Tema2, Apuntes de Matemáticas

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NOTAS DE

MATEM ´ATICAS PARA BIOLOG´IA

Facultad de Biolog´ıa

Universidad de Santiago de Compostela

Curso 2013-

Tema 2

DERIVACI ´ON DE FUNCIONES

REALES DE UNA VARIABLE

REAL

2.1. DERIVADA DE UNA FUNCI ´ON REAL DE VARIA-

BLE REAL. INTERPRETACI ´ON GEOM´ETRICA: REC-

TA TANGENTE

Sean f una funci´on definida en un intervalo abierto I = (a, b) y c un punto de I.

DEFINICIONES:

a) La funci´on f es derivable en c si existe y es un n´umero real el siguiente l´ımite:

l´ım x→c

f (x) − f (c) x − c

Tal l´ımite se denomina derivada de f en c y se denota por f ′(c).

b) La funci´on f es derivable en el intervalo (a, b) si es derivable en cada punto de dicho intervalo.

Observaciones:

1. Es posible utilizar otras notaciones, tanto para la derivada como para el l´ımite:

f ′(c) = f (1)(c) = l´ım x→c

f (x) − f (c) x − c

= l´ım h→ 0

f (c + h) − f (c) h

= l´ım ∆x→ 0

∆y ∆x

dy dx (^) x=c

dy dx (c).

2. A la derivada de una funcion f en un punto tambi´en se le denomina raz´on instant´anea de cambio de dicha funci´on en el punto dado y sirve para medir el cambio instant´aneo de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Asimismo, la raz´on media de cambio de la funci´on f en el intervalo [c, x] es el cociente

∆y ∆x

f (x) − f (c) x − c

3. Toda funci´on derivable en un punto es continua en dicho punto, por lo que, si una funci´on no es continua en un punto tampoco puede ser derivable en ´el. El rec´ıproco no es cierto. Pi´ensese por ejemplo en la funci´on f (x) = |x|, que es continua en el punto c = 0 pero no es derivable en dicho punto.

Figura 2.2: Gr´afica de y =

x.

REGLAS PARA EL C ´ALCULO DE DERIVADAS:

Sean f, g : I −→ R dos funciones derivables en un punto c del intervalo I y α una constante. Entonces, se prueban:

1. La suma f + g es derivable en c y adem´as:

(f + g)′(c) = f ′(c) + g′(c).

2. El producto f g es derivable en c y adem´as:

(f g)′(c) = f ′(c)g(c) + f (c)g′(c).

3. El producto por un escalar αf es derivable en c y adem´as:

(αf )′(c) = αf ′(c).

4. Si g(c) ̸= 0, el cociente

f g

es derivable en c y adem´as:

( f g

(c) =

f ′(c)g(c) − f (c)g′(c) (g(c))^2

REGLA DE LA CADENA: Sean I, J dos intervalos de R, f : I ⊂ R −→ R y g : J ⊂ R −→ R dos funciones tales que f (I) ⊂ J. Si f es derivable en c ∈ I y g es derivable en f (c) entonces la composici´on g ◦ f es derivable en c y adem´as:

(g ◦ f )′(c) = g′(f (c))f ′(c).

Ejemplo. Calcular la derivada de h(x) = (

x x + 1

)^2.

Soluci´on: Se toma f (x) =

x x + 1

y g(u) = u^2. Entonces h(x) = (g ◦ f )(x), por tanto,

h′(x) = g′(f (x))f ′(x) = 2

x x + 1

(x + 1)^2

2 x (x + 1)^3

En la siguiente tabla se indican las derivadas de las funciones elementales m´as frecuentes.

TABLA DE DERIVADAS

Funci´on Derivada Condiciones

α 0 x ∈ R, α ∈ R xα^ αxα−^1 x > 0 , α ∈ R

ex^ ex^ x ∈ R ax^ ax^ ln a x ∈ R, a > 0

ln x

1

x

x > 0

loga x

1

x ln a

x > 0 , a > 0 , a ̸= 1

sen x cos x x ∈ R cos x −sen x x ∈ R

tg x

1

cos^2 x

= 1 + tg

x x ̸=

π

2

• kπ, k ∈ Z

arcsen x

1 √ 1 − x^2

− 1 < x < 1

arc cos x

− 1 √ 1 − x^2

− 1 < x < 1

arctg x

1

1 + x^2

x ∈ R

Para calcular la derivada de la inversa de una funci´on, es ´util el siguiente resultado:

DERIVADA DE LA FUNCI ´ON INVERSA: Sea f una funci´on continua y biyectiva de un intervalo I en otro intervalo J, por lo que existe su funci´on inversa f −^1 : J → I. Si f es derivable en el punto c ∈ I y adem´as f ′(c) ̸= 0, entonces f −^1 es derivable en el punto b = f (c) ∈ J y, adem´as:

(f −^1 )′(b) =

f ′(f −^1 (b))

Observaciones: N´otese que las derivadas de las funciones ln(x), arc sen(x), arc cos(x), arc tg(x) se obtienen a partir de las derivadas de las funciones ex, sen (x), cos (x) y tg(x), respectivamente, utilizando la derivaci´on de la funci´on inversa.

