¡Descarga Exercicis de polinomis: operacions, productes, divisions, graus, identitats notables y más y más Ejercicios en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
Exercicis de polinomis
Operacions amb polinomis
1. Efectua les següents operacions amb monomis:
a) 5 x
4
· (− 3 x
2
) b)
t
7
t
3
c)
x
3
5
d)
− 135 x
6
15 x
3
e)
z
7
z
3
f)
75 a
10
3 a
2
2. Efectua els següents productes de polinomis:
a) − 2 x
3
· (− 3 x
2
b) ( x
2
2
c) ( t
4
− 2 t
3
) · ( 2 t
2
− 3 t )
3. Efectua les següents divisions de polinomis indicant en cada cas el quocient Q ( x ) i el residu
R ( x ) :
a) ( 2 x
5
− x
4
3
2
3
− x
2
b) ( 2 x
5
4
− x
3
2
2
c)
( x
4
− 5 x
3
2
− 12 x + 9 ):( x
2
− 3 x + 3 )
4. Indica quin és el grau dels següents polinomis:
a)
( 3 x
2
15
b) ( 6 x
5
− 7 x
4
− 3 x
3
) · (− 5 x
4
− 3 x
5
8
5. Efectua les següents operacions aplicant les identitats notables:
a) ( x + 3 )
2
b) ( 5 x
2
2
c) ( 2 x − 3 )
2
d)
( 2 x − 5 ) · ( 2 x + 5 )
e) (
2 x −
2
6. Calcula a i b per tal que es verifiqui la igualtat:
( x
2
+ bx − 3 ) · ( ax + 4 )= 2 x
3
− 2 x
2
− 18 x − 12
Exercicis de polinomis
Fórmula del binomi de Newton
7. Calcula el valor de les següents expressions:
a)
b)
c)
d)
8. Calcula els nombres combinatoris següents:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
9. Calcula les següents potències fent servir la fórmula del binomi de Newton:
a) ( x + 2 )
3
b) ( x − 1 )
4
c) ( 2 x + 3 )
3
d) ( 2 x + 1 )
5
e) ( 2 x − 3 )
3
f) ( x − 2 )
6
10. Desenvolupa les potències següents:
a) ( 2 x + y )
4
b) ( 3 x + 2 t )
3
c) ( 5 a − 3 b )
5
11. Calcula les següents potències fent servir la fórmula del binomi de Newton:
a) (
2 x + 4 )
4
b) (
3 x − 1 )
5
c)
2 x
3
12. Determina el coeficient de x
8
en el desenvolupament de ( x
2
− 2 x )
5
Valor numèric. Teorema del residu
13. Calcula el valor numèric del polinomi p ( x )= x
3
− 2 x
2
x = 1 ,
x =− 2 ,
x = 0 , x =
i x =
14. Quin és el polinomi de primer grau
P ( x ) que verifica
P ( 1 )=− 1
i
P ( 2 )= 1
15. Quin polinomi de primer grau Q ( x ) hi ha que verifiqui Q (− 1 )= 2? 16. Hi ha algun polinomi de primer grau R ( x ) que verifiqui R (− 2 )= 1 , R (− 1 )=− 1 i R ( 3 )= 4? 17. Quin és el polinomi de segon grau S ( x ) que verifica S ( 1 )= 2 i S ( 0 )=− 1 i S ( 2 )= 7?
Exercicis de polinomis
28. Determina les arrels racionals dels següents polinomis:
a) p ( x )= 100 x
4
− 60 x
3
− 17 x
2
29. Calculeu el valor de a perquè el polinomi P ( x )= x
4
− 2 x
2
- a x − 6 tingui com a arrel el nombre 3.
30. Calculeu els valors de a i b perquè el polinomi Q ( x )= x
3
− a x
2
- 2 b x + 8 tingui com a arrels els
nombres 2 i 4.
Factorització de polinomis
31. Factoritza aquests polinomis:
a) x
2
− 11 x + 30 b) 9 x
2
x
2
d) x
4
3
2
e) x
2
− 1 f) x
4
32. Factoritza aquests polinomis:
a)
x
3
b)
x
5
4
− x − 1 c)
x
4
− 3 x
3
− 3 x
2
d) x
4
− 6 x
3
2
5
− 8 x
4
3
− 27 x f) x
4
3
2
g) x
3
2
− 5 x − 20 h) x
3
2
33. Les arrels d'un polinomi de tercer grau són 3 i -1, sent aquesta una arrel doble, i el coeficient de
x
3
és 6. Quin és aquest polinomi?
34. Calcula el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple dels polinomis:
p ( x ) = 6 x
2
− 6 x − 72
q ( x ) = 8 x
3
− 8 x
2
− 128 x + 128
35. Troba el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple dels polinomis:
p ( x ) = x
2
− 3 x − 4
q ( x ) = x
2
Comprova que el producte dels dos polinomis que acabes de trobar coincideix amb el producte
dels dos polinomis de l'enunciat.
