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,. (x + y) ( X2 + y2)
- (2p - 4) (2p + 7)
2. (2a+ b )( 3a - 2b) 19. ( 2x - 3y - 4z) (x + y + z)
- (1^ -^ ,)(^1 -^ y)^ 20. (xl^ +^ y2^ _^ z2)(^ 2x^ _^ 3y -^ 4z^ )
4. (2x - 6y) (xl - 2xy) 21. (a + 1) (a
n
+ a
n
+ 1 + an + 2)
- (xl^ +^ 3x
2
y) (_ 3xy2 + 4 xy 3) 22. (a^ _1)(a^
n - 1
+ a n
+ an + 1)
- (4, + y) (- 2, - s'y ) 23. (u -^ v)^ (u
l
2 )
7. (6a - sb) (2b + 7a) 24. (x^ +^ y)^ (xl^ +^ 2xy^ +^ y2)
- (a+^ b+^ l^ )(^ a - b)^ 25. (-),^ +^ y'^ )(,'^ -^ , y^ -^ y)
9. (2 a - 3ab + b') (b - b') 26. (2y + 3x) (xl - xy + 2y2)
- (5x
2 y + 2x -r - 3xy) (x _ y2) (^) 27. (- 3x - 2y + z) (x + y - 3z )
11. (m
2
2
- mn ) (2 m - 3n) (^) 28. (x _ y)(x
2
+ xy + y2)
12. (-^ 3xy^ -^ 2xy2 ) (xy2 -^ 5xy)^ 29. (x^ +^ y)(x2_xy^ +^ y2)
13. (2p'q^ +^ 3pq"^ - s^ pq 4)^ (-^ 3pq^ +^ 2p^ )^ 30. (a^ +^ b)^ (a
4
_ a]b + a
2 b
2 _ ab
+ b4)
- (x^
2 +1 )( x
2 _1 ) (^) 31. (a - b) (a
3
+ a
2
b + ab
2
+ b
- (a+^ b^ )(^ a - b)^32.
(x + y) (xn-I + xn-2 +xn - 3)
- (n^4 )(x^ - 6)^33.
(p2 _ q2) {p" _ pnqn _ qOl
- (a
2
+ 5) (a
2
- a
(^5) 2. mIl
,
4. a
b 5.^ x3y^2 6. a
b
7. 2a
b
- 15x
y^5 9. 10 mn^ 'l - a'x'y 11. 12x
3 y 12. 15a
3 b
1 c
5
b
c:114. '- m
p 15. 2a
b
c
y8 17.^1 44a^
b
s c
a
Álgebra en I~ nul1lt'lQl reales
- m6p6 32. (2x)3x 33. m15nll 34. a
35. (2x)9a+3 36. ~ al l
37._~ bI 5 38. _% x
y7 39 r
1~ a
b
ll
c
- O,0002a
b
c
a
- O(1053a
b
- _ 3,255x
y2 (^) zS 43. _1,33 9a
b
S
- O,0 36m3n (^12) p 6 45. -'~ a
b
11. 1.3a
-6ab 2. - l Ox+ 1Sx
+2Sx
- 14ab -7 b
4.9xa_6x6+3x5_6x3+9x2 5. _ (^18) x 7 y
4+24 (^) x 6 y
7+ 12xlyS
- _ 24xly 2 + 30xlyS 7. 39m
n
_ 26m
S n
3 +' 3m
n
S
(;l. - , Sm
3 n
l p 6 + 15m^
ó n
S
p ó -^ 15m
n
p S^ 9.^ -^ 6m
n - , 2 mn
10.5 p3q5 _ 4p 3 ql _ pl q4+3pSql 11. _3a
b
s 12.20a
bc+20ab
c-20abc
13;. - al + a
b 14. 3x
a y4 + 3xlyS +^ 3X;~y6^ 15.^ _^ 6ab
c
- 14al b9c 10 _ 35aab9c? + 28a7b ~ Oci 1 ~ 7a7bQ cl 2¡ . , t I~ • 3,1 1 12
17. _3 x
y 3+ 12
x
7 y
13+27xI6 (^) y 4 1 8. -x ~- xy 19. _ _ a
3 b _ _ a
J
b
_ ~, , .r 8 3 6 5
- l.x3yIO+3x.l y8_~x2y6 21. ~p 3 q2_..!p 3 q4 .p.!..§. p 3q~
22 _.!. aSb 4c7 +a4b5c8 23. ~ xty2Z4 _l x y
3z6 + ~ x 1(>y4Z
24 _~mI3n3+1 mBn6+' m
13 n4 25 ~x4y2_1.x3y ~
26 - ~ a
7
b
6 e
9
b
b e
3 +.!. a
7
b
4 c
3
27 O03a
b
s
b
b
S
- !m l0n 3+ mSn S_!" m7nJ 29. 7a5b6-0 .7 a ~ b S-O, 14 asb
4 4
- 2,52xly20 _1,3 2x
