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Cap´ıtulo 5
Distribuciones notables discretas y
continuas
Objetivos espec´ıficos
Al finalizar este cap´ıtulo, deber´as ser capaz de:
Identificar modelos para resolver problemas concretos. Aplicar las relaciones entre variables aleatorias. Trabajar correctamente con el proceso de Poisson.
5.1. Principales distribuciones discretas
Sea (Ω, ℘(Ω), P ) un espacio de probabilidad y A un suceso de Ω tal que P (A) = p, 0 ≤ p ≤ 1. Denotaremos como “´exito” la ocurrencia del suceso A y como “fracaso” la ocurrencia de Ac^ (es decir, la no ocurrencia de A).
(i) Bernoulli (Ber(p)) Definimos la v.a.:
X =
1 , si sucede A, 0 , si sucede Ac.
As´ı P (X = 1) = p y P (X = 0) = 1 − p = q. Adem´as E(X) = p y V ar(X) = p·q. (ii) Binomial (Bin(n, p)) Realizamos el experimento anterior n veces de forma independiente, y definimos la v.a.: X = “N´umero de ´exitos obtenidos en las n realizaciones”, que puede tomar los valores k = 0, 1 ,... , n, con las probabilidades (ver Figura 5.1):
P (X = k) =
n k
·pk·(1 − p)n−k.
Adem´as E(X) = n·p, V ar(X) = n·p·q.
49
50 Cap´ıtulo 5. Distribuciones notables discretas y continuas
Función de probabilidad de una Binomial con n=20 y p=0.
0
0,
0,
0,
0,
0,
(^0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10) x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
P(X=x)
Función de probabilidad de una distribución Binomial con n=20 y p=0.
0
0,
0,
0,
0,
0,
(^0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10) x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
P(X=x)
Función de probabilidad de una Binomial con n=20 y p=0.
0
0,
0,
0,
0,
0,
(^0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10) x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
P(X=x)
Figura 5.1: Funciones de probabilidad de varias distribuciones binomiales: n = 20 y p = 0.2 (arriba), n = 20 y p = 0.5 (centro) y n = 20 y p = 0.8 (abajo).
(iii) Poisson (P(λ)) Consideremos un experimento en el que observamos la aparici´on de sucesos puntuales a lo largo del tiempo, entendiendo el tiempo en sentido amplio. Se define la v.a.
X = “N´umero de ocurrencias en un intervalo de tiempo de longitud fija”,
que puede tomar los valores k = 0, 1 , 2 ,... , con las probabilidades (ver Figura 5.2):
P (X = k) =
e−λ·λk k!
Adem´as E(X) = λ, V ar(X) = λ. La distribuci´on de Poisson aparece como l´ımite de la distribuci´on binomial cuando n → ∞ y p → 0, pero np = λ permanece constante.
(iv) Geom´etrica (Geom(p)) Realizamos sucesivas veces el experimento de forma independiente hasta que obtenemos el primer ´exito, y definimos la v.a.:
X = “N´umero de fracasos hasta obtener el primer ´exito”,
52 Cap´ıtulo 5. Distribuciones notables discretas y continuas
Función de probabilidad de una distribución Geométrica de p=0.
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1
(^0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15) x 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
P(X=x)
Función de probabilidad de una distribución Geométrica de p=0.
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1
(^0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15) x 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
P(X=x)
Función de probabilidad de una distribución Geométrica de p=0.
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1
(^0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15) x 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
P(X=x)
Figura 5.3: Funciones de probabilidad de varias distribuciones geom´etricas: p = 0.1 (arriba), p = 0.5 (centro) y p = 0.9 (abajo).
Realizamos sucesivas veces el experimento de forma independiente hasta obtener n ´exitos y defini- mos la v.a.: X = “N´umero de fracasos antes del n-´esimo ´exito”, que puede tomar los valores k = 0, 1 , 2 ,... , con las probabilidades (ver Figura 5.4):
P (X = k) =
n + k − 1 k
·pn·(1 − p)k.
Adem´as E(X) = n·(1 p− p)y V ar(X) = n·(1 p− 2 p). Observaci´on: Existe una relaci´on entre la distribuci´on binomial negativa y la distribuci´on binomial: sea X=“n´umero de fracasos hasta el n-´esimo ´exito”, X ∼ BN (n, p), X = 0, 1 , 2 ,... Si X = r, hay r fracasos y n ´exitos, luego se ha realizado el experimento n + r veces y:
P (X = r) =
n + r − 1 r
·pn·(1 − p)r.
Si defino la v.a. Y =“n´umero de ´exitos en las n + r realizaciones”, Y ∼ Bin(n + r, p) y se cumple que: P (X ≤ r) = P (Y ≥ n) = 1 − P (Y < n),
5.1. Principales distribuciones discretas 53
Función de probabilidad de una distribución Binomial Negativa n=5, p=0.