Exercicis de polinomis
36. Troba el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple dels polinomis:
p ( x ) = x
3
− x
2
− 10 x − 8
q ( x ) = x
3
2
− x − 2
r ( x ) = x
3
− 3 x
2
− 6 x + 8
Fraccions algebraiques
37. Quines de les següents fraccions algebraiques són equivalents:
A ( x ) =
x
2
− 2 x − 3
x
2
B ( x ) =
x
2
x
2
C ( x ) =
x
2
− x − 2
x
2
D ( x ) =
x
2
x
2
E ( x ) =
x
2
− 6 x + 9
x
2
− x − 6
38. Calcula:
a)
x + 1
x + 2
x + 3
b)
x − 3
x
2
x + 5
x
2
39. Calcula:
a)
x
2
x
2
− 2 x − 3
x + 1
2 x + 4
b)
x
3
− 3 x
2
x
3
− 4 ∗ x
÷
x
2
− 2 x + 1
x
2
− 4 x + 4
40. Resol les següents equacions:
a)
x + 1
3 x − 6
x − 1
2 x + 4
10 − x
2
6 x
2
b)
x − 3
x − 4
x − 4
x − 5
x − 6
x − 7
x − 7
x − 8
Exercicis de polinomis
Solucions
- a) − 15 x
6
b) −
t
10
c)
x
15
d) − 9 x
3
e)
z
4
f) 5 a
8
- a) 6 x
5
− 10 x
4
3
b) − 2 x
4
− x
2
6
− 7 t
5
4
- a)
Q ( x )= x
2
2
− 3 x + 1
b) Q ( x )= 2 x
3
2
− x + 5 R ( x )=− 4 x + 7
c) Q ( x )= x
2
− 2 x + 2 R ( x )= 3
- a) 30 b) 13
- a) x
2
4
2
2
− 12 x + 9
d) 4 x
2
− 25 e) 2 x
2
− 20 x + 50
- a = 2 i b =− 3
- a) 220 b) 15504 c) 4950 d) 499500
- a)
b)
c)
d)
e)
f) 1
- a) x
3
2
4
− 4 x
3
2
− 4 x + 1 c) ( 2 x + 3 )
3
d) 32 x
5
4
3
2
e) 8 x
3
− 36 x
2
f) x
6
− 12 x
5
4
− 160 x
3
2
− 192 x + 64
- a) 16 x
4
3
y + 24 x
2
y
2
3
4
b) 27 x
3
2
t + 36 xt
2
3
c) 3125 a
5
− 9375 a
4
b + 11250 a
3
b
2
− 6750 a
2
b
3
4
− 243 b
5
- a) 4 x
4
2 x
3
2
2 x + 256
b) 9
3 x
5
− 45 x
4
3 x
3
− 30 x
2
3 x − 1
c)
8 x
3
− x
2
9 x
- p ( 1 )= 1 p (− 2 )=− 29 p ( 0 )=− 3 p
p ( √ 3 )= 8 √ 3 − 9
- P ( x )= 2 x − 3
- Hi ha infinites solucions. Per exemple
Q ( x )= x + 3 ,
Q ( x )= 2 x + 4 ,
Q ( x )= 3 x + 5 , ...
- No existeix cap polinomi que verifiqui les tres condicions alhora.
- S ( x )= x
2
- Hi ha infinites solucions. Per exemple T ( x )= x
2
9 x
, T ( x )=
5 x
2
11 x
Exercicis de polinomis
- m =
- a) − 8 b) 31 c) − 294
- a) 1 b) 14
a = 2 i
b =− 1
- p ( x )=( x
2
− 5 x + 4 )( x + 2 )
- k =
- p ( 3 )= 0 ⇒ 3 és una arrel del polinomi.
- a) 2 , − 2 i
b)
c) ±
2 i ±
7 d)
1 i − 2
- a)
− 5 , − 1 i 2 b)
± 1 , ± 2 i 5 c)
± 1 , 2 i 5
- a) ±
i
- a = 19
- a = 5 i b = 1
- a)
( x − 6 )⋅( x − 5 ) b)
x +
2
c)
⋅( x + 9 )⋅( x − 9 )
d) x
2
⋅( x + 1 )⋅( x + 2 ) e) ( x + 1 )⋅( x − 1 ) f) ( x + 1 )⋅( x − 1 )⋅( x
2
32. a) ( x − 1 )⋅( x
2
+ x + 1 ) b) ( x − 1 )⋅( x + 1 )
2
⋅( x
2
+ 1 ) c) ( x − 3 )⋅( x + 2 )⋅( x − 1 )
2
d) ( x − 2 )⋅( x + 2 )⋅( x − 3 )
2
e) x ⋅( x + 1 )⋅( x − 3 )
3
e) ( x + 3 )
4
f) ( x + 4 )⋅( x +
5 )⋅( x −
5 ) g) ( x + 4 )⋅( x
2
- 6x
3
−6x
2
−30x− 18
34. m.c.d. ( P ( x ) ,Q ( x ))= 2 x − 8 , m.c.m.( P ( x ) ,Q ( x ))= 24 x
4
3
− 456 x
2
− 768 x + 1152
35. m.c.d. ( P ( x ) ,Q ( x ))= x + 1 , m.c.m.( P ( x ) ,Q ( x ))= x
3
− x
2
− 10 x − 8
P ( x )⋅ Q ( x ) = m.c.d. ( P ( x ) ,Q ( x )) ⋅m.c.m. ( P ( x ) , Q ( x )) = ( x − 4 )⋅( x + 2 )⋅( x + 1 )
2
36. m.c.d. ( P ( x ) ,Q ( x ))= x + 2 , m.c.m.( P ( x ) ,Q ( x ))= x
4
− 2 x
3
− 9 x
2
A ( x )= E ( x ) C ( x )= D ( x )
- a)
x
2
x
3
2
b)
x
2
- a)
x − 1
2 x − 6
b)
x
2
− 3 x + 2
x
2
- a) x =
b) x = 6