y 13 +^ 2,52x^
7y
31. S,3 a3bc - S,3ab3c - S,3abe
y4 z 1 + 2,64x
a ySz3^ '""^ 6,6x
y4z4 33. - 2
0 p4q
2 r
1S
9
6 p3q
r
34 _ 4m 13 n ll p+Z.m1 7 n 12 p_~ml1 n l0p 35 _.!..Z. x 8yb+.J2 (^) xl4y17+l (^) x 14 y
14
3(,. _ , ~ x
4
y
7 + ~ x 3 y8 '-'~ x2y 1_5 3
1
- 3a6b3cS + 24a5b3c 18 + 48 a5b4cl
111. 1. x
3
+ xy l+x
y+y3 ~. 6fl.2-. ab .-2b~ 3.1- x,-y+ xy
x3 _ 10x2y+12xy
- 3~3y2 _ 5x3y3 + 12x3y4 6. ' 8x2 _ 20x2y 2xy Sx y
- 42a
2 -23ab-l0b
- a
_b
2 +a-b 9. 2aq _5 ab
+.3ab
J
_ b
10.Sx3y_Sx 2y3+2x2y2 _ 2xy4_3x2y+3xy3 11. 2m
J _S m2n +S mn
_3 n
- 7x y3 +
15x
y2 _ 2x2y4 13. _ 6p3q2 + 4p3q _ 9p2q 12 + 6p2q 11 + lSp2q5 _ 10p2q
- x _1 15. a2 _ b 16.x
-2x-24 17. a
+12a
+3 5 18.4p2+6p-
19. 2x
2 -xy- y
l_2xz -7 yz -4 z
2
- 2x3 _ 3x2y _ 4x2z + 2 (^) xy 2 _ 3y3 -4r-z-2xz 2 + 3 yz2 + 4z
- an+ 2 an+l+2an+2+an +3 22. a n+
2 _an--l
- u _4u
v+4uv
_v
24. x +3x
y+3 (^) xy l+y3 25. - 3x
+3x
y+3xy+x
y2-xyS-r
26.3x
_x
y+4xy2+ 4y3 27. -3x
-5xy+l0xz-2 y2+ 7yz-3z
28.x
_ y
- x3 +y3 30. a +b
- a4 - b
- xn+xn-l + xn--l + yxo-1 +yxn-1+yx n-
- pn +2 _ p n+2 qn _ p2qn _ q2pn + qn+2pn + qn+ 2
Álgebra en los numeras reil/f!S 23
Representación geométrica de expresiones algebraicas.
ól) la expres ión a .b representa el área del
rectángulo de lados a y b.
: LI___a"~b___-,¡;
b) Observemos e l cuadra do
(a+b )2 = al + 2ab + b
l
D
a
H
b
a
2
a .b
K
a · b
b'
de l binomio
e
I
e) Observemos el producto de una
suma por su diferencia:
D
a
a-b
a
A (ABCOJ = (a+b) (a-b )
Tenemos A (fr-CAl = A (HIKI)
b e
A a J b B
:. A lA1'lCDI = A (HCH IDAl que es al - b
l
1. (2 + x)2 = 21
=4+4x+x
1
2. (3a - 5b1' = (3a)' - 2 • 3a • 5b + (Sb )'
= 9a
3. (2x - y) (2x + y) = (2x)' _ y'
= 4x2 _ y
•. (~+5y)(~-5y) = (i)' -(Sy)'
al 25 2
= 4 - Y
5. (x + 8) (x + 5) = xl + (5 + 8)x + 5 • 8
= x2 + 13x + 40
- (2a + J) (2a - 7) = (2a)2 + (3 - 7) • 2a + 3 • - 7
= 4a
= 4a
7. (p + 2») = p3 + 3 • p1 • 2 + 3 • P • 2
= p) + 6p l + 3p • 4 + B
= p3 + 6p2 + 1 2p + 8
- <2t - r)3 = (2t)3 _ 3 (2 t)2 • r + 3(2t) • r
2 _ r
3
= 8P-3. 4t
2
= 8t) - , 2t2r + 6tr
_ r
- a'" b)4 = 1a
+ 4a
b + 6a
b
z
+ 4ab
a
+ 4a)b + 6a
b
z
+ b
- 2a + y)' = 1 (2a)' + 5(2ar' • y + 1 O • (2afl · y' + l0(2a)' • Y' + 5(2a)y' + 1 • y
= (2a)5 + 5. t6a
y + 10. Ba
y2 + 10. 4a
Z y^3 +^ 10ay4^ +^ y
= 32a5 + BOa
y + 80 a 3y2 + 40a2 y3 + , Oa y4 + y
ÁlgebrJ en 105 números reJI~ 25
Cuadrado de binomio.
