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TEMA II.1 CINEMÁTICA DE LA
PARTÍCULA
1.- Introducción a la Dinámica
La Dinámica es una parte de la Mecánica que trata del análisis de los cuerpos en movimiento.
Partes de la Dinámica
- Cinemática : estudia el movimiento (geometría, velocidad, aceleración,...) independientemente de las causas que lo producen. Si se prescinde del tamaño del cuerpo y, por tanto, de la rotación en torno al centro de masas, se habla de cinemática de la partícula. En caso contrario se trata de cinemática del sólido rígido.
- Cinética : estudia la relación entre las fuerzas, la masa y el movimiento. Análogamente al caso anterior, se estudia la cinética de la partícula o la cinética del sólido rígido , según se prescinda o no del tamaño del cuerpo.
Para describir todo movimiento es necesario fijar previamente un sistema de referencia que, a su vez, podrá estar en reposo o movimiento.
2.- Movimiento de partículas: vector de posición, velocidad y aceleración Sistema de referencia: O, x, y, z. Posición , r , en el instante t: OP Posición , r’, en el instante t’: OP’
Variación de la posición, ∆r, en el x intervalo ∆t = t’- t : PP’
y
P O
r’ ∆r r
P’
z
∆s
t
r v (^) m ∆
Velocidad media , v (^) m: es un vector cuya dirección y sentido son los de ∆r y su módulo es el cociente del módulo de ∆r y ∆t.
Velocidad instantánea , v: es el límite al que tiende la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
dt
dr t
r v lim = ∆
∆t 0
Por definición, v es tangente a la trayectoria en cada punto y su valor es la pendiente de la curva r(t) en cada punto.
Aceleración instantánea , a: límite al que tiende la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
dt
dv t
v a lim = ∆
∆t 0
Ecuación de dimensiones: [a] = L.^ T -
Por definición, a es tangente a la curva que describe el extremo Q del vector v cuando se representa este último siempre con el mismo origen O’ (hodógrafa del movimiento) y, en general, no es tangente a la trayectoria. Su dirección es la del cambio instantáneo de la velocidad y, como ésta, cambia en la dirección en la que la trayectoria se curva, apuntando hacia la concavidad de ésta.
x’
y’
Q
O’
v’ v
z’
hodógrafa
a
x
y
C O
a
z
a (^) n
a (^) t
3.- Componentes rectangulares de la velocidad y la aceleración
Sea un sistema de referencia cartesiano fijo (sus ejes no varían con el tiempo), la ecuación de la trayectoria, en función del tiempo, viene dada por
x
y
P O
r
z
x y
z r = x i + y j + z k
k dt
dz j dt
dy i dt
dx dt
dr Derivando v = = + + ⇒
x = x(t) y = y(t) z = z(t) El vector de posición es
⇒ (^) v = vx i + vy j + vz k ⇒ v^ v v v 2 z
2 y
2 = x + +
dt
d r dt
dv a (^2)
2 = = ⇒ =^ + + k = dt
dv j dt
dv i dt
dv a x y z
k a i a j a k^ ⇒ dt
d z j dt
d y i dt
d x 2 x y z
2 2
2 2
2 = + + = + +
a = a^2 x +a^2 y + a^2 z
Derivando otra vez,
Derivando
N T (^) u dt
d j dt
d i cos dt
d
du ⋅
Así pues, la derivada temporal de uT es normal a la trayectoria. Además, aplicando la regla de la cadena
ds
d v dt
ds ds
d dt
d Φ ⋅ = ⋅
dΦ: variación infinitesimal del ángulo Φ cuando la partícula pasa de A a A’, igual al ángulo formado por las tangentes en A y A’ y, por lo tanto, idéntico al formado por
u (^) T
v
u (^) N
N
r Φ
A
Φ
A’
dΦ
C
x
y π/2 +^ Φ
ds
i
j O
dΦ
las normales en A y A’, con intersección en el centro de curvatura C, siendo ρ = CA el radio de curvatura
ds = AA’ es el espacio infinitesimal recorrido por la partícula en el tiempo dt
Teniendo en cuenta la relación entre el arco y el ángulo que subtiende, ds = dΦ.^ ρ ⇒
ρ
ds
d ⇒ ρ
Φ v dt
d
Sustituyendo en (2)
N T v u dt
du ⋅ ρ
Sustituyendo en (1)
u a u a u a a v u dt
dv a (^) N T T N N T N
2 = ⋅ T + ρ ⋅ = ⋅ + ⋅ = +
a (^) T , aceleración tangencial, es un vector tangente a la trayectoria y proporcional a la variación temporal del módulo de la velocidad.
