¡Descarga Probabilidad y Estadística: Ejercicios Resueltos de Probabilidad Condicionada y más Ejercicios en PDF de Estadística solo en Docsity!
EXEMPLO RESOLTO 1.
Nun concello, a metade dos delitos son contra a propiedade, o 75% débense ao tráfico de
drogas e 1/ 3 dos delitos son contra a propiedade e debidos á droga. Que posibilidades hai de
que un delito calquera:
a) Teña algunha desas causas
b) Non teña ningunha desas causas
c) Non acontezan ambos á vez
d) Sexa de tráfico de drogas pero non contra a propiedade
e) Sexa contra a propiedade pero non de tráfico de drogas
f) Son independentes cometer delitos contra a propiedade e estar motivados polo
tráfico de drogas? E incompatibles?
No enunciado presentan as probabilidades de que se cometan delitos motivados pola drogodependencia
e contra a propiedade. Chamando D=”droga” e C=”contra a propiedade” temos que:
a) No primeiro apartado piden que posibilidades hai de que un delito teña algunha desas causas, é dicir,
estea motivado por unha ou por outra causa, é dicir, DUC. Empregando as propiedades consecuencia
da definición de probabilidade:
É dicir, nun 91,67% teñen algunha desas causas
b) No segundo apartado piden a posibilidade de que non teña ningunha desas causas, é dicir non sexa
cometido nin por droga nin contra a propiedade:
Que pode obterse como (en base ás Leis de Morgan)
Ademais, tendo en conta as propiedades da probabilidade (suceso contrario)
Como a probabilidade da unión estaba calculada no primeiro apartado, substituíndo, se chega a que:
É dicir, un 8,33% dos delitos non teñen esas causas.
c) Solicitan que as dúas causas non podan darse simultaneamente. Para darse ao mesmo tempo tería
que ser debido ás drogas e contra a propiedade, é dicir, 𝐷 ∩ 𝐶. Pero indican que iso non pode
acontecer, que equivale a negalo, ou sexa, o contrario ou complementario: 𝐷 ∩ 𝐶
. En resume, piden
Aplicando as propiedades da probabilidade (suceso contrario ou complementario):
] = 1 − 0 , 3333 = 0 , 6667
Sen máis que substituír o dato do enunciado, e nun 66,67% das ocasións non se dan
simultaneamente as dúas causas.
d) Piden que sexa motivado polo tráfico de drogas pero non sexa contra a propiedade, é dicir, que
sexa motivado polo tráfico de drogas e non sexa contra a propiedade: 𝐷 ∩ 𝐶
É dicir, un 41,67% das veces.
e) Co mesmo razoamento que no apartado anterior,
Un 16,67% das ocasións.
f) Para que C e D sexan independentes ten que verificarse que:
Substituíndo os datos do enunciado, cada membro da igualdade da:
Como son distintos, entón non son independentes.
Doutra banda para que sexan incompatibles ten que cumprise que 𝑃(𝐷 ∩ 𝐶) = 0. Como esta
probabilidade é 0,3333 (enunciado) non son incompatibles.
EXEMPLO RESOLTO 2.
Nunha cidade hai tres zonas: centro, media e aforas. Nesas áreas localízanse respectivamente
o 50 ,30 e 20% das vivendas da poboación. Na zona centro, cométense o 30% do furtos en
domicilios, na media o 40% e na periferia o 50%. Determinar:
a) Que porcentaxe de furtos en domicilios se cometen na cidade?
b) Recibiuse unha alerta dun furto nunha videnda, que posibilidade ten de estar
producido nas aforas?
c) En que zona pensas que debe haber máis patrullas nas rúas para poder atender a
chamadas por furtos?
No enunciado presentan as probabilidades de dous tipos de sucesos, os correspondentes á zona onde
vive a poboación e os relativos aos furtos. Denominaremos C=”vivir na zona centro”, M=”vivir na zona
media”, A=”vivir nas aforas” e F=”cometerse un furto”.
Os primeiros datos amosan as posibilidades (probabilidade) de vivir en cada zona ou que haxa vivendas
nesas zonas:
P(C)= 0,5 P(M)=0,3 P(A)=0,
Esta representación permite obter as probabilidades das interseccións dos dous tipos de sucesos sen máis
que multiplicar as ramas:
Ou
E as probabilidades finais de furto como:
a) Piden a probabilidade de que se cometa un furto, é dicir, P(F). Como este suceso está condicionado
pola zona de residencia, aplicando a expresión das probabilidades totais:
P(F)=P(C)P(F/C)+P(M)P(F/M)+P(A)*P(F/A)
Es substituíndo os datos:
P(F)=0,50,3+0,30,4+0,2*0,5=0,37.
Nun 37% das veces cométense furtos en domicilios na cidade. Tamén se pode resolver empregando o
gráfico segundo se indicou anteriormente.
b) Neste apartado solicitan unha probabilidade condicionada. “Tendo sido cometido un furto...”,
“sabendo que ten sido cometido un furto...”, “se se cometeu un furto...” que posibilidade hai de que
teña sido producido nas afóras. É dicir:
P(A/F).
Como a probabilidade que piden é unha condiciona oposta ás do enunciado, pódese ter en conta que
segundo a definición de probabilidade condicionada (aplicada dúas veces):
E substituír os datos do enunciado e do apartado anterior, resultando:
Outra opción é aplicar a expresión de Bayes directamente:
Que conduce a:
E así, nun 27,03% das ocasións, de recibirse unha chamada dun furto, estarase a producir na zona das
aforas.
Tamén se pode resolver empregando o gráfico segundo se indicou anteriormente a partir da primeira
expresión dada
c) Será máis conveniente ter máis patrullas naquelas zonas nas que de producirse un furto, sexa máis
probable que aconteza nelas, é dicir, naquela zona que sexa maior:
P(C/F) P(M/F) P(A/F)
Repetindo a mecánica do apartado anterior, se chega a que:
P(C/F)=0,1216 P(M/F)=0,3243 P(A/F)=0,
Co que, de producirse un furto, o máis probable é que estea a acontecer na zona media e tendo máis
patrullas nela, atenderase mellor.
Isto é unha opción para enfocalo aínda que non a única. Outra perspectiva podería ser acudir as
probabilidades P(F/C)=0,3, P(F/M)=0,4 e P(F/A)=0,5 que amosan as posibilidades de furtos en cada zona.
Sen embargo esta opción non ten en conta cantas vivendas existen en cada zona. Débese ter en conta,
que a orde das dúas solucións non é a mesma. A primeira amosa C<A<M mentres que a segunda sería
C<M<A.