1. (x + y)2 14.^
(4pq - 3q)
(p _ q)2 15.
(9x2 _ 7y2)
- (2p + q )2 16.^
(8a
2
b + 7ab
6 )
- (^) (33+ bI' 17.^
(1 5x2y _ 3xy2 (^) z 6)
- (2^ a - 3b)^
- (2a - 3b)2 + (3a - 5b1'
6. (x+^ l^ )2^ 19. (11x -^ 5y)2 -^ (^ 13x^ +^ 3y)2^ +^ (x^ _^ 2y)
(a _ 6)
(% +2b)' +-~)'
8. (x^ +^9 )^
(3a-~r
- (3 p _1)
- (x^ +^ 5)2^ (''3 3 r
X
-s
Yz
- (6x - 5y )2 23. (O,,^ a^
(2m _ 1)
24. (1 ,5xr + 2,5x
y)
- (6x
2
y + 2x)2 25.
(ia2bJ-~ab6r
Suma por diferencia.
1. (u - v) (u + v)
14. (a + 5x) (a - 5x)
2. (x + 2y) (x - 2y)
- (- 9x 2 + 5xy) ( - 9x2 - 5xy)
- (3a - b) (33+ b)
- (_ 13n
S
p2 + 1) ( l3n
5
p2^ +^ 1)
- (5,2 - 3y) (5,2 + 3y)
- (1 - al (1 + al - (1 - 2a ) (1 + 2a)
5. (2x^ -^ 3x^ y)^ (2^ x^ +^ 3xy)^
- (x
2
_ 2x y) (xl + 2xy) + (x
2
+ 2xy)
6. (6a^ +^ 1)^ (6a-1)^
- (1 - w
5 ) (1 + w
5 )
- (9m
2
2
+ 3n)
- (¡p 7 _iq4 )( ¡p7 + iq4)
- (- 4a
b + 5b) (4a
b + Sb)
- (- 6m
n
_ 7m) (- 6m
n
+ 7m)
( azbxc + 4X) ( a
b
x
c - 4X)
- {10a
- (O,05x
-2) (O,05 x
(b 2_ ~)(b 2+~ )
- (^ 6x^
5
y2 z3 - 1) (6x5y2 z3 + 1)
(2P^ +¡)(2 P^ -¡ )
( '; - 5b)('; +Sb)
13. (2a^ +^ b) (2a -^ b) - (2a^ +^ b)2^ 25. (O,3 x
y - 2z) (O,3 x
y + 2z)
26 ÁlgdHa en Jos números reales
- X2 + 2xy + y2 2. p2 _ 2pq + q2 3. 4p2 + 4pq + q2 4. 9a
2
2
5.4 a
-12ab+9b
- x
+2x+1 7. a
-12a+36 6. x
+18x+
9.9 p' -6p +
- 4m
10. x2 + 10x + 2S 11. 36)(2 - 60xy + 25 y 2
- 36x
4 y2 + 24x
3y
- 16p2q2 _ (^24) pq 2 + 9q
19, - 47x2 _ 192xy + 20y
4442 922
- 9,X - 5 x YZ+ 2s" y z
, b'
4 4
2 6 b
2
21 9a^ --ab+-
. 5 25
- u
_v
- 36a
- x2 - 4y2 3. 9a
2 _ b
- 25x
2 _ 9x2y
- 81 m
_ 9n
- 25b
4 t>l 9. 36m
n
b
4 1 4;l 2 2
- a
-25x
19.1_w
lO
- 81x
_25x
y2 16.1 _169n
lO p4^ 17.3a
18. 20 + 4x
y
20 ~ 14_..!. 8
P 2S
Q
,
z q
- 4p - 16
- a
+ 5a + 6
- x2-9x+
- x
-10x+
13. a
+5a-
- 36x
- 81a
,
- .!.... - 2ab + 12b
16
lb~ 2
- ~ - 16x
2
- 0,0025 )(24 - 4
4x'
25. 0,09 X
y
2 _ 4z
- x2 +9x +20 3. tl-t-G 4. a
-4a-
~. a
2
-10x-24 8. x
+11x+
10. x
2 +4x-12 11. x
2
- 11)(+24 12. x
2 -11x-
- x
+a
_12 16. 4b2+~8bt4S
- 4a
+ 16ab t 15b
21. 36x
y' + 14y
2
- ~ + 9ab _ 40b
19.9a
-21a
b+l0b
