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numeros complejos. multiples ejercicios
Tipo: Ejercicios
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Imagen:: 9. Kirsten Sims.jpeg
Colegio Manquecura Ciudad de los Valles
Registro propiedad intelectual nº 275.203 - Moraleja Editorial. Se autoriza su uso con fines de docentes a Colegio Manquecura - Ciudad de los Valles durante el año 2019.
“Pregúntate si lo que estas haciendo hoy te acerca al lugar donde quieres estar mañana” — WALT DISNEY — DIBUJANTE , EMPRENDEDOR, VISIONARIO
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CAPÍTULO 9 | Números Complejos^ @edmoraleja
CAPÍTULO 9
Material complementario texto: MATEMÁTICA PARA NACIONAL. Cuarta edición.
NÚMEROS COMPLEJOS
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CAPÍTULO 9 | Números Complejos^ @edmoraleja
c. Números imaginarios
unidad imaginaria. Estos pueden representarse en una recta vertical, perpendicular a la recta real, quedando arriba del cero aquellos valores en que b > 0 y abajo del cero aquellos en que b < 0. La raíz cuadrada de cualquier número negativo puede representarse como un número imaginario. Ejemplo:
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a. representación Existen diversas formas de representar números complejos. Éstas son:
Se denomina forma binomial o estándar de un complejo a la forma: a + bi.
Un número complejo también se puede escribir como un par ordenado (a , b) de números reales, donde la primera componente es la parte real de complejo, y la segunda componente corresponde al coeficiente de la unidad imaginaria i. Esto es:
z = a + bi " z = ( a , b )
Ejemplo: z = 2 – 3i equivale a z = ( 2 , –3 )
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b. Valor absoluto de un complejo Si z = a + bi, entonces el módulo de z es |z| , tal que z = a 2 + b^2.
El valor absoluto de un complejo equivale a la distancia entre el número complejo y el cero.
c. Conjugado de un complejo Sea el complejo z, su conjugado ( z ) es otro complejo con distinto signo del coeficiente imaginario. En otras palabras, sea el complejo z = a + bi , su conjugado es z = a – bi. El conjugado de z es el número simétrico de z con respecto al eje real. El producto entre un número complejo y su conjugado es siempre igual al cuadrado del valor absoluto del número, es decir, z $ z = z 2. Podemos concluir además que el inverso multiplicativo de un número complejo es igual al cuociente entre el conjugado del número y el cuadrado de su valor absoluto, z (^) z
1 z = 2
d. Igualdad de complejos Dos números complejos serán iguales si sus respectivos elementos lo son, partes reales y partes imaginarias. Es decir, si a + b· i = c + d· i , entonces se cumple que, a = c y b = d.
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e. Adición y sustracción de complejos La operatoria de números complejos tiene las mismas propiedades de los números reales: distributiva, asociativa, conmutativa, neutro e inverso.
Para sumar dos números complejos, sumamos las respectivas partes reales y partes imaginarias entre sí: Esto es: z 1 = a + bi y z 2 = c + di Entonces: z 1 + z 2 = ( a + c ) + ( b + d )· i
Para restar dos números complejos, restamos las respectivas partes reales y partes imaginarias entre sí: Esto es: z 1 = a + bi y z 2 = c + di Entonces: z 1 – z 2 = ( a – c ) + ( b – d )· i
» El neutro aditivo de un complejo es ( 0 , 0) = 0 + 0i » El inverso aditivo de un complejo z = a + bi , es –z = –a – bi
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A) 2 + 4i B) –5 + 9i C) 3 + 7i D) –3 + 7i E) –10 + 12i
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A) 11 – 9i B) –1 – 9i C) 11 + i D) –1 + i E) 11 – i
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CAPÍTULO 9 | Números Complejos^ @edmoraleja
A) 21 B) 21 C) 29 D) 29 E) 9
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A) – B) –i C) 1 D) i E) 0
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( 1 ) k es un número par ( 2 ) r es un número par
A) ( 1 ) por sí sola B) ( 2 ) por sí sola C) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 ) D) Cada una por sí sola, ( 1 ) ó ( 2 ) E) Se requiere información adicional
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A) ( 1 ) por sí sola B) ( 2 ) por sí sola C) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 ) D) Cada una por sí sola, ( 1 ) ó ( 2 ) E) Se requiere información adicional
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h. Inverso multiplicativo de un complejo
Sea z = a + bi, entonces el recíproco o inverso multiplicativo de z es z –^1 = (^1) z o z –^1 = (^) a +^1 bi.
Es importante que los términos con “i“ no queden en el denominador. De ser así, se debe “racionalizar“.
Para racionalizar un complejo, debe amplificarse por el conjugado del denominador y luego reducir: Esto es: z a^ bi
bi
a bi
a bi
a bi
1
2 2
2 2 2
2 2
a bi a bi
a
a b i
a b
_ i
» El elemento ( 0 , 0 ) no tiene inverso multiplicativo.
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i. División de complejos Si z 1 = a + bi y z 2 = c + di , con z 2 distinto de cero, la división entre ellos se expresa: (^) zz^12. Como se explica anteriormente, debemos racionalizar nuestro resultado. Ejemplo: Si z 1 = 2 + 3 i y z 2 =4 –i
z
z i
i i
i (^) i i i i i i i i 4
reemplazamos i por
2
1 2
2 2
2
(^2) – 1
16 – i 16 – i^16 +^1 17 17
i _
i i i
