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EJERCICIOS SOBRE EXTENSIONES DE LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR
Muy Importante: antes de hacer estos ejercicios te debes haber leído con
mucho interés la teoría correspondiente a este tema
- Aprende a hallar y analizar la decisión de un consumidor oferente de
trabajo
- Las preferencias de Homer Simpson vienen dadas por:
1 1
U = F q^23
q es la cantidad de bien de consumo y F es el número de horas de ocio en el bar de
Mou. Se pide:
a) Calcular la función de demanda de ocio, la función de demanda del bien de
consumo y la función de oferta de trabajo.
b) Obtener la cesta óptima y el número de horas que Homer decidirá trabajar si
el salario hora que percibe, w, es 5 $, el precio del bien de consumo, p, es 10 $ y no
tiene rentas no salariales, Yns son 0. Se supone que H o tiempo total disponible es
24h. Ilustrar gráficamente.
c) Obtener la cesta óptima y el número de horas que Homer decidirá trabajar si
le toca la lotería y obtiene 1000 $. Ilustrar gráficamente.
d) ¿Por encima de qué salario hora Homer, tras tocarle la lotería, optará por
trabajar?
Solución:
a) Siempre que la función de utilidad cumpla todos los supuestos (en este
ejemplo, como es Cobb-Douglas, es así), el procedimiento siempre es:
er paso: En el equilibrio, se cumple la ley de igualdad de las utilidades
marginales ponderadas:
F
q
U w
U p
Así que, a partir de la función de utilidad que tiene Homer, se calcula la utilidad
marginal del ocio F:
1 1
2 3
U F F q
−
la utilidad marginal del bien Q:
1 2
2 3
U q F q
−
= y se sustituyen en la ley de igualdad
de las utilidades marginales ponderadas
1 1 2 3
1 2
2 3 Para dividir potencias de la misma base, se pone la misma base y se restan exponentes
F
q
F q
U w w q w
U p p F p
F q
−
−
y se despeja F
1 :
pq
F
w
do paso: La cesta óptima debe estar justo en la recta presupuestaria (RP).
Luego, se sustituye lo obtenido al final del primer paso en la RP:
( ) Función de demanda marshalliana del bien Q
ns ns ns
ns
pq pq RP wH Y wF pq wH Y w pq wH Y w
wH Y q p
er paso: Se vuelve a la expresión final del primer paso y se sustituye la
función de demanda marshalliana que se acaba de obtener:
1 Se puede despejar q o F.
c) De nuevo, basta sustituir los nuevos datos en las funciones de demanda
marshalliana para obtener la nueva cesta óptima:
(^3) ( ) 3 5( 24 1000 )
* 134.4 h
wH Y ns
F F
w
+ × +
×
Esto no tiene ningún sentido: lo que sucede es que, como consecuencia de un
aumento de la renta no salarial, la RP se ha trasladado paralelamente hacia arriba, y
como consecuencia, Homer elige como mejor opción la solución esquina. Las
funciones de demanda marshallianas sólo nos dan la solución interior óptima (son
resultado de aplicar Lagrange). La solución esquina consiste en dedicar todo el
tiempo disponible a ocio F=24. Por tanto, al no haber renta salarial, la cantidad
óptima de viene de consumo q* tiene que ser la renta no salarial, en este caso 1000,
dividida por el precio del bien Q, en este caso 10, es decir, 100 u.
d) El resultado anterior se debe a que Homer tras haberle tocado la lotería
tiene un salario hora inferior al salario de espera w
e
. Este salario de espera se
calcula igualando la función de oferta de trabajo a 0:
q
F
(14.4, 4.8)
24
(24, 100)
ns^ e^ e ns
e
wH Y L w H Y w w
w
= → − = → − × = →
Un salario hora de 5$ está por debajo del salario de espera y la opción óptima
de Homer es no trabajar. Si le ofrecieran un salario hora superior al salario de
espera la decisión óptima de Homer sería trabajar.
- Lisa Simpson acabará sus estudios de medicina y, dadas sus buenas
calificaciones, puede optar por entrar a trabajar en el hospital de Springfield o como
investigadora junto al Profesor Frink. En el hospital le ofrecen un salario a la hora
de 15 $ y aparte 180 $ más. Como investigadora le ofrecen 18 euros a la hora.
Conocida su función de utilidad
1 2 3 3 U = F q
donde q es el consumo de bienes y F es el número de horas de ocio. Si el precio del
bien de consumo es 10 $, averiguar dónde elegirá trabajar Lisa.