Por ejemplo, para la funci´on f (x) = tg x con x ̸=

π 2

+kπ, k ∈ Z, sabiendo que f ′(x) =

cos^2 (x)

1+tg^2 x y f −^1 (x) = arc tg x, obtenemos la derivada de la funci´on arco tangente aplicando la f´ormula anterior:

(f −^1 )′(b) =

f ′(f −^1 (b))

f ′(arc tg b)

= cos^2 (arc tg b) =

1 + tg^2 (arc tg b)

1 + b^2

2.2. DERIVACI ´ON IMPL´ICITA

En ocasiones, la funci´on y = f (x) est´a definida impl´ıcitamente mediante una ecuaci´on, por ejemplo, x^2 + y^2 = 1. (2.1)

Existe una t´ecnica que permite calcular

dy dx

sin tener que despejar y. Los pasos que han de realizarse son:

x

y y=f(x) Función convexa

x

y

y=f(x)

Función cóncava

Figura 2.3: Funciones convexa y c´oncava, respectivamente.

Geom´etricamente, la gr´afica de una funci´on convexa se curva hacia arriba quedando la gr´afica de la funci´on sobre la recta tangente, y la de una funci´on c´oncava se curva hacia abajo quedando la gr´afica de la funci´on por debajo de la recta tangente, ver Figura 2.3.

Ejemplo. Las funciones f (x) = ex, x ∈ R, y g(x) = ln x, x ∈ (0, +∞), son, respectivamente, convexa en R y c´oncava en el intervalo (0, +∞). CRITERIO DE LA DERIVADA SEGUNDA PARA LA CONCAVIDAD o CON- VEXIDAD: Sea f una funci´on real dos veces derivable en en un intervalo abierto I = (a, b), entonces se prueban:

1. Si f ′′(x) ≥ 0, para cada x ∈ I, entonces f es convexa en I.

2. Si f ′′(x) ≤ 0, para cada x ∈ I, entonces f es c´oncava en I.

Ejemplo. La funci´on de Monod describe la velocidad de crecimiento per c´apita (velocidad de crecimiento dividida por el tama˜no de la poblaci´on) de un organismo y viene dada por

r(N ) = a

N

k + N

, N ≥ 0 ,

siendo N la concentraci´on del nutriente y a, k constantes positivas. La gr´afica de la funci´on de Mo- nod se presenta en la Figura 2.4. Como podemos observar en la gr´afica, la velocidad de crecimiento se incrementa con la concentraci´on del nutriente, aproxim´andose al nivel de saturaci´on a para valores grandes de N. La funci´on de Monod es estrictamente creciente y c´oncava en el intervalo

(0, +∞), n´otese que r′(N ) =

a k (k + N )^2

0 , ∀N > 0 y r′′(N ) =

− 2 ak (k + N )^3

< 0 , ∀N > 0.

Figura 2.4: Gr´afica de la funci´on de Monod.

2.4. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea f : I −→ R una funci´on derivable en cada punto x de un intervalo abierto I ⊂ R. Puede considerarse entonces la nueva funci´on:

f ′^ = f (1)^ : I −→ R x −→ f ′(x) = f (1)(x)

denominada funci´on derivada primera de f en I.

Si la funci´on derivada primera de una funci´on f es a su vez una funci´on derivable, el proceso podr´ıa continuar. Por ejemplo, podemos derivar sucesivamente la funci´on f (x) = ex^ tantas veces como se desee en cualquier intervalo (a, b); en cambio, la funci´on

f (x) =

x^2 , si x ≥ 0 −x^2 , si x < 0 ,

es derivable en R; su funci´on derivada primera dada por f ′(x) = 2 |x| est´a definida en R, sin embargo, f ′^ no es derivable en x = 0.

DEFINICI ´ON: Para n = 2, 3 , 4 ,... , sea f una funci´on (n − 1) veces derivable en el intervalo I. La funci´on f es n veces derivable en un punto c ∈ I si existe y es un n´umero real el siguiente l´ımite:

l´ım x→c

f (n−1)(x) − f (n−1)(c) x − c

Tal l´ımite se denomina derivada n-´esima de f en c y se denota por f (n)(c) o

dny dxn x=c

o

dny dxn^

(c).

Si f es n veces derivable en cada punto x ∈ I, puede considerarse la nueva funci´on:

f (n)^ : I −→ R x −→ f (n)(x)

denominada funci´on derivada n-´esima de f.

Por ejemplo, las funciones polin´omicas se pueden derivar tantas veces como se desee, siendo sus derivadas n-´esimas nulas si n es estrictamente mayor que el grado del polinomio. Las funciones que admiten derivadas de todos los ´ordenes se denominan funciones de clase ∞.