- 16a
b
b - 27a
2
- ~ + 3pq + 3q'
16
IV. 1. a
b + 3ab
l
4. a
-9a
+27a-
- p3 _ 3p2q + 3pq2 _ q)
- t
+12t
+48t+
- x
+ 6x
6.8-12a+6a
2
-a
3
7.8a
-12a
b+6ab
-b
8.27a
b+225ab
-125b
9. 8x
+ 36x
y + 54x; + (^27) y 3 10. 1 - 9y + 27 y2 - 27 y 3
- 8+36t+54t
+27P 12.27a
x+36ax
-8x
2 8 Álgebra en los núlllt'fOS ffales
- 125a
-75a
+36a
,
- u
l
y] + 125,,
8
-. 3
27
V. 1. 16 a4+32aJb'+:24alb2+8ab3,..b 4
~a 3 _ "!a2 b + ~ ab 2 _ -.!...b
J
--m^3 _ _ m^2 n +- mn^2 --nl
- x? - , O'x4y + 40x3 (^) y 2 - 80x2 (^) y 3 + 80xt - 32y
- a
b
z
+ 20a
b o+- lSa
b
+ 6ab
+ b
- 128a
_ 4483
+ 280a
+ 14a - 1
- 729a
+ 2.916a
+ 576a + 64
x'
x) y 3x2y2 xy) y
+-+--+ - + -
- 81a
4
+ 432a
3
2
+ 76 8a + 256
...!... + 2-a + 2-a
- 81a
- )(5 +5x
+ 10,,3 + 10x
+5x+ 1
rae..+ov-iz..ac..ión
Dáinició n: factorizar una expresión algebraica (o suma
- términos algebraicos) cons iste en escribirla en forma de
' .... kación. Veremos los siguientes casos:
" rdC.-toY" c-omlÍn
(r'/1Of1Omio ~ polinomio)
IOdos los térmi nos de la expresión presentan un factor
que puede ser un monomio o un polinomio, por el
sr Qaoriza. es deci r, el término común es uno de los
:
::~ Q "lUltiplicación. El otro se determina aplicando la
JI( a-'gebraica.
Álgebra en los numeros re~les 29
Factorice las siguientes expresiones:
- m
+ 3m
2.a
2
- 3a - 12ab
- a
2 b
2
+ a
3 b
3
S.2pq'-3p'q
- 6x y
5 _ 12x y
6 _ 18x 3 y
4
7. 2ab + 2ac + 2ad
- 26x2y6 _ 13 x
6 y
2
9. x2y2 - xy
- 21a
6 _14a
5 +56a
7
- a + a
3
4
- 3a
b - 6a
b - 12ab
- 1 Smn - 10m
14. 2q + 2q2 + 2q
- 10 .q5 _ 30 pq
S _ , S pq
6
16. , 8gh 5 _ 4g
2h2 _ Bg
3h 3
y
6 x2 _ 3S yx
4 _ 28
y
4
- 2-2x
19. a + a
a 6 _ 7a 5 _ 5a 4
4m
S
rf> _ 6m
4r5 _ 16mS,-J
a2b2c6 _ a3bSc2 + a
7 b
3 c
x2 _ x2y2 _ x y
3 + x y
4
2xyz - 2xy
6a + 36a
6
- t
+t
a +p
- ,^ 2ab^
6 _ '2ab
5
- x y9z
12 + x yaz
+ xSyazTo
i a
3
a
4
29 ' 2 - 2-
30. 3a + 12a _ 21a
b b
2 b
1
2 2 3 3
- li +.E'L + ~b
2ab 2ac 2a e
e'
e'
--
5 lO
e'
15
a
1 b
l a]h
1 a
1 b
z
- _ +_, __,
m
20 mio m
- 2O+1""O-s
- _ p2q + 2 pq
36.3{a-2)-a (a -2 )