Solución:
Lo primero de todo es hallar las funciones de demanda marshallianas que nos
proporcionan la cesta óptima para cada nivel de renta salarial, no salarial y precios.
Siempre que la función de utilidad cumpla todos los supuestos (en este ejemplo,
como es Cobb-Douglas, es así), el procedimiento siempre es:
er paso: En el equilibrio, se cumple la ley de igualdad de las utilidades
marginales ponderadas:
F
q
U w
U p
Así que, a partir de la función de utilidad que tiene Homer, se calcula la utilidad
marginal del ocio F:
* 12 h
Hospital wH^ Yns
F F
w
+ × +
×
(^2) ( ) 2 15( 24 180 )
* 36 u
Hospital wH^ Y ns
q q
p
+ × +
×
Y, por tanto,
( )
1 2
U Hospital = 12 36^3 3 =24.
Para valorar cuál es la utilidad que le proporcionará a Lisa trabajar como
investigadora, hallamos la cesta óptima sustituyendo los datos del problema
referidos a esta situación y después basta con sustituir esta cesta óptima en la
función de utilidad:
* 8 h
Investigadora wH^ Yns
F F
w
+ ×
×
(^2) ( ) 2 18( 24 )
* 28.8 u
Investigadora wH^ Y ns
q q
p
+ ×
×
( )
1 2 3 3
U Investigadora = 8 28.8 =18.
Como U(Hospital)>U(investigadora), Lisa elegirá trabajar en el hospital. De
hecho, sin haber calculado el nivel de utilidad, se sabe que la cesta (12,36) es
preferida (y por tanto lleva asociada un mayor nivel de utilidad) a la cesta (8,28.8)
debido al supuesto de insaciabilidad (siempre se prefiere más, que menos y en este
caso Lisa optando por el hospital disfruta de más ocio y de más cantidad de bien de
consumo)
- La función de oferta de trabajo de Disco Stu es
wH Y ns
L
w
= , donde H ,
Y (^) ns y w son las horas totales disponibles, renta no salarial y salario hora,
respectivamente. Sabiendo que Yns =60 $, p=20 $ y w=20 $
a) Determinar las expresiones de las funciones de demanda de ocio F y de
consumo q.
b) Hallar la cesta óptima. Ilustrar gráficamente.
c) Calcular el salario de espera de Disco Stu
d) Si aumenta el salario, ¿aumentará Disco Stu su demanda de ocio o la
disminuirá? Justificar la respuesta en base a la ecuación de Slutsky
Solución:
a) A partir de la función de oferta de trabajo se puede obtener la función de
demanda de ocio como:
wH Y ns wH Yns
F H L H
w w
Como además, las cestas óptimas, deben estar situadas en la RP:
( ) F. de demanda del bien Q
ns ns ns
ns (^) ns ns
wH Y RP wH Y wF pq wH Y w pq w
wH Y (^) wH Y wH Y pq q p
b)
wH Y ns
F h
w
+ × × + ×
×
wH Y ns q u p
+ × +
×
q
F
(18, 9)
24
La frontera entre la decisión de trabajar o abandonar el mercado laboral por el
consumidor la establece el salario espera. Para ello hay que hallar la curva de oferta
de trabajo del consumidor.
er paso: En el equilibrio, se cumple la ley de igualdad de las utilidades
marginales ponderadas:
F
q
U w
U p
Así que, a partir de la función de utilidad que tiene Homer, se calcula la utilidad
marginal del ocio F:
U (^) F = 2 F q ( + (^5) )
la utilidad marginal del bien Q:
2
U q = F y se sustituyen en la ley de igualdad de las
utilidades marginales ponderadas
( ) ( ) ( )
2
F
q
U w F q^ w q^ w p q
F
U p F p F p w
do paso: La cesta óptima debe estar justo en la recta presupuestaria (RP).