0
0,
0,
0,
0,
0,
(^024681012141618202224262830323436384042) x 444648505254565860626466687072747678808284
P(X=x)
Función de probabilidad de una distribución Binomial Negativa n=5, p=0.
0
0,
0,
0,
0,
0,
(^0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19) x 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
P(X=x)
Función de probabilidad de una distribución Binomial Negativa n=5, p=0.
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
(^0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19) x 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
P(X=x)
Figura 5.4: Funciones de probabilidad de varias distribuciones binomiales negativas: n = 5 y p = 0.1 (arriba), n = 5 y p = 0.5 (centro) y n = 5 y p = 0.9 (abajo).
y por tanto se tiene la siguiente relaci´on entre las funciones de distribuci´on de X e Y : FBN (n,p)(r) = 1 − FBin(n+r,p)(n − 1).
(vi) Hipergeom´etrica (H(N, D, n)) Supongamos que tenemos una poblaci´on de N individuos de los cuales D tienen cierta caracter´ıstica de inter´es (D ≤ N ). Se extrae una muestra de n individuos (sin reemplazamiento) y definimos la v.a.: X = “N´umero de individuos en la muestra que poseen la caracter´ıstica de inter´es”, que puede tomar los valores k = m´ax{ 0 , n + D − N }, 1 ,... , m´ın{D, n}, con las probabilidades:
P (X = k) =
N − D
n − k
D
k
N
n
Adem´as E(X) = nN·D y V ar(X) = n·p·(1− Np −)· 1 ( N^ −n)donde p = DN es la proporci´on de individuos en la poblaci´on que tienen la caracter´ıstica de inter´es.
5.3. Reproductividad de variables aleatorias 55
(v) Chi-cuadrado (χ^2 n ) Si X 1 ,... , Xn son v.a.i.i.d. N (0, 1), entonces, la v.a.:
χ^2 n = X 12 + · · · + X n^2 ,
sigue una distribuci´on Chi-cuadrado con n grados de libertad. Su funci´on de densidad es:
f (x) =
2
) n 2 ·e−^ x 2 ·x n 2 − 1
Γ(n/2)
, si x ≥ 0 ,
0 , en otro caso.
Observar que la distribuci´on chi-cuadrado es un caso particular de distribuci´on gamma, es decir, χ^2 n = γ( n 2 , 12 ), luego E(χ^2 n) = n, V ar(χ^2 n) = 2·n. La distribuci´on Chi-cuadrado va a tener mucha importancia en la inferencia estad´ıstica.
5.3. Reproductividad de variables aleatorias
Si dos v.a.i. X 1 y X 2 tienen funciones de distribuci´on del mismo tipo, F (x 1 ; θ 1 ) y F (x 2 ; θ 2 ), con θ 1 y θ 2 los par´ametros, y la suma X 1 + X 2 tiene funci´on de distribuci´on del mismo tipo F (x; θ) con θ = θ 1 + θ 2 como par´ametro, entonces la distribuci´on F se llama reproductiva con respecto a θ. Entre otras se cumple que:
(i) Si X 1 ∼ Bin(n 1 , p) y X 2 ∼ Bin(n 2 , p) y son independientes, entonces X 1 + X 2 ∼ Bin(n 1 + n 2 , p).
- Caso particular: Si X 1 ,... , Xn ∼ Ber(p) y son independientes, entonces X 1 + · · · + Xn ∼ Bin(n, p).
(ii) Si X 1 ∼ P(λ 1 ) y X 2 ∼ P(λ 2 ) y son independientes, entonces X 1 + X 2 ∼ P(λ 1 + λ 2 ).
(iii) Si X 1 ∼ BN (n 1 , p) y X 2 ∼ BN (n 2 , p) y son independientes, entonces X 1 + X 2 ∼ BN (n 1 + n 2 , p).
- Caso particular: Si X 1 ,... , Xn ∼ Geom(p) y son independientes, entonces X 1 +· · ·+Xn ∼ BN (n, p).
(iv) Si X 1 ∼ χ^2 n y X 2 ∼ χ^2 m y son independientes, entonces X 1 + X 2 ∼ χ^2 n+m.
(v) Si X 1 ∼ γ(p 1 , λ) y X 2 ∼ γ(p 2 , λ) y son independientes, entonces X 1 + X 2 ∼ γ(p 1 + p 2 , λ).
- Caso particular: Si X 1 ,... , Xn ∼ Exp(λ) y son independientes, entonces X 1 + · · · + Xn ∼ γ(n, λ).
(vi) Si X 1 ∼ N (μ 1 , σ 12 ) y X 2 ∼ N (μ 2 , σ^22 ) y son independientes, entonces X 1 +X 2 ∼ N (μ 1 +μ 2 , σ 12 +σ^22 ).
5.4. Proceso de Poisson
Definimos la v.a.d.:
X[0,t) = “N´umero de ocurrencias en el intervalo [0, t)”,
y denotamos con pn(t) = P [X[0,t) = n], n = 0, 1 , 2 ,... , la probabilidad de que haya exactamente n ocurrencias en el intervalo [0, t).