37. a (x + 4 ) + b (x + 4 ) + e (x + 4)
- x (z2 + a2) + 2 (z2 + a2)
39. m (a -e ) + a-c
- m {a-e ) -a+c
- a (x
2
- 2a - b + 3a (2a - b)
- a+ax+ax
- c{3-Sc) - 2d {3- 5c)
i+c
2
_i+¿ _a2_e
- 2b 2q
4&. 3x (2x- y) -2x + y
- (a +b)(a+e)-(a+b)(a+dl
- (1 +a) (x_y)_{x_y)
- (a
2
+ 6 ) (a
2
+ b ) + a (a
2
+ b)
- ( 2+a+d~-d+a+a+ d~-~
- x2 + y2 + z2 + 2a (x
2
52.a fu+~+bfu+x)+cfu+~
53 ~a - .i. ab - ~abc
. 15 S 25
- m (x+y-z)- n (x+y-z)- p (x +y-z)
ss. 1.^ a^
2 b _ 2- a
2 b
2 _ '!a
2 b
3
4 , 8
1 1 2 2
~-x -y
ÁJgebr.J en /os numeros reales 31
1. m (m + 3) 22. a^
2 b
2 c
2 (c
4 _ ab
+ aSb) 37. (x + 4) (a + b + e)
2. a (a + b) 23.^ x'(1^ -^ y'_y3+Y')^ 38.^ (x^ +^ 2)^ (z2^ +^ (^
2 )
,
- 3a(1^ - 4b)^ 24.^ 2xy(z-1)^ 39.^ (a^ -e)^ (m +^ 1)
4·
ab(ab + a
b
5 ) 40.^ (a-e)^ (m-^ l )
5. pq (2q - 3p) 26.^ p{t^
+t
+1) (^) 41. (x
2
+ y2 + z2) (a - 1)
6x 2 y4 (y _ 2 y
2 _ 3x)
- 12ab
S
(b-1) 42. (1 + 3a)(2a - b)
7.2a(b + c+d) 28. x
5 y
8 z 6 (xyzÚ + x + z 4) 43. a (1 + x + x2)
- 13x'y' (2Y' - x
- (3 - Se) (e - 2d)
- xy (xy - 1) 29.^ a'^ (1-a^ -a2)^ 45. (a' +e
)(_1 - ~-1)
2b 2q
- 7a
(3a-2 + 8a
- (2x - y) (3x - 1)
11. a (1 + a + a
3a(lt~_1.) 47. (a+ b) (e-d)
- 3ab^ (a^ -^ 2a
2 _ 4b
2 )
b b b'
- (x _ y)(l +a-x+y)
pq(pq+2.+
P1q
13· 5m(3 n -^ 2)^ 31.
- (a
2
+ b) (a
2
+ 6 + a)
- 2q(1 + q + qS)
2a b e be
- (2^ +^ a^ +^ c)^ (a^ - e^ +^ b - d)
- 5qS (2 - 6p - 3pq) 32.
- (x
2
+ y2 + zl) (1 + 2a)
~)(C2_~_+ )
- 2gh' (9h
a
2
b
2
(1+ab_...!....)
- (btx )(atb+d
7y (y x
2 _ 5x^4 _ 4 y
3) 33.^
¡.; x X2 (^) 53. -'-^ a^ (J...^ _^ 2 b^ _^ 8be)
2 (1 - x)
54. (x + y - z)(m - n - p)
m
5
(m" m
5
)
a (1 + a)
- (^) - - -t--
- ~alb (J... _ b _ J...b
a
4 (a
2 _ 7a_5) 35. pq (-p + 2q)
lm
r
(2 m,J - 3r
2
- 8m)
- (,^ -^ 2)(3-a)^ 56. (x
1
+
y )U , - 1)
1.h.t. -ravtOI'" c.oMlÍn c.oMpv~to
Muchas veces, no todos los términos de una expresión algebraica
contienen un factor común, pero haciendo una adecuada agrupación
de ellos podemos encontrar factores comunes de cada grupo. Veremos,
con ejemplos, cómo procederemos en estos casos.
1. Factoricemos: ac + ad + bc + bd
Si observamos, vemos que el primer y el segundo término tienen el
factor común "a" y el tercer y el cuarto término tienen "b" como factor
común. Asociamos y factorizamos por parte:
ac + ad + be + bd = (ae + ad) + (be + bd)
= a(c + d ) + b(c + d)
32 Álgebra mios números I'CJles
I
,
a1x2 + b2x2 + c2x2 + a2 / + b2y2 + c
2 y
23. 12ac-6ad^ -^ 2bc+bd
24. aq^ -^ ar+bq-br
u+au -v -av -w- aw
- 2ax^ -^ 2ay^ -^ bx^ +^ by
3am2 _ 3at
2 _ Sb
2 m
**2
2 t
2
x - y+ 2ax- 2ay + 3bx -3by
- (a + b)(c+ d) 2. (a + b + c)(x - y)
- (p + q)(c+ d) 4. (r - s) (t + v)
- (0+ b )(2e - d)
6. (x-y)(u- v)
- (2a-3b)(u+v)
8. (3a' + b')(x + y)
9. (20+ lb)(e - d)
- (1 +a) (x + y) 11. (2+x)(a-b)
12. (1 +4y) (1 + Sz)
j 3. (a' + b' )(e' + d')
1 14,
(x' - y')(la - 2b)
- l1 +a) (1 + b)
- (x'y' _ 2) (a' + b' )
- (abe-xy)(1 -2z)
- p'^ +^ P'q2^ +^ P'''^ +^ 'P'q^ +^ ''1'^ +^ ,""^ +^ p'c+^ q2c+^ é
a>( -bx-cx + 2ay-2by -2L)'- az + bz +cz
a2u _ a2v + b2u _ b
2 v + u - v
- 4-2a^ -^ 2b+2x^ -^ ~-~+2y-~-~
x2y 2w1_ x2 y2 z2 _ xyw 2 + xyz
ax + 2bx + 3cx - ay - 2by - 3cy
35. 2ax^ +^ 2bx^ -^ ay^ -^ by^ -^ az^ -^ bz
18. (b + 2e) (d -
19. (x - 2y + 4z)(p + 2q)
20. (2 +a + b) (2 + e + d) 21. (x' + y2 _ 1) (a' + y' - b) 22. (xl + y2) (a2 + b
+ e
- (63 - b) (2e - d)
H. (O' b) (q - r)
23. (u-v-w){ l +a)
- (2a - b) (x - y)
- (1 + 2a + lb) (x - y)
29. (p2 + 2q + r) (p2 + q2 + r
10. (x + 2y -z) (a - b -e)
11. (a
**2
1
+ 1) (u - v)
12. (2 + x +y) (2 -a-b)
.33. xy (xy -1) (w' - z')
- (0+ 2b + le) (x - y)
- (2x - y - z) (0+ b)
NOTA,
Los ejercicios señalados con • son posibles de fadorizar aún más con los métodos
que ve remos a continuación.
1 .".3 Difa"UtC-ia c:k- vuad~
Recordemos que el producto de una suma de dos términos por
su diferencia es igual a la diferencia de l os cuadrados de ambos
términos.
Aplicamos este resultado en la s factorizaciones sigu ientes:
34 Álgebra en los números reales
- Factoricemos a
2 _ b
2
Observamos que a
2 y b
2 son los cuadrados de a y b,
respectivamente.
Así: a
2
2
= (a + b) (a - b)
- Factoricemos 9m
2
9m
2
es el cuadrado de 3m y 16 p2 es el cuadrado de 4p.
Entonces: 9m
2
_16p2:= (3m + 4p) (3m - 4p)
Factoricemos J.... _ 25
2
a
2
4b
Usando el mismo razonamiento anterior vemos que la expresión se
factoriza: J.... _ l2.. = (J.... + ~ ) (J.... _ 2.. )
al 4b
a 2b a 2b
Factoricemos 6a
2 _ 24m
4
En este ejemplo podemos factorizar primero por 6 (factor común
monomio).
6a
_ 24m
4
= 6 (a
2 _ 4m
4 )
y aho ra, el término (a
2
4 ) es exactamente una diferencia de
cuadrados y por lo tanto la factorización correspondiente es:
6a
l _ 24m
4 = 6 (a
2 _ 4m
4 )
= 6 (a - 2m2) (a + 2m2)
- Observación: No es importante el orden en que uno presente los
factores, puesto que la multiplicación es conmutativa, es decir:
(a. b)(a-b) = (a-b)(a +b)
a2bZ _ cld l^
xla _ y2h
Factorice l as siguientes
1 _ x 10
ml <ln 2b _ 1
exp resi ones:
_ b6 + a 4
- 25n
16 _16m
4
xl _y
- (^) - 1 + a
2
- 40 - 90a
4
- a2 _^ 4bl
- aS^ _a^
3
24. _ 24m2^ +^ 54n^12
- 9m
2 _16n
l
- 8a^
4 _ 2b
l
m6n4p 12 _ a2blcZ
- 9al
_ 25
p
2 15. p'qJ _ q 26. 2x2 _ 8y2z
x2 _ Q, y
(^2) 16. 49a2b4cú_121múnl
a1O_1OOb
JO
6.^10001
_ 64b
6
- , 2a
6
8
- 144b
1O -121c
6
m2nl _ pl
- 45m
b _ 80pB (^) 29. 81c
4 _ 9d
4
m4nb _ z
- 27x
4
2
j,lgebr.I en /05 números reales 35
Definición: Llamamos trinomio ordenado (según el grado) a
una expresión de la forma ax
2
- bx + c, donde a, b, c, y x
representan números reale s.