Luego, se sustituye lo obtenido al final del primer paso en la RP:
( )
Función de demanda marshalliana del bien Q
ns ns
ns ns
ns
p q RP wH Y wF pq wH Y w pq w
wH Y pq p pq wH Y pq p
wH Y p q p
er paso: Se vuelve a la expresión final del primer paso y se sustituye la
función de demanda marshalliana que se acaba de obtener:
( )
( )
F. de demanda de ocio F 3
ns ns
ns
wH Y p wH Y p p p p p q (^) p p F w w w
wH Y p
w
(^2) ( 5 ) 2 10 = F. oferta de trabajo 3 3
wH Y ns p (^) wH Yns p L H F H w w
De forma que el salario espera es aquel we que hace L=0.
ns^ e ns
e e
wH Y p L w H Y p w
w w
− × − × = → =
Un impuesto sobre la renta salarial se plasma en lenguaje analítico de la
siguiente forma:
1 0
w = w (1 − τ)donde w
0 es el salario hora sin impuesto, w
1 es el salario hora
tras el impuesto y τ es el impuesto sobre la renta salarial. Luego el impuesto
máximo que podría imponer Joe Quimby a Duffman sin que éste dejase de trabajar
es aquel que dejase a Duffman al borde del salario espera:
0 (1 ) 27.5 40(1 ) 31.25%
e w = w − τ → = − τ → τ=
- La función de demanda de ocio de Smithers es ( )
2 F = H w − w + Y ns ,
donde H , Y (^) ns y w son las horas totales disponibles, renta no salarial y salario hora,
respectivamente. w^ es el salario medio. Determina cómo afecta una subida de
salario en la demanda de ocio de Smithers y explica lo que sucede apoyándote en la
ecuación de Slutsky
Solución:
d) Suponga que sube el tipo de interés ¿cambiaría su situación inicial de
prestatario? Razone su respuesta apoyándose en los signos de los efectos
sustitución y renta.
e) Obtener el tipo de interés de tal forma que el consumidor decide no ser ni
prestamista ni prestatario.
Solución:
a) Siempre que la función de utilidad cumpla todos los supuestos (en este
ejemplo, como es Cobb-Douglas, es así), el procedimiento siempre es:
er paso: En el equilibrio, se cumple la ley de igualdad de las utilidades
marginales ponderadas:
0
1
C
C
U
r
U
Así que, a partir de la función de utilidad que tiene Ned, se calcula la utilidad
marginal del consumo en el periodo 0 o periodo presente:
0
1 1
2 2 0 1
U C C C
−
la utilidad marginal del consumo en el periodo 1 o periodo futuro: 1
1 1 2 2 0 1
U C C C
−
= y
se sustituyen en la ley de igualdad de las utilidades marginales ponderadas
0
1
1 1 2 2 0 1 1 1 1
2 2 Para dividir potencias^0 0 1 de la misma base, se pone la misma base y se restan exponentes
C
C
C C
U C
r r r
U C
C C
−
−
y se despeja C1 (Se puede despejar C 0 o C 1 ):
C 1 (^) = (^) ( 1 + r C ) 0
do paso: La cesta óptima debe estar justo en la recta presupuestaria (RP).
Luego, se sustituye lo obtenido al final del primer paso en la RP:
1 1 (^ )^00 0 0 0 0 0 0 0
Función de demanda marshalliana del consumo en el periodo 0 o periodo presente
Y C r C V RP Y C V C V C C r r r
er paso: Se vuelve a la expresión final del primer paso y se sustituye la
función de demanda marshalliana que se acaba de obtener:
( ) ( )
0 1 1 1 0 1 1 1 2 2
F. de demanda marshalliana del consumo en el periodo 1 o periodo futuro
V V
C = + r C → C = + r → C =
o paso: Asociada a la función de consumo del periodo 0 o periodo presente,
está la función de ahorro:
( )
( )
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0
Función marshalliana de ahorro 2 2 1
Y
Y
V (^) r Y Y S Y C Y Y r
Y Y
S
r
b) La ventaja de las funciones de demanda es que informan de la elección
óptima del consumidor. Así que basta sustituir los datos en estas expresiones para
obtener la cesta óptima
1 0 0 0 0
Y
Y
V (^) r C C
1 (^ )^0 1 1
V^ r Y^ Y C C
+ + × +
Para saber si es prestamista o prestatario, se calcula el ahorro óptimo:
prestatario o cambiará su situación a prestamista o se situará en el punto D donde ni
presta ni pide prestado. Gráficamente:
Al subir r, la RP se mueve en el sentido de las agujas del reloj ya que cambia la
pendiente (pero recuerda que siempre pasa por el punto D). E
1 se sitúa a la
izquierda de E
0 , pero puede ser a la izquierda de D (tal y como está dibujado), en D
o entre D y E
0
e) Hay que hallar un tipo de interés r
tal que S 0 =
0 1 0 0 0 1 1 0 10000 1^12000 2 2 1
Y Y
S Y r Y r r
r
- Montgomery Burns, a pesar de los años que tiene, se preocupa tanto por su
presente como por su futuro. Su función de utilidad
1/3 1/ U = Co C 1. Burns tiene una
renta presente 150.000 $ y su renta futura se estima que será unos 55000 $.
