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Potencias y Radicales
Potencias de exponente natural
Sea a^ ∈R~ { } 0 n ∈N Definimos a a ..... ...... a n (n = ⋅ ⋅ Ejemplo: 3 4 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 , ( − 2 )^5 =(− 2 )(− 2 )(− 2 )(− 2 )(− 2 )=− 32 Propiedades:
a n^ ⋅ am=an+m 2) (a n^ )m =an⋅m
a n^ ⋅ bn=(ab)n 4) (^) m nm
n a a
a (^) = −
n n
n b
a b
a (^) ⎟ ⎠
= ⎛ Por convenio: 6) a 0 = 1
Potencias de exponente negativo
Sea a ∈R~0 n ∈N. Definimos n n a a − =^1
Ejemplo: 811 3
4
Propiedades: Sea a ∈R~0 n, m∈Z, se cumplen las mismas propiedades (1), (2), (3), (4), (5).
Radical
Definimos raíz n-ésima del valor a n^ a = b ⇔ bn=a. El valor n se llama índice. El valor a se llama radicando. Si el índice es 2 la raíz se llama raíz cuadrada y se representa por
Ejemplo: 16 = 4 porque 4 2 = 16 (^5 32) = 2 porque 2 5 = 32 (^3) − 125 =− 5 porque ( − 5 ) (^3) =− 125
Número de raíces de un radicando:
Si el radicando es positivo y el índice par, existen dos soluciones reales opuestas: Si el radicando es negativo y el índice par, no existe ninguna raíz real. Ejemplo: 25 = ± 5 4 16 = ± 2 − 25 ∉R 4 − 16 ∉R
Nota: La calculadora calcula la raíz positiva de los radicales de exponente par. El resto del tema, si no decimos lo contrario, consideraremos también la raíz positiva.
Si el índice es impar, existe una solución real del mismo signo que el radicando. Ejemplo: (^3 64) = 4 5 243 = 3 3 − 64 =− 4 5 − 243 =− 3
Uso de la calculadora.
Para efectuar potencias y radicales con calculadora se utilizan, respectivamente, les teclas
Ejemplos: Para efectuar 5 4 en la calculadora se escribe: (^5) x y 4 = El resultado es: 625 Para efectuar 5 −^4 , en la calculadora se escribe: (^5) x y 4 ± = El resultado es: (^1). 6 −^03 Es decir: 5 −^4 = 0 , 0016
Para efectuar 5 32 , en la calculadora se escribe: (^32) x^1 y 5 = El resultado es: 2
Para efectuar 4 2 3 , en la calculadora se escribe: (^2) x y ( 3 : 4 ) = El resultado es: 1. O bien (^2) x y (^3) x^1 y 4 = El resultado es: 1.
Propiedades de los radicales:
(1) n^ a ⋅b=na⋅nb
(2) (^) n
n n b
a b
a (^) =
(3) n^ a m^ =(n a)m
(4) n m^ a =n⋅ma
(5) n^ a m^ =n^ ⋅p^ am⋅p
Expresión potencial de un radical.
Definimos n n^ m
m
a = a tal que m ∈ Z,n∈Z~{ 0 }.
Ejemplo: 5
7 (^5 3 7) = 3 7 3 7 53 5
x y x^1 y
El ejercicio anterior sirvirá para comparar y ordenar radicales, así como para multiplicar y dividir radicales.
Ejemplo: Ordenar de menor a mayor 5 15 , 3 5 , 15 3475 (^5 15) = 15 153 = (^153375) , 3 5 = 15 55 = (^153125) , 15 3475
Por lo tanto, 3 5 < 5 15 < 15 3475
Multiplicación y división de radicales
Para multiplicar o dividir radicales, se reducen los radicales a índice común y después se aplica la propiedad (1) o (2).
Ejemplo: 5 ⋅^3 7 =^6 53 ⋅^6 72 =^6 53 ⋅ 72 =^66125
12 12 2
12 3 6
4 9
Radicales semejantes
Radicales semejantes son aquellos que después de simplificarlos tienen el mismo índice y radicando.
Ejemplo: 75 , 27 son semejantes ya que sacando factores fuera de ambos radicales tenemos: 75 = 52 ⋅ 3 = 5 3 27 = 32 ⋅ 3 = 3 3
Suma y resta de radicales semejantes
Para sumar o restar radicales semejantes, se simplifican y se extraen factores fuera de los radicales respectivos. A continuación se suman o restan los coeficientes respectivos y se multiplica el resultado por el radical común (propiedad distributiva de los números reales).