En general, los trinomios pueden proceder:
- de la multiplicación de un binomio por sí mismo (o un cuadrado
de binomio); por ejemplo:
(a + 7)2 = a
+ 14a + 49
- de la multiplicación de dos binomios con un término común;
por ejemplo:
(a + 2) (a + 6) = a
+ 8a + 12
- o de la multiplicac ión de dos binomios de términos semejantes:
(2x + 1) (x + 2) = 2x
Con estas consideraciones, resolvamos los ejercic ios presen tados
a continuación:
1. Factoricemos x2 + lOx + 25
Observamos que el primer término (x
) y el último (25) son los
cuadrados de x y 5, respec tivamente, y además el término central
(10x) corresponde al doble del producto de x y 5; entonces la
ex presión es un cuadrado de binomio y así:
x2 + 10x + 25 =( x +5)
- Fa ctoricemos a
Usando el mismo razonamiento anterio r, observam os qu e el trinomio
corr es ponde al cuadrado del binomio (a - 4) Y escribimos:
a2 _ 8a + 16 = (a _ 4}
El signo del término central del trinomio indica el signo que corresponde
al segundo término del binomio.
l. Factoricemos y2 + 13 y + 36
Aquí ve mos que tanto el primer térmi no como el tercero correspond en
a cuadrados exactos (de "y" y de 6, respectivamente ), pero el término
central (13y) no corresponde al doble del producto entre "y" y 6 (es
decir, a 12y ); en este caso, el trinomio puede corresponder al producto
de dos binomios con un término común, que se r ía "y".
Buscamos entonces dos números cuyo producto sea igual a 36 (el
Álgebra en los números reales 37
r
último término del binomio) y el producto del térm ino común
(y) por la suma de estos números sea igual al término central
(13y). los números son + 9 Y + 4.
En efecto: + 9 • + 4 = 36 Y 9 + 4 = 13
Eptonces: y2 + , 3y + 36 = (y + 9) (y + 4).
Facloricemos a
2
Descartamos la posibilidad de cuadrado de binomio pues el último
término (-48) no es cuadrado de ningún número.
Buscamos dos números cuyo producto sea - 48, Y cuya "suma"
sea - 2, la que al multiplicarla por el término común "a" nos
da el término cenlral -2a.
Los números son -8 y + 6 Y la fadorización correspondiente es:
a
2
-2a- 48 = (a - 8) (a + 6).
5. Fa ctoricemos xl - 5x + 6
No es cuadrado de binomio por la misma razón anterior (el + 6
no es cuadrado de un número entero). Corresponde entonces
al producto de dos binomios con un término común, que en
este caso es x. Buscamos dos números cuyo producto sea +
6 Y cuya suma sea -5.
los números son - 2 Y - 3. Por lo tanto, la factorización
correspondiente es:
x2 -5x + 6 = (x-2) (x-3 ).
- Factoricemos la expresión 2x
En este ejemplo, ni siquiera el primer término es cuadrado exacto
de un término entero.
Amplifiquemos por el coeficiente de x2 (e n este caso, por 2)
para obtener un primer término como en los ejemplos anteriores,
es decir, un cuadrado exacto.
2X2-3X-
4x
2 6x 4
2
Podemos aplicar al numerador el razonamiento de los ejemplos
anteriores (porque el primer término ya es un cuadrado exacto)
y entonces trataremos de factorizar como producto de dos
binomios con un término común que en este cas o es 2x.
Bu sca mos dos números que multiplicados sean igual a - 4 Y
cuya suma sea igual a - 3 (pues al mul tiplicar la suma por el
término común 2x se debe obtener - 6x).
los números son - 4 Y 1 Y así, la factorización de la expre-
sión amplificada es:
4x
L
6 x- 4 (2x -4 )(2x+l)
38 Álgebra en Io5llúmerus reales
r
- 2x
**2
+13a+
34. 9m^
4 _
30 m2p 2 + 25
p
46.^ 2x
+Sx-3 59. 12a
-23a + 5
9m2 -^30 mp2^ +^ 2S^ p^
3xl + 14x + 8 60. 8a
- 2a -
"
- 3x
+1 1 x- 4 61. 5x
**- 26x + 5
4
6x
-13x+S ,^ 8a
a
2
~ +ab+b
2
- 2xl + 15x + 28 63. a
4
+ 5a
**3
2
- 7x
- 8x + 1 64. x
3 -3x
l -40x
- a
2
- 23a + 132
6x
+5x-4 x
4 _3x
- a
2 -3a-
- 8x
l -2x - l (^) 66. 2a
**3
**2
41. a
4 + 5a
l + 6
- 5x
-18x+9 67. m
3 _
m
2
- 30 m
- 4x l -22x + JO
- 2x^
+ 3x - 14 (^) 68. n
**4
2 _
- 9x2 -^ 9x^ -^28 56. Ja
2
- 7a + 2 69. p4^ +^ 2p2^ +^1
- 25x^
2
- , 5x + 2 57. 5a
+ 3a - 2 70.
p3_ p
2_p+l
- (x + 7)' 2. (X+ 4)2 3. (a + 9)' 4. (a - 3 )2 5. (y - 12 )2 6. (x + 5 )' 7. (t-1)2 8. (z + 8)1 9.(x - l1 )1 10 .(a- 6 )2 11.{1 +3a)2 12.(2x+5)
- (3x -I)' 14. (a - 2b)' 15. (y+ 3x )' 16. (2' + 3)' 17. (2x+ 3y)'
- (3x - 5y)' 19.( x+7y )2 20. (x' + 1)' 21.(x+3)(x+2) 22.( x+3)(x-2)
- (x - 3) (x + 2) 24. (x - 3) (x - 2) 25. (a - 9) (a< 4) 26. (a + 6) (a - 5) 27. (a + 7) (a +' ) 28. (y - 7) (y + 8) 29. (x
3)2 30. (2 + 5y2,)2 31. (x2 + yl)
(.' - 2b ')' 37. (a+tY 38.(~ +by 39.( a - 12)(a - 11) 40.( a+ 5)(a-8)
(a' + 2) (.' + 3) 42. 2(2x - 5) (x - 3) 43. (3x + 4) (3x - 7) 44. (5x - 1) (5x - 2) 45. (2x + 1) (x + 2) 49. (3x - 5)(2x-1) 53. (4x+l)(2x-1)
(5a - 2)(.. 1)
(2x- l )(x + 3)
50. (2x + 7) (x + 4)
(5x -3)(x-3)
(2a + 3) (3a + 2)
(3x + 2) (x + 4)
51.( 7x - l )( x-l)
55. (2x + 7) (x-2)
- (3a - 5)(4a - 1)
48. (3x- l ) (x + 4)
52. (3x + 4) (2x -1)
56.(3.- 1 )(a-2)
- (2a - 3) (4a + 5)
- (x - 5)( 5x -1) 62. 2(3a - 2) (3' - 1) 63. a'(a + 2) (a< 3) 64. x(x + 5) (x - 8)
- (x - 1) (,. 1) (x' - 2) 66. 2.(a + 1) (a + 2) 67. m(m - 6) (m + 5)
- (n -1)(n + l)(n
40 j,lgelNa en los números reales
los factores de una diferencia de cubos so n:
_y> ~ (x-y) (x
2
Los factores de una suma de cubos son:
1. Factoricemos a
3
Observa mos que a
es el cub o de a y que 8 es el cubo de 2. Se
trata de una diferencia de cubos, por lo ta nto:
a
3
2
+ 2a + 4)
1 Factoricemos x
3
El término x
es el cubo de x y 27 es el cubo de 3. Aquí
tenemos un a suma de cubos y por [o tanto:
x
3
+ 27 = (x + 3) (x
2
1 Factoricemos
El primer término es el cubo de 3a y el segundo término es
el cubo de 5b, entonces escribimos:
27a
3
3 = (3a - 5b) (9a
2
2 )
4. Factoricemos a
6 _ b
6
Aquí tenemos primero una diferencia de cuadrado s, la cual
fa ctorizamos como una suma por su diferencia. luego, cada
uno de lo s factores co rrespo nde a una su ma o diferencia de
cubos. Procedamos por paso s:
a
6 _ b
ó = (a
3
+ b
(a3 _ b
= (a + b) (a
2
) (a - b) (a
+ ab + b
y ésa es la fac torizaci6n requerida.
Factoricemos las siguientes expresiones:
m6 _ n^
4. t
l _ 64 v
3
- 1 -125a
2. x3^ +^ p3^ 5. 27 x
+ yl
3. a3 _ 8^ b
- 8m
(^3) n'
B
I I
]"+"
16 x
_
y
216a
_27 b
,
z y'
I
125 --
..'
Álgebra en los mímems reales 41