Obtener:
C (^1)
C (^0)
E
0
x
D
E
1
a) Las funciones de demanda marshalliana del consumo presente y futuro junto
con la función de ahorro.
b) Hallar el tipo de interés real a partir del cual Burns decide ser prestamista.
c) Si Burns es prestamista, ¿cómo cambiará su consumo presente si baja el
tipo de interés? Ilustrar gráficamente.
Solución:
a) Siempre que la función de utilidad cumpla todos los supuestos (en este
ejemplo, como es Cobb-Douglas, es así), el procedimiento siempre es:
er paso: En el equilibrio, se cumple la ley de igualdad de las utilidades
marginales ponderadas:
0
1
C
C
U
r
U
Así que, a partir de la función de utilidad que tiene Ned, se calcula la utilidad
marginal del consumo en el periodo 0 o periodo presente:
0
2 1
3 2 0 1
U C C C
−
la utilidad marginal del consumo en el periodo 1 o periodo futuro: 1
1 1 3 2 0 1
U C C C
−
= y
se sustituyen en la ley de igualdad de las utilidades marginales ponderadas
0
1
2 1
3 2 0 1 1 1 1
3 2 Para dividir potencias^0 0 1 de la misma base, se pone la misma base y se restan exponentes
C
C
C C
U C
r r r
U C
C C
−
−
y se despeja C1 (Se puede despejar C 0 o C 1 ):
( ) (^0)
1
r C
C
c) Al bajar el tipo de interés, significa que los rendimientos del ahorro de Burns
(prestamista) se reducen. Bajaría su capacidad adquisitiva cae y por tanto, también
bajará su consumo presente. Por otro lado, vía efecto sustitución, el consumo
presente aumenta porque al bajar el tipo de interés el consumo presente se ha
abaratado. Ambas fuerzas van en sentido contrario, luego el efecto sobre el
consumo presente es ambiguo.
Gráficamente:
Al bajar r, la RP se mueve en el sentido contrario de las agujas del reloj ya que
cambia la pendiente (pero recuerda que siempre pasa por el punto D). En el gráfico
que se ha dibujado
1 se ha supuesto que el efecto sustitución es mayor que el efecto
renta, de modo que el consumo presente sube, y además sube tanto que Burns
pasa de ser prestamista a ser prestatario.
- El jardinero Willie tiene una función de consumo intertemporal
U=C0C12. La renta de Willie en el presente es 12000$ y su renta en el futuro se
desconoce. Determinar la renta y el consumo óptimo en el futuro de Willie
suponiendo que el tipo de interés vigente en Springfield es del 3% y que el consumo
presente óptimo es 5941.75.
Solución:
1 Se podría haber dibujado otro gráfico en el que el consumo presente disminuya.
C (^1)
C (^0)
E
0
x
D
E
1
Lo primero que hay que hallar son las funciones de demanda marshallianas.
Siempre que la función de utilidad cumpla todos los supuestos (en este ejemplo,
como es Cobb-Douglas, es así), el procedimiento siempre es:
er paso: En el equilibrio, se cumple la ley de igualdad de las utilidades
marginales ponderadas:
0
1
C
C
U
r
U
Así que, a partir de la función de utilidad que tiene Ned, se calcula la utilidad
marginal del consumo en el periodo 0 o periodo presente:
0
2
U C = C 1
la utilidad marginal del consumo en el periodo 1 o periodo futuro: 1 0 1
U C = 2 C C y
se sustituyen en la ley de igualdad de las utilidades marginales ponderadas
0
1
2 1 1
0 1 Para dividir potencias 0 de la misma base, se pone la misma base y se restan exponentes
C
C
U C C
r r r
U C C C
y se despeja C1 (Se puede despejar C 0 o C 1 ):
C 1 (^) = 2 1 ( + r C ) 0
do paso: La cesta óptima debe estar justo en la recta presupuestaria (RP).
Luego, se sustituye lo obtenido al final del primer paso en la RP:
( )
( )
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Función de demanda marshalliana del consumo en el periodo 0 o periodo presente
Y C r C V RP Y C V C V C C r r r
