central de Límite.

q En aquellos casos en los que el tamaño muestral es pequeño y no podemos

asumir fácilmente el supuesto de que la población subyacente sea

aproximadamente normal, el estadísZco t puede dar lugar a conclusiones

erróneas. En ese caso los contrastes no paramétricos serán mas

apropiados.

EJERCICIO 2

Una de las operaciones de una acería es cortar piezas de acero en partes

que se u_lizan como marcos en los asientos delanteros de un automóvil.

El acero se corta con una sierra de diamante y requiere que las partes

resultantes estén cortadas con un margen de error como máximo de

±0,005 pulgadas con respecto a la longitud especificada por el fabricante

de automóviles.

El fichero Steel.csv con_ene una muestra de 100 partes de acero. La

medida proporcionada es la diferencia, en pulgadas, entre la longitud

actual de la pieza de acero fabricada, y la especificada.

Por ejemplo, un valor de -­‐0,002 indicaría que se trata de una pieza de

acero 0,002 pulgadas más corta que la longitud especificada.

En estas condiciones, las preguntas que llevaría a cabo el analista son: