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Tipo: Ejercicios
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Las personas aprenden, representan y utilizan el saber de muchos y de diferentes modos,
estas diferencias desafían al sistema educativo, que hoy en día lucha por contraponerse a las
ideas erróneas de que todo el mundo puede aprender los mismos conocimientos, las mismas
disciplinas y del mismo modo, y que basta con una medida uniforme y universal para poner a
prueba el aprendizaje de los alumnos.
Los procesos de aprendizaje de las matemáticas, requieren de estrategias que permitan
al alumno que las competencias que son adquiridas en la escuela, se sitúen en un ambiente
cotidiano para relacionar, interpretar, inferir y aplicar los saberes a la resolución de problemas.
El desarrollo de habilidades, destrezas y actitudes se relaciona directamente con las
condiciones que se deben dar para lograr que los aprendizajes en el estudiante sean significativos
y lo más funcional posible.
El proceso de evaluación de las competencias consiste en utilizar los medios que permitan
a los alumnos reconocer si los esquemas de actuación aprendidos le son de utilidad, a tal grado
que le sirvan para intervenir correctamente ante una situación problemática planteada en la
cotidianidad.
Al analizar los procesos de aprendizaje de las matemáticas, es posible percatarse que los
alumnos han experimentado una serie de estrategias por parte de los docentes para que las
competencias las transfieran en situaciones de la vida real. Esto exige relacionar, interpretar,
inferir, interpolar, inventar y aplicar los saberes a la resolución de problemas, mediante la
intervención en la realidad reflexionando y actuando sobre la acción y reaccionando con
responsabilidad ante situaciones imprevistas o contingentes. El aprendizaje por competencias
está directamente relacionado con las condiciones que deben darse para que los aprendizajes
sean los más significativos, situados y funcionales posibles.
La evaluación del aprendizaje de competencias responde a la evaluación de contenidos;
pero no toda la evaluación está referida a ello. Si consideramos que la evaluación es un aspecto
complejo donde convergen diferentes dimensiones, entonces, debemos considerar que están
implicados procesos de evaluación también complejos.
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El proceso de evaluación de las competencias consistirá en utilizar los medios que
permitan reconocer si los esquemas de actuación emprendidos por el estudiante pueden serle de
utilidad para superar situaciones reales en contextos concretos, lo más aproximados a la realidad;
para evaluarla, es necesario tener datos fiables sobre el grado de aprendizaje de cada estudiante
con relación a la competencia implicada, para ello se requiere el uso de instrumentos y medios
diversos en función de las características propias de cada competencia y los distintos contextos
donde ésta debe o puede llevarse a cabo.
Dado que las competencias están constituidas por uno o más contenidos de aprendizaje,
es necesario identificar los indicadores de logro para cada uno de ellos, pero integrados o que se
puedan integrar en la competencia correspondiente y el medio para conocer el grado de su
aprendizaje será la intervención del estudiante ante la situación problemática planteada. La
evaluación, bajo el enfoque de competencias, no solo implica evaluar el resultado del aprendizaje
del alumno, también el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo que conlleva a que también, en
paralelo, el facilitador va desarrollando, aprendiendo y evaluando bajo el enfoque de
competencias, su propia praxis educativa.
El curso tal y como aparece en el manual, pretende abarcar los aprendizajes esenciales que
le sean útiles al alumno. En virtud de las medidas sanitarias, derivadas de la actual pandemia del
SARS-CoV-2, las autoridades de la Secretaría de Educación Pública del país, han considerado,
la apertura de las clases, y siguiendo con la nueva normalidad, en el actual ciclo escolar, lo que
se denomina modalidad híbrida o semipresencial. Continuar con la actividad académica a
distancia en los diferentes niveles educativos, aprovechando los medios electrónicos actuales
para que docentes y alumnos puedan desarrollar su proceso académico de manera digital y a la
vez contar con la posibilidad de poder tener clases presenciales, con una porción de estudiantes,
en aquellos planteles que reúnan las condiciones necesarias de recibir personal y alumnado, bajo
las siguientes condiciones obligatorias: a) señalización de semáforo verde, b) esquema completo
de vacunación de los involucrados y c) permiso voluntario de asistencia al plantel por parte de los
padres de familia.
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Debido a la trascendencia académica del curso-taller sugerimos tomar en cuenta las
siguientes recomendaciones:
competencias necesarias, preparación pedagógica, dominio de los temas y estabilidad
emocional, que le permitan desempeñarse en este importante puesto social.
que el docente informe a los alumnos sobre el impacto que tiene cada habilidad en el
aprovechamiento escolar; de igual forma, es pertinente que si observa en el grupo dificultades en
alguna habilidad, la ejercite hasta que se domine, o en su defecto, brinde la oportunidad al
estudiante de desarrollarla en otro espacio (plataforma Khan Academy, por ejemplo), o la
estrategia que el considere pertinente.
contenidos, para que al final del curso sea entregada de manera informativa a los alumnos como
una evidencia que legitimó su calificación final del curso.
explicativos, proporcionar links de videos y textos explicativos de los temas, tutoriales, etc.; con
el propósito de que el estudiante tenga los recursos suficientes para la adquisición de las
competencias y aclaración de posibles dudas en los contenidos.
sociales (como WhatsApp), los aspectos y ponderaciones a considerar en la evaluación, así
como, su promedio parcial y final de manera oportuna, para que los alumnos tengan el tiempo de
prepararse y regularizarse, en caso de ser necesario.
de conectarse diariamente y tratar de localizarlos con medios que estén al alcance de sus
posibilidades y dándoles la oportunidad de trabajar o regularizarse en las condiciones que le
favorezcan. Como, entregar tareas en un punto de reunión física y siguiendo las consideraciones
de la sana distancia por la contingencia.
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Competencias para desarrollar en el curso.
aborda problemas y retos teniendo en
cuenta los objetivos que persigue.
es consciente de sus valores, fortalezas y
debilidades.
constructiva y reconoce la necesidad de solicitar
apoyo ante una situación que lo rebase.
mensajes pertinentes en distintos contextos,
mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiadas.
representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
quienes sean sus interlocutores, el contexto en que
se encuentra y los objetivos que persigue.
propone soluciones a problemas a partir de
métodos establecidos.
reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus
pasos contribuye al alcance de un objetivo.
información.
efectiva en equipos diversos.
los de otras personas de manera reflexiva.
los conocimientos y habilidades con los que cuenta
dentro de distintos grupos de trabajo.
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Estamos conscientes que, estos tiempos que les ha tocado vivir a los estudiantes de
nuestros planteles de todo el país son particularmente difíciles. Tener que enfrentarse a las
circunstancias de la nueva modalidad de educación a distancia, representa para la mayoría de
ellos, un verdadero problema en el afán de comprender los contenidos que marcan los programas
de estudio vigentes en todos los niveles. Contar con los medios de comunicación digitales
adecuados en casa, aunado a las dificultades económicas que muchos de nuestros alumnos
atraviesan, se ha convertido en un complicado reto para ellos y sus familias.
Conscientes de esta situación, las autoridades de la Dirección General de Educación
Tecnológica Industrial y de Servicios y la Academia Nacional de Matemáticas de este subsistema,
se han dado a la tarea de diseñar estrategias que favorezcan en todo lo posible la enseñanza de
los temas de matemáticas, que le serán útiles para la continuación de sus estudios en este nivel
bachillerato y los que el joven emprenda a continuación, en la búsqueda de su preparación y
formación profesional.
Si bien es cierto, las dificultades de comprensión y habilidades en matemáticas tiene sus
orígenes en un sin número de ambientes y condiciones en el individuo, éstas sí se reflejan en el
aprovechamiento de los alumnos en bachillerato y por consecuencia en niveles posteriores, por
lo que se hace necesario emprender acciones académicas dirigidas a subsanar en lo posible
algunas de esas inconsistencias.
Es por eso, que los manuales elaborados por dicha academia, están diseñados para
apoyar el esfuerzo en la práctica docente para colaborar con los alumnos, detonando en ellos la
capacidad de observación, globalización, jerarquización, regulación de su propia comprensión, y
por consecuencia, sus competencias matemáticas, ya que es importante la sistematización de
los procesos académicos y su motivante aplicación, cuya utilidad se verá reflejada, no sólo en el
contexto académico, sino en cualquier ámbito de su vida cotidiana.
Este material es el resultado de la experiencia de los maestros que lograron concentrar
los contenidos de los programas de las asignaturas de Álgebra, Geometría Analítica y Cálculo
Integral y trabajar en sólo los aprendizajes esenciales, con el propósito de ofrecer a los alumnos
las herramientas prioritarias para su formación académica en este nivel y sus estudios
posteriores, evitando así el exceso de trabajo escolar en su hogar.
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1.1.1 Tránsito del lenguaje común al lenguaje algebraico
La necesidad de ampliar los conocimientos aritméticos para resolver
problemas más complejos, que requerían el manejo de cantidades que,
aunque desconocidas, se manifestaban en la ocurrencia de fenómenos
naturales y sociales, atrajeron la curiosidad de las mentes brillantes de las
generaciones pasadas. Esta ampliación o generalización del conocimiento
aritmético dio lugar a una nueva rama de las matemáticas, el Álgebra. En la
actualidad, el Álgebra es y seguirá siendo una herramienta científica esencial
para el estudio de las relaciones cuantitativas en todas las ramas de la ciencia.
La principal característica del Álgebra es el uso de letras o literales para
representar cantidades desconocidas que se relacionan y rigen con las mismas reglas de la
Aritmética. Todo lo que aprendiste en la primaria y secundaria se sigue aplicando en Álgebra. Por
eso se dice que el Álgebra, es la generalización de la Aritmética.
La herramienta principal del Álgebra, y en general del lenguaje matemático, es la
expresión algebraica , la cual representa la relación que existe entre diferentes cantidades y/o
magnitudes utilizando los signos de operación, relación y agrupación. Al igual que el lenguaje
común, el lenguaje matemático está constituido por símbolos que representan ideas o conceptos.
Para comprender un lenguaje es necesario apropiarse del significado de los símbolos que
maneja. Para traducir de un lenguaje a otro, entonces, se requiere de establecer los símbolos de
cada lenguaje que tienen un mismo significado.
En nuestro caso, nos interesa, por un lado, poder representar una situación o problema
que esté enunciado en lenguaje común o cotidiano, en lenguaje algebraico, de manera que a
partir de allí podamos aplicar el poder de las matemáticas para resolverlo. Por otro lado, también
es necesario el proceso inverso, la interpretación de expresiones matemáticas para comprender
lo que representan en nuestro lenguaje cotidiano.
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𝟑
𝟐
Para realizar este procedimiento iniciaremos desde “afuera”, es decir, desde la operación
que describe o afecta a todos los elementos de la expresión (cuadrado), después continuaremos
con la descripción de lo que se encuentra dentro del paréntesis (resta) y por último describiremos
de izquierda a derecha los elementos que se restan.
Lenguaje
algebraico
Explicación Lenguaje común
3
2 El cuadrado afecta a todos los elementos El cuadrado
3
Dentro existe una resta de la diferencia
3
Describimos el elemento de la izquierda del doble de un número
3
Describimos el último elemento y el cubo de otro número distinto.
Al conjuntar el enunciado nos queda:
El cuadrado de la diferencia del doble de un número y el cubo de otro número
distinto.
Al hablar de lenguaje común existen varios sinónimos o formas más breves para hacer el
enunciado como:
El cuadrado de la resta del doble de un número y el cubo de otro número distinto.
(Usando un sinónimo)
El cuadrado de la diferencia del doble de un número y el cubo de otro.
(Simplificando el enunciado)
Cualquiera de las respuestas anteriores es correcta, aunque existen muchas otras, la última por
su brevedad es la más usual.
Cuando se adquiere cierta habilidad, ya no será necesario hacer tablas u otro tipo de ayudas, ya
que el proceso se vuelve algo mental y automático, para ello se debe ejercitar con la realización
de diversos ejercicios.
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Actividad 1. Traduce las siguientes expresiones algebraicas al lenguaje común.
Expresión
Algebraica
Lenguaje común
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
La traducción de un problema al lenguaje algebraico requiere un
razonamiento más profundo que los ejercicios anteriores, dado que, en la
mayoría de las ocasiones, las operaciones a realizar no están establecidas
explícitamente.
La clave de traducción de lenguaje común a algebraico de un
problema es establecer las expresiones algebraicas que se deducen de la
comprensión del enunciado y si existen relaciones de igualdad o de
comparación cuantitativa, formular las ecuaciones o desigualdades que al
resolverlas nos lleven a la solución de problemas.
Uno de los aspectos en que mayor dificultad tienen los alumnos al resolver exámenes de
ingreso para las escuelas y las pruebas estandarizadas de desempeño (ENLACE, PLANEA,
PISA, etc.) es la comprensión y/o traducción de problemas redactados en lenguaje común o
formal en algebraico. Es frecuente que los alumnos sepan resolver problemas que se plantean
en forma algebraica, pero no cuando se plantea un problema como un enunciado.
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Si el enunciado informara adicionalmente que María compró el doble de cebolla que de tomate
entonces no habría necesidad de usar dos literales pues 𝑦 = 2 𝑥 y entonces la respuesta para el
total de kilos comprados sería 𝑥 + 2 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 3 𝑥.
Siempre que intentemos resolver un problema algebraico debemos utilizar el menor número
posible de literales o incógnitas.
3. Juan descargó tres archivos de la red de internet, cada uno el doble de pesado que
el anterior. ¿Cuántos MB de datos de memoria ocupó en su USB?
En este enunciado se tienen aparentemente tres cantidades desconocidas.
Representemos estas por las literales que escojamos:
𝑥= MB del primer archivo, 𝑦 = MB del segundo archivo, 𝑧=MB del tercer archivo.
Entonces la expresión de la memoria ocupada es: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
Pero el enunciado proporciona información que compara la cantidad de memoria
de un archivo con la de los otros.
Sabemos que 𝑦 = 2 𝑥 y que 𝑧 = 2 𝑦 = 2 ( 2 𝑥) = 4 𝑥, por lo tanto, no requerimos de tres literales o
incógnitas, basta con una, en este caso 𝑥 = 𝑀𝐵 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑒𝑚𝑟 𝑎𝑟𝑐ℎ𝑖𝑣𝑜. Entonces la
expresión del total de memoria usado es:
4. En una caja en forma de prisma rectangular se acomodan latas que
miden lo mismo de diámetro que de alto. ¿Cuántas latas contiene la caja?
Siempre que tengan necesidad de establecer una expresión algebraica a partir
de un enunciado, piensen en qué tendrían que hacer para responder la pregunta si tuvieran toda
la información, es decir, si el problema fuera aritmético y a partir de allí sustituyan los datos
faltantes por las literales que representan las incógnitas.
Por ejemplo, en esta situación, debemos saber que el total de latas que caben en la caja se
obtiene multiplicando el número de latas que caben a lo largo por las que caben a lo ancho por
las que caben a lo alto. Entonces, solo definimos las incógnitas:
𝑙 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎 𝑙𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜, 𝑤 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎 𝑙𝑜 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜, ℎ = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎 𝑙𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑜.
Así, 𝒍𝒘𝒉 es la expresión del total de latas de la caja. En álgebra, cuando las literales que
DGETI Academia Nacional de Matemáticas
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representan cualquier cantidad están juntas, se considera que se están multiplicando, es decir,
no se requieren paréntesis o puntos para indicar la multiplicación. Con la información dada no es
posible utilizar menos literales en la expresión.
Actividad 1:
Ahora, practica lo aprendido y establece la expresión algebraica que represente las siguientes
situaciones.
¿Cuál es el total de años que acumulan los cuatro hijos de Rigoberto?
su hermano mide 5 metros más que el lado del terreno de Jesús. Mientras que el
ancho del terreno de su hermano mide lo mismo que el lado del terreno cuadrado.
¿Cuál es el área total de los dos terrenos?
5 latas más a lo largo que a lo ancho y a lo alto caben 3 latas más que a lo ancho.
¿Cuántas latas caben en total en la caja?
canasta hay el doble de kilos de calabaza que en la segunda y en la segunda canasta
hay 3 kilos más de zanahoria que los kilos de calabaza que hay en la primera. La
primera canasta tiene 4 kilos menos de zanahoria que la segunda. ¿Cuántos kilos
pesan ambas canastas en conjunto?