56 Cap´ıtulo 5. Distribuciones notables discretas y continuas
Figura 5.5: Proceso de Poisson X[0,t)=“N´umero de ocurrencias en el intervalo [0, t)”.
Se imponen las siguientes hip´otesis:
(i) Si t 1 < t 2 < t 3 < t 4 , las variables X[t 1 ,t 2 ) y X[t 3 ,t 4 ) son independientes. Es decir, en intervalos de tiempo no solapados hay independencia del n´umero de ocurrencias.
(ii) X[0,t) y X[t 1 ,t 1 +t), con t 1 > 0, tienen la misma distribuci´on. Es decir, la distribuci´on depende de la amplitud del intervalo y no de d´onde est´e situado.
(iii) p 1 (∆t) ≈ λ·∆t, con λ > 0. Es decir, en intervalos de tiempo suficientemente peque˜nos, la probabi- lidad de obtener exactamente una ocurrencia es proporcional a la amplitud del intervalo.
(iv) La probabilidad de obtener dos o m´as ocurrencias en un intervalo suficientemente peque˜no es despreciable, es decir,
k=2 pk(∆t)^ ≈^ 0. (v) X[0,0) = 0. Es una condici´on inicial: en t = 0 no ha habido ninguna ocurrencia.
Trabajando con estas hip´otesis se plantea un sistema de ecuaciones diferenciales, que resolvi´endolo da lugar a que:
pn(t) = e−λ·t(λ·t)n n! , n = 0, 1 , 2 ,... ,
y por tanto, X[0,t) sigue una distribuci´on de Poisson de par´ametro λ·t. A λ se le llama tasa de ocurrencia por unidad de tiempo o tasa instant´anea. El tiempo hay que entenderlo en sentido amplio, pudiendo ser tiempo real o, por ejemplo, una distancia, superficie, etc.
5.5. Relaci´on entre el proceso de Poisson y la variable exponencial
La variable aleatoria exponencial aparece al considerar en el proceso de Poisson la v.a.c.:
Y = “Tiempo transcurrido entre dos ocurrencias consecutivas”,
que toma valores en los reales positivos. As´ı, si calculamos P (Y > y):
P (Y > y) = p[ cero ocurrencias en [0, y)] = p 0 (y) = e−λ·y,
y por tanto, F (y) = 1 − e−λ·y, luego Y sigue una distribuci´on exponencial de par´ametro λ.
5.6. Relaci´on entre el proceso de Poisson y la variable gamma
La variable aleatoria gamma aparece al considerar en el proceso de Poisson la v.a.c.:
Y = “Tiempo transcurrido hasta la r-´esima ocurrencia”,
58 Cap´ıtulo 5. Distribuciones notables discretas y continuas
(2) En el caso de la normal bidimensional, independencia e incorrelaci´on son conceptos equivalentes, es decir: f (x, y) = fX (x)·fY (y) ⇔ ρ = 0.
(3) Las distribuciones condicionales son las siguientes:
- X|Y = y sigue una distribuci´on N (μX + ρ· σ σXY ·(y − μY ), σ^2 X ·(1 − ρ^2 )).
- Y |X = x sigue una distribuci´on N (μY + ρ· σ σYX ·(x − μX ), σ^2 Y ·(1 − ρ^2 )).
5.9. Ejercicios 59
5.9. Ejercicios
- Supongamos que la probabilidad de tener un hijo var´on es 0.6. Halla la probabilidad de que en una familia con ocho hijos seleccionada aleatoriamente:
a) Haya cinco varones. b) Haya al menos cinco varones. c) Todos sean del mismo sexo.
- Una f´abrica produce diariamente 10 recipientes de vidrio. Se puede suponer que hay una probabili- dad p=0.1 de producir uno defectuoso. Antes de que estos dep´ositos se almacenen son inspeccionados y los defectuosos se ponen aparte. Supongamos que hay una probabilidad constante r=0.1 de que un recipiente defectuoso sea mal clasificado. Sea X igual al n´umero de recipientes clasificados como defectuosos al t´ermino de un d´ıa de producci´on (suponemos que todos los recipientes que se fabrican en un d´ıa se inspeccionan ese d´ıa).
a) Calcula P (X = 3) y P (X > 3). b) Obt´en una expresi´on para P (X = k).
- Si X tiene una distribuci´on de Poisson de par´ametro λ > 0. Si P (X = 0) = 0.2, calcula la P (X > 2).
- La probabilidad de que una m´aquina fabrique piezas defectuosas es p = 10−^4. Anualmente la m´aquina produce 20.000 piezas. Calcula la probabilidad de que en un a˜no se produzcan:
a) Cero piezas defectuosas. b) M´as de dos piezas defectuosas.