a (^) N, aceleración normal, es un vector perpendicular a la trayectoria y está asociado al cambio en la dirección de la velocidad.
T
(^2) N N
2 T (^) a
a ; a v a^ = a +a ;tgϕ= dt
dv a
2 T =^ N = ρ ⇒
Movimiento rectilíneo y uniforme: a (^) T = 0 ; a (^) N = 0 Movimiento curvilíneo y uniforme: a (^) T = 0 ; a (^) N = 0 Movimiento rectilíneo acelerado: a (^) T = 0 ; a (^) N = 0
C
a (^) N
a
a (^) T
N
T
ϕ
dt
d u dt
d d
du dt
du (^) r r θ = ⋅ θ ⋅ θ
= (^) θ
Sustituyendo en (3)
θ = + θ θ
θ = + u v u v u dt
d u r dt
dr v (^) r r r
0 v 0 dt
dr = ⇒ r =
Donde vr es la velocidad radial , debida al cambio en la distancia r de la partícula respecto a O y v θ es la componente transversal , es perpendicular a r y es debida al cambio en la dirección de r.
En el movimiento circular
Derivando el vector velocidad respecto al tiempo se obtienen las componentes radial y transversal de la aceleración
^ θ
(^) θ
= ⋅^ θ u dt
d r dt
d u 2 v dt
d
d r a (^2)
2 r r
2 2
2
Llamando se tiene 2
2
dt
d y dt
d θ α = θ ω=
+[^ ⋅ω+ ⋅α]^ θ
= - r⋅ω u 2 v r u dt
d r a (^22) r r
2
En el movimiento circular uniforme,
0 dt
d r 0 v 0 dt
dr r cte 2
2 = ⇒ = ⇒ r = ⇒ = ⇒
n t
2 ar = - ω r =a ; aθ =α⋅r =a
6.- Movimiento rectilíneo. Tipos
Si la trayectoria descrita por la partícula es una línea recta, ésta se hace coincidir con un eje de coordenadas. Se elige un origen O y las magnitudes r, v y a se pueden tratar como escalares.
O P^ P’
r ∆r O P^ P’
x ∆x
Si se conoce x = x (t)
2
2
dt
d x dt
dv y a dt
dx v = = =
Si se conoce a = a (t) = ⋅ ⇒ ∫ = ∫ ⋅ ⇒
t
0
v
v
dv a(t) dt dv a(t) dt 0
at 2
dx (v at)dt x x v t
dx vdt (v at)dt dt
dx v
2 0 0
t
0
0
x
x
0
0
∫ = ∫ + ⇒ = +^ +
Utilizando la regla de la cadena se puede expresar la velocidad como función de x
v v 2a(x-x )
v - v adx vdv a(x- x )
adx vdv dx
dv v dt
dx dx
dv dt
dv a
0
2 0
2
2 0
2 0
v
v
x
x (^00) = +
Un caso particular de movimiento uniformemente acelerado es el movimiento de los cuerpos en el seno del campo gravitatorio , la aceleración es la intensidad de la gravedad, g = 9,81 m/s^2 que se supone constante cuando los cuerpos se encuentran en las proximidades de la superficie terrestre.