Ejemplo: (^3 40) − (^3320) =^3 23 ⋅ 5 −^3 43 ⋅ 5 = 2 ⋅ (^35) − 4 ⋅ (^55) =− 2 ⋅ (^35)
5 27 + 6 75 = 5 32 ⋅ 3 + 6 52 ⋅ 3 = 5 ⋅ 3 3 + 6 ⋅ 5 3 = 45 3
Racionalización de fracciones
Dada una fracción racionalizarla es encontrar una fracción equivalente tal que el denominador sea un número natural.
Estudiaremos 2 casos:
1.- Cuando el denominador es de la forma n^ am , donde m<n. Para racionalizar la fracción, multiplicaremos numerador y denominador por n^ a n−m
Ejemplo:
Racionalizar 5
Multiplicamos numerador y denominador por 5
= 5
Ejemplo:
Racionalizar (^5 ) 7
Multiplicamos numerador y denominador por 5 72
5 3 = 7
5 5
5 2 5 2
5 2 5 3
⋅ = ⋅ =^ ⋅
2.- El denominador es suma o diferencia de dos radicales cuadráticos
Para racionalizar la fracción, multiplicaremos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador (es decir, el denominador cambiando suma por diferencia o viceversa).
Ejemplo:
Racionalizar 5 3
Multiplicamos numerador y denominador por 5 + 3
= 5 − 3
4. Con la ayuda de la calculadora comprueba los resultados del ejercicio anterior.
5. Con la ayuda de la calculadora calcula las siguientes raíces:
a) 3 333 = b) 4 554 = c) 234 = d) 5 − 245 = e) 6 654 = f) − 457 =
6. Escribe en forma de potencia:
a) 3 5 = b) 7 = c) 3 45 = d) 7 23 =
e) = 3
(^1) f) = 35
g) 3 = 2
(^1) h) = (^5 )
y) 3 2 = j) 5 3^4 = m) 5 510 = l) 74 =
7. Escribe en forma de radical:
a) 4 =
3 7 b) 3 =
1 2
c) 4 =
1 8 d) 2
5 5
e) =
− 3
2 5 f) =
− 2
3 6
g) =
− 4
9 7 h) =
− 2
1 10
8. Extrae los factores posibles de los siguientes radicales:
a) 1200 = b) 504 = c) 3 135 = d) 4 1875 = e) 6 15625 = f) 3 1715 =
g) 12527 = h) 387516 =
y) 45 a 3 b^6 = j) 3 16 a^7 b^5 =
k) 4 =
5 125 b
16 a (^) l) 4 = 6
4 5 c
32 a b
9. Introduce factores dentro del radical y simplifica:
a) 3 3 = b) 7 ⋅ 3 49 = c) 4 ⋅ 5 25 = d) 3 33 = e) a 3 a= f) 4 a⋅ 5 a^3 = g) 7 a ⋅ 3 25 = h) a^2 ⋅ 32 a=
y) 32 272 = j) 5 a^3625 a =
k) 5 a^20 a= l) 2 3 2 = 3 y
x 3 x
2 y
10. Simplifica las siguientes raíces:
a) 6 3 8 = b) 14 77 = c) 5 a^10 = d) 15 a^12 = e) 30 a^10 = f) 50 820 = g) 25 5 5 = h) 12 320 = y) 20 a^12 = j) 20 86 =
11. Reduce a índice común las siguientes raíces.
a) 5 , 3 3 b) 7 , 4 5 c) 4 5 , 6 10 d) 7 , 4 10 , 8 20
e) 3 , 4 5 , 6 10
f) 3 a , 5 a^2 , 15 a^7 g) a 3 , 15 a 2 , 3 a , 5 a^2
12. Sin utilizar la calculadora ordena de menor a mayor los siguientes números reales:
a) 14 , 3 52 b) 3 25 , 4 74 , 12 390624 c) 3 5 , 3 , 4 7 , 6 30 d) 3 15 , 8 , 4 500 , 8 1000
17. Racionaliza las siguientes fracciones:
a) = 5
(^3) b) − = 5 2
c) 3 = 2
(^3) d) = (^5 )
e) 4 3 = 5
(^1) f) = ⋅
g) = 5 − 2
(^3) h) = 3 + 7
y) = 5 − 7
(^6) j) 7 4
k) = 3 − 10
(^1) l) = 3 − 2