- Las tarjetas de un circuito impreso se env´ıan a una prueba de funcionamiento despu´es de que est´an montados todos los chips. Un lote tiene 140 tarjetas y contiene 20 defectuosas. Calcula cu´al es la probabilidad de que tomando 20 encontremos una defectuosa en la muestra si:
a) Las 20 las tomamos sin reemplazo b) Las 20 las tomamos con reemplazo
- Una f´abrica que construye aut´omatas ha vendido 10 a un cliente. La probabilidad de fallo de cada aut´omata es de 0.01. Si cada uno se vende a 90 euros, pero se tiene el compromiso de devolver 60·x^2 euros si aparecen x aut´omatas con fallo, ¿cu´al es el beneficio esperado?
- Como la probabilidad de que una persona que ha comprado un billete de avi´on no se presente es de 0.01, las compa˜n´ıas a´ereas venden billetes de m´as. Si para un avi´on de 120 plazas se venden 125 billetes, calcula:
a) La probabilidad de que se presenten las 125 personas. b) La probabilidad de que el avi´on se quede vac´ıo. c) La probabilidad de que se presenten exactamente 120 personas. d ) La probabilidad de que alg´un pasajero se quede en tierra.
- En una f´abrica el n´umero de fallos en el sistema de producci´on sigue una ley Poisson de par´ametro λ=2 fallos por semana. Calcula:
a) La probabilidad de que en una semana haya alg´un fallo. b) La probabilidad de que haya cuatro fallos en el transcurso de dos semanas.
5.9. Ejercicios 61
a) Calcula la probabilidad de que una bombona dure m´as de 220 horas. b) ¿Qu´e duraci´on puede garantizarse con el 20 % del riesgo? c) Sabiendo que la bombona ha durado m´as de 160 horas, ¿qu´e probabilidad existe de que de cuatro bombonas, dos al menos duren entre 180 y 220 h.? d ) Se dispone de 25 bombonas que se usan una a continuaci´on de la otra. ¿Cu´al es la probabilidad de que con las 25 bombonas podamos asegurar m´as de 5200 h. de funcionamiento?
- Un fabricante de tubos sabe que el tiempo de fallo de su producto es un v.a. con distribuci´on exponencial de esperanza 39257 horas. El coste de fabricaci´on e instalaci´on de estos tubos es de 300 euros y los garantiza por un a˜no (8760 horas) de tal forma que atiende una ´unica y primera aver´ıa. Tales aver´ıas son de dos tipos: normales, que le suponen un costo de reparaci´on de 30 euros; y catastr´oficas, que le suponen la instalaci´on de un nuevo tubo. Por experiencia sabe que el 90 % de las aver´ıas son normales y el restante 10 % catastr´oficas. Si quiere obtener un beneficio medio del 20 %, ¿cu´al ha de ser el precio de venta del tubo?
- Un fabricante de televisores garantiza sus tubos de imagen durante 4 a˜nos y ha vendido a una tienda de electrodom´esticos 4 aparatos de T.V. Si el tiempo para que falle uno de sus tubos de imagen es una variable aleatoria con funci´on de densidad:
f (x) =
· exp
[
x 5
]
, si x > 0 0 , en otro caso
y si los fallos de dichos tubos ocurren independientemente unos de otros, calcula la probabilidad de que, durante el periodo de garant´ıa:
a) Fallen los cuatro tubos de imagen. b) Fallen al menos dos tubos de imagen.
- En un sistema de transmisi´on de datos se ha de transmitir un car´acter formado por los cinco s´ımbolos 1, 0, 1, 1, 0. En el detector receptor, el s´ımbolo 1 aparece como una tensi´on de 4 voltios; y el s´ımbolo 0, como una tensi´on de 0 voltios. Superpuesta a dicha tensi´on V , de 0 ´o de 4 v., hay un ruido gaussiano de media cero y σ^2 = 2. Debido a la presencia de ese ruido, se decide establecer que cuando la tensi´on en detector sea V > 2v., el s´ımbolo transmitido ser´a un 1; y que cuando V < 2v., el s´ımbolo sea 0. Halla la probabilidad de cometer error al transmitir el car´acter formado por los cinco d´ıgitos.
- Un barrio debe ser iluminado con N = 5000 tubos fluorescentes, calcul´andose que cada tubo debe estar encendido 4000 horas/a˜no. Cuando un tubo falle se sustituir´a por otro; la sustituci´on se considera inmediata. Se tienen dos ofertas para instalar la iluminaci´on:
A: Tubos a un coste de 3 euros, con una vida media de 10^4 horas. B: Tubos a un coste de 6 euros y vida media 20000 horas.
La duraci´on de cada tubo se considera exponencial. El coste de mano de obra de la sustituci´on de cada tubo puede evaluarse en 1.50 euros/sustituci´on. Confecciona el presupuesto (excepto gasto de energ´ıa, com´un para ambos) para un a˜no de iluminaci´on, y elige el considerado m´as econ´omico.
- La potencia de una se˜nal que llega a un sistema receptor tiene una distribuci´on normal de media 1 w. y desviaci´on t´ıpica 4 w. Por otra parte, ese sistema receptor emplea un transductor cuya m´axima potencia admitida sin deteriorarse sigue una distribuci´on normal de media 6 w. y desviaci´on 3 w. Encuentra la probabilidad de que el sistema se deteriore.
62 Cap´ıtulo 5. Distribuciones notables discretas y continuas
- Un circuito est´a constituido por un amplificador sumador de ganancia 10, seguido de un discri- minador de ventana (que da una salida 1 si la se˜nal a su entrada, VE , est´a comprendida entre VA < VE < VB , y 0 si est´a fuera de ese margen). A la entrada se aplican dos tensiones X e Y con distribuciones normales de medias 0 y 1 v., respectivamente, y con E[X^2 ] = 2 y E[Y 2 ] = 4. Calcula:
a) La funci´on de densidad de la tensi´on a la salida del amplificador. b) La distribuci´on de la tensi´on a la salida del circuito de ventana, con VA = −2, VB = 8.
- En una cadena de montaje de autom´oviles hay un contador de coches mal pintados. Cuando ese contador llega a 8, se para la producci´on y se revisa el n´umero de coches pintados hasta el momento; sea esta variable aleatoria X. El proceso cuando est´a bien ajustado es tal que de cada 200 coches 1 est´a mal pintado.
a) Calcular la probabilidad de que X sea 233. b) Si X es menor que su media menos 2 veces su desviaci´on t´ıpica el proceso se considera de- sajustado y hay que reponer piezas. ¿Cu´al es la probabilidad de que el proceso se considere desajustado cuando no lo est´a? c) Si hay dos cadenas de pintura ajustadas, y cada una de ellas tiene un contador de autom´oviles mal pintados, ¿qu´e probabilidad hay de que entre las 2 cadenas haya 3000 coches bien pintados cuando en cada una de las cadenas ha habido 8 coches mal pintados?
- La comunidad ind´ıgena de los “Toti-tlhecosh” tiene un sistema de comunicaci´on mediante se˜nales de humo. Sus mensajes constan de N bocanadas de humo, que pueden ser cortas o largas (son equivalentes a “0” y “1”). De entre sus mensajes hay dos de alarma: el que tiene N − 1 unos y 1 cero, y el que consta de N − 1 ceros y 1 uno. Una fr´ıa ma˜nana de invierno un ni˜no de la tribu, que todav´ıa no conoce el lenguaje del humo y que est´a tratando de protegerse del fr´ıo, comienza a emitir mensajes, cada uno de N s´ımbolos. Los emite al azar, es decir, emite “1” y “0” con la misma probabilidad. Sea la variable aleatoria Y =“N´umero de mensajes (de N s´ımbolos) hasta que provoca la alarma”
a) Encuentra para N = 4 y N =8, la probabilidad exacta de que Y se encuentre a menos de 2 desviaciones t´ıpicas de su media. b) Compara la respuesta con la cota dada por la desigualdad de Chebyshev.
- Una industria se dedica a la producci´on de cierto aparato el´ectrico. Estos aparatos constan de N componentes que son suministrados por dos fabricantes distintos A y B. Los componentes de la marca A son m´as caras pero de mejor calidad que los de la marca B de modo que cuando al menos dos componentes del aparato no son de la marca A, ´este resulta defectuoso. Un operario novato, que ignora esta peculiaridad, coloca los componentes al azar cuando la mitad de los suministros son de la clase A y la mitad de la clase B. Sea la variable aleatoria Y = “N´umero de aparatos (de N componentes) fabricados hasta que se produce uno defectuoso”
a) Determina la distribuci´on de probabilidad de la v.a. Y. Calcular para N = 7 su esperanza y su varianza. b) Para N = 7 encuentra P (|Y − μ| ≤ 2 ·σ) c) Compara este resultado con el que se obtiene utilizando la desigualdad de Chebyshev.
- Una m´aquina realiza una operaci´on de mecanizado con una frecuencia constante de 4 piezas/minuto. La m´aquina trabaja con una defectuosidad p=0.01 (probabilidad de pieza defectuosa = 0.01). Las defectuosas fabricadas en un turno de 8 horas son separadas para su posterior reparaci´on. Esta reparaci´on la realiza un operario que invierte en cada pieza un tiempo constante de 20 minutos.
64 Cap´ıtulo 5. Distribuciones notables discretas y continuas
normal de media 9 y varianza 0.2 y con la m´aquina 2 seg´un una normal de media 9.2 y varianza 0.1. Las especificaciones dicen que para que la pieza sea correcta, su longitud debe estar entre 8 y 10 cm. a) ¿Cu´al es el porcentaje de piezas defectuosas fabricadas por la m´aquina 1? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que las piezas fabricadas por la m´aquina 2 sean m´as grandes que las fabricadas por la m´aquina 1? c) Las piezas fabricadas por la m´aquina 1 se empaquetan en cajas de 10 unidades. ¿Cu´al es la probabilidad de que en una de esas cajas no aparezca ninguna defectuosa?
- El tel´efono m´ovil de mi hermano funciona con una bater´ıa de litio cuya duraci´on puede considerarse exponencial con una vida media de 90 horas. Cuando la bater´ıa se descarga, mi hermano lo conecta a la red para recargarlo y, por simplificar, supondremos que la recarga es instant´anea.
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la duraci´on de la bater´ıa sea superior a la duraci´on media? b) Si ha estado funcionando con la bater´ıa durante 25 horas, ¿cu´al es la probabilidad de que funcione 30 horas m´as sin tener que recargarla? c) ¿Cu´antas veces, en promedio, va a tener que cargar mi hermano su m´ovil en un mes de 30 d´ıas suponiendo que tiene conectado el m´ovil durante 20 horas al d´ıa?
- Se sabe que X se distribuye como una variable aleatoria normal de media μ y varianza σ^2 y que P (X < 21) = P (X > 29) = 1 − 0 .9772. Calcular μ y σ.
- Una compa˜n´ıa empaqueta sus copas de cristal en cajas de media docena. Sup´on que el 10 % de las copas que fabrica tiene defectos:
a) ¿Qu´e proporci´on de cajas contendr´an ´unicamente una copa con defectos? b) ¿Qu´e proporci´on de cajas contendr´an al menos tres copas con defectos? c) Si se env´ıan 500 cajas a una tienda, ¿qu´e probabilidad hay de que haya m´as de 10 cajas con 3 copas o m´as con defectos?
- La distancia entre dos veh´ıculos en la carretera sigue una distribuci´on exponencial de media 200 metros.
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que en un tramo de 1 km haya exactamente 5 coches? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que en un tramo de 1 km haya m´as de 5 coches?
- La cantidad X de producto que se introduce en un paquete se puede suponer que sigue una dis- tribuci´on normal de media 100 gramos y de desviaci´on t´ıpica 8 gramos. El peso del paquete vac´ıo es otra variable Y que sigue una distribuci´on normal de media 10 gramos y de desviaci´on t´ıpica 5 gramos.
a) ¿Cu´al es la distribuci´on de la variable “peso de los paquetes llenos”? Justifica tu respuesta b) ¿Qu´e proporci´on de paquetes pesan m´as de 90 gramos?
- Supongamos que una clase contiene 12 chicos y 15 chicas y que se selecciona al azar y sin reposici´on a 8 estudiantes de la clase. Sean las variables: X = “n´umero de chicos seleccionados” e Y = “n´umero de chicas seleccionadas”. Determina la distribuci´on de X e Y , y la esperanza de Z = X + Y. ¿Qu´e tipo de variable es Z?
- Sean las variables: X = “Peso de una caja”, normal de media 2 y varianza 25; Y = “Peso de tres cajas”, normal de media 6 y varianza 75. Entonces, ¿es cierto que la distribuci´on y par´ametros de la variable Y , coincide con la de la variable 3X? Razona tu respuesta.
5.9. Ejercicios 65
- La producci´on diaria de lavadoras en una planta de producci´on de Balay es de 50 lavadoras al d´ıa y por experiencia se sabe que la probabilidad de fabricar una lavadora defectuosa es constante e igual a 0.01. Sea la variable X = “n´umero de lavadoras defectuosas fabricadas por d´ıa”. Se pide:
a) La distribuci´on de la variable X, as´ı como su esperanza y su varianza. b) Sup´on que en un mes se trabajan 20 d´ıas. Expresa la variable Y = “n´umero de lavadoras defectuosas fabricadas en un mes” en funci´on de las lavadoras defectuosas fabricadas cada d´ıa y da su distribuci´on. c) Calcula la probabilidad de que se fabriquen como m´aximo 10 lavadoras defectuosas en un mes.
- El n´umero de coches que pasan por delante del Campus se puede considerar distribuido seg´un una variable aleatoria de Poisson con un promedio de 2 coches por minuto. El n´umero de autobuses que pasan por ese mismo sitio se distribuye tambi´en seg´un otra variable aleatoria de Poisson, independiente de la anterior, de media 1 autob´us cada 10 minutos.
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el primer autob´us pase antes de 7 minutos? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que si llevo esperando 6 minutos al autob´us, tenga que esperar al menos 7 minutos m´as hasta que este autob´us llegue? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que pasen m´as de 100 veh´ıculos (coches o autobuses) en el trans- curso de una hora?
- Una compa˜n´ıa bananera conoce por experiencia que el peso de las cajas de pl´atanos que vende se distribuye seg´un una ley normal con una desviaci´on t´ıpica de 6 kg.:
a) Si se sabe que un 1 % de las cajas pesa menos de 100 kg., calcular el peso medio de las cajas. b) El administrador de un zoo quiere comprar 320 kg. de pl´atanos para sus macacos. Si compra tres cajas a la citada compa˜n´ıa bananera, ¿cu´al es la probabilidad de que obtenga al menos los 320 kg. de pl´atanos necesarios?
- Se tiene un lote de 500 piezas en el que se sabe que hay 40 defectuosas. Tomamos una muestra aleatoria de 100 piezas. Indica la distribuci´on de la variable X=“N´umero de defectuosas en la muestra” si:
a) La muestra se toma sin reemplazamiento. b) La muestra se toma con reemplazamiento.
- Alvaro de Marichalar est´´ a realizando una traves´ıa en moto acu´atica desde Roma hasta Miami, cubriendo una distancia de 6000 millas acu´aticas en un tiempo de 70 d´ıas. Suponer que la distancia, en millas, que recorre cada d´ıa sigue una distribuci´on uniforme en el intervalo [75,100].
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que un d´ıa cualquiera recorra exactamente 93 millas? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que un d´ıa cualquiera recorra entre 80 y 95 millas? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que no complete el recorrido en el tiempo previsto?
- Las tarjetas de circuito impreso usadas en equipos electr´onicos son tarjetas laminadas, general- mente de color verde, sobre las que se montan los componentes electr´onicos. Una m´aquina inserta autom´aticamente los componentes para ser soldados en los agujeros correspondientes. Suponer que el n´umero de inserciones sigue un proceso de Poisson de tasa 4 inserciones por minuto.
a) Calcular la probabilidad de que entre dos inserciones consecutivas pasen m´as de 15 segundos. b) Si en dos minutos se han hecho 3 inserciones, ¿qu´e probabilidad hay de que en los 5 minutos siguientes se lleven a cabo m´as de 8 inserciones?
5.9. Ejercicios 67
c) ¿Cu´al es la probabilidad de que la primera fase dure menos tiempo que la segunda?
- En los d´ıas ventosos, la velocidad del viento se puede considerar distribuida seg´un una variable aleatoria normal de media 15 m/sg y de desviaci´on t´ıpica 7m/sg. Un aerogenerador genera una potencia de 1 Kw siempre y cuando la velocidad del viento est´e entre 4 y 25 m/sg, no generando nada en caso contrario. La empresa WIND S.A. ha vendido 40 de estos aerogeneradores que se van a instalar en distintos parques e´olicos de la pen´ınsula.
a) Dar la distribuci´on de probabilidad de la variable Yi=“Potencia generada por la m´aquina i-´esima” b) Expresar la variable Y =“Potencia total generada por las 40 m´aquinas” en funci´on de las variables Yi, dando, adem´as, su distribuci´on exacta de probabilidades. c) Calcular la probabilidad de que la potencia total generada sea inferior a 30 Kw.
- Una vez terminada la jornada de trabajo en la mina, los siete enanitos se llevan a casa los diamantes que han encontrado para tallarlos. Cada uno de los siete enanitos tiene un trabajo determinado, de tal forma que los diamantes que tallan pasan por las manos de todos los enanitos. El tiempo que tarda cada uno en realizar su trabajo se distribuye seg´un una variable aleatoria normal de media 3 minutos y desviaci´on t´ıpica 30 segundos. Suponer que los enanitos trabajan independientemente unos de otros.
a) Dar la distribuci´on de la variable X=“ tiempo total en tallar un diamante”. ¿Qu´e porcentaje de diamantes tardan m´as de 18 minutos en ser tallados? b) Cuando el diamante est´a tallado, el Pr´ıncipe Azul se ocupa de engarzarlo en un collar que est´a haciendo para Blancanieves. El tiempo que tarda en engarzarlo es igual a la mitad del tiem- po invertido en su tallado. Dar la distribuci´on y los par´ametros de la variable Y =“Tiempo in- vertido en engarzar un diamante”. ¿Qu´e tiempo m´aximo de engarzando garantizar´a el Pr´ıncipe con el 25 % de riesgo?
- El porcentaje de tabletas defectuosas de cierto medicamento fabricado en unos laboratorios es del 1.2 %. Si las tabletas se envasan en tubos de 25 unidades (tabletas):
a) Calcular la probabilidad de que un tubo elegido al azar contenga 3 tabletas defectuosas. b) Si los tubos se colocan en cajas de 20 unidades (tubos), calcular la probabilidad de que una caja elegida al azar contenga 15 tubos, sin ninguna tableta defectuosa.
- El tiempo de espera (en minutos) de un usuario hasta que llega el autob´us se distribuye uni- formemente en el intervalo [0, 8], si el autob´us no lleva retraso. Pero si el autob´us lleva retraso, la distribuci´on es exponencial de media 10 minutos. Sabiendo que el autob´us se retrasa en uno de cada tres servicios: a) Calcular la probabilidad de que un usuario tenga que esperar al autob´us un tiempo inferior a 5 minutos. b) Si el autob´us viene sin retraso, calcular el tiempo medio de espera. c) Si el autob´us viene con retraso, calcular la probabilidad de esperar al menos dos minutos.
- Se sabe que la resistencia total de un circuito con varias componentes instaladas en serie es la suma de las resistencias individuales de cada componente. Se tiene un sistema con 7 componentes instaladas en serie. Para cada una de ellas, su resistencia sigue una distribuci´on normal de media 3 ohmios y desviaci´on t´ıpica 0.5 ohmios. Se supone independencia entre las componentes. a) Dar la distribuci´on de la variable R=“Resistencia total del sistema” y la probabilidad de que esta resistencia total sea superior a 18 ohmios.
68 Cap´ıtulo 5. Distribuciones notables discretas y continuas
b) Se conecta el circuito a una fuente de intensidad (I) constante de 3 amperios y se mide la tensi´on (V ) en los bornes del circuito (se sabe que V = I × R). Dar la distribuci´on de la variable V =“Tensi´on en los bornes”. ¿Qu´e probabilidad hay de que la tensi´on en los bornes sea inferior a 70 voltios?
- Todos conoc´eis ya el cuento de Caperucita Roja, as´ı que no voy a entrar en detalles. Caperucita sabe que el tiempo, en minutos, que le cuesta atravesar el bosque para llegar a casa de su abuelita es una variable aleatoria continua, con distribuci´on exponencial. Caperucita tambi´en sabe que el 80 % de los d´ıas le cuesta m´as de 20 minutos recorrer el camino.
a) Calcula el tiempo medio que le cuesta a Caperucita recorrer el camino. b) ¿Qu´e probabilidad hay de que un d´ıa cualquiera le cueste recorrer el camino menos que la media? c) ¿Qu´e porcentaje de d´ıas le cuesta recorrer el camino menos que la media? d ) Si en una semana ha ido a visitar a su abuelita todos los d´ıas, ¿qu´e probabilidad hay de que al menos 6 d´ıas le haya costado llegar m´as tiempo que la media? e) La probabilidad de que se encuentre al lobo en su camino es igual para cada d´ıa de la semana y vale 0.2. ¿Cu´al es el n´umero medio de d´ıas que pasan hasta que se encuentra con el lobo? (Sup´on que Caperucita es m´as r´apida que el lobo y ´este no se la come). f ) ¿Cu´al es la probabilidad de que pasen m´as de 6 d´ıas sin ver al lobo? g) Este martes Caperucita ha decidido llevarle un tarro de miel a su abuelita. La cantidad de miel en el tarro, en gramos, es una variable aleatoria con distribuci´on normal de media 50 gramos y la probabilidad de que le lleve menos de 48 gramos es igual a 0.1587. Calcula la desviaci´on t´ıpica de esta variable. h) Si la cantidad de miel que le apetece comer a la abuelita es otra variable aleatoria con dis- tribuci´on normal de media 52 gramos y desviaci´on t´ıpica igual a 4 gramos, independiente de la cantidad que Caperucita le lleva, ¿qu´e probabilidad hay de que ese martes la abuelita no pueda comer toda la miel que le apetece? i) Por el camino Caperucita va recogiendo orqu´ıdeas para su abuelita. El n´umero de orqu´ıdeas que se encuentra es una variable aleatoria con distribuci´on de Poisson, con una media de 2 orqu´ıdeas cada 100 metros. ¿Cu´al es la probabilidad de que en 400 metros encuentre menos de 4 orqu´ıdeas? j ) ¿Cu´al es la probabilidad de que en 2 kil´ometros se encuentre m´as de 30 orqu´ıdeas? k ) ¿Qu´e probabilidad hay de que Caperucita recorra m´as de 200 metros sin encontrar ninguna orqu´ıdea? l ) Si el agua, en litros, que la abuelita echa en un jarr´on (en el que luego pondr´a las orqu´ıdeas) es una variable aleatoria con distribuci´on uniforme en el intervalo (0.5, 1.5), ¿qu´e probabilidad hay de que la abuelita eche exactamente un litro? ¿Y de que eche menos de un litro?
- Todos los mi´ercoles por la tarde voy a clase de fitness en el gimnasio de la Universidad. Miguel, el profesor, nos controla el tiempo que pasamos en cada una de las m´aquinas del gimnasio. Este tiempo est´a distribuido seg´un una variable aleatoria exponencial de media 45 segundos. En el gimnasio hay 10 m´aquinas para ejercitar la parte superior del cuerpo y 15 para la parte inferior. De ellas selecciona algunas para hacer un circuito.
a) Si Miguel selecciona para el circuito 13 m´aquinas distintas, ¿qu´e distribuci´on tiene la variable “n´umero de m´aquinas de parte superior del cuerpo seleccionadas para el circuito”?