7.- Composición de movimientos rectilíneos
En los casos en los que v 0 y a tienen direcciones diferentes, la velocidad v se encuentra en el plano
definido por v 0 y a, siempre que la aceleración permanezca constante en el tiempo ya que
dv =adt⇒ v = v 0 +a t
Además, r se encuentra en el plano definido por v (^0) y a, que pasa por el punto definido por r 0 ya que
at 2
r =r 0 + v 0 t +^2
De modo que la trayectoria de la partícula, si r y v están siempre en el mismo plano es plana y además es una parábola.
En el caso de los proyectiles a = g.
En componentes cartesianas y en el caso de un tiro oblicuo Eje Ox: movto. uniforme v (^) x = v0x = v 0 cos ϕ =cte (5) x = v 0 cos ϕ.^ t (6)
v 0 ϕ
y
O y^ max x x Eje Oy: movto. uniformemente decelerado v (^) y = v0y – gt = v 0 sen ϕ – gt (7) y = y 0 + v 0 sen ϕ.^ t – ½ gt 2 (8)
max
vectorial del siguiente modo
Tipos de movimiento circular
a) Circular uniforme Por definición v = cte ⇒ ω = cte ⇒ movimiento periódico. Período, T : tiempo invertido en dar una vuelta completa. Se mide en segundos (s) F recuencia , ν: número de vueltas por unidad de tiempo. Se mide en hertzios (z). 1 hz = rev/s T = 1/ν Ecuaciones :
R cte R
v 2 ; a 0 y a T
R
v
C d dt d dt t dt
d
2
2 T N
0
t
0 0
= πν = = =ω = π ω= =
= ⇒ θ=ω ⇒ ∫ θ= ∫ ω ⇒θ=θ +ω
θ ω =
θ
θ
r dt
dr v = =ω∧ (9)
b) Circular uniformemente acelerado
a ( r) ( r )
dt
dr r dt
d dt
d( r) dt
dv a
⇒ = α∧ + ω∧ ω ∧
∧ +ω∧ ⇒ ω = ω∧ = =
cte R
v a cte y a
t 2
t
d dt d ( t)dt dt
d
t
C d dt d dt dt
d
2 T N
2 0 0
t
0
0
0
t
0
0
0
θ=θ +ω + α
⇒ θ=ω ⇒ ∫ θ= ∫ ω +α ⇒
θ ω=
ω=ω +α
= ⇒ ω=α ⇒ ∫ ω= ∫ α ⇒
ω α =
θ
θ
ω
ω
9.- Movimientos relativos
a) Movimiento relativo de partículas i) Movimientos interdependientes , cuando la posición de una partícula depende de la posición de otra u otras. Por ejemplo, si el hilo que une las masas A, B y C es inextensible se cumple
2x (^) A + 2x (^) B + x (^) C = cte ⇒ 2vA + 2v (^) B + v (^) C = 0 ⇒ 2a (^) A + 2a (^) B + a (^) C = 0
A B
C
xA (^) xB
quedan
O A^ B
x (^) A x^ B/A
x (^) B
x (^) B = x (^) A + x (^) B/A v (^) B = v (^) A + v (^) B/A a (^) B = a (^) A + a (^) B/A b) Movimiento relativo de sistemas de referencia i) Traslación uniforme
y (^) y’ A
O r’
z
x x’ z’
r
i i’
j k
j’ k’
O’
El observador O ve al observador O’ moverse con velocidad v, constante, en la dirección del semieje positivo de abscisas. Ambos observan el movimiento de un objeto situado en A. Si en t = 0, O y O’ coinciden se satisface que: t= t’ ; OO’ = v t v = v i ; r = OO’ + r’ ⇒ r’ = r – vt (10) Esta ecuación vectorial, en componentes, se conoce como transformación de Galileo x’ = x – vt ; y’ = y ; z’ = z ; t’ = t Derivando la ecuación (10) respecto al tiempo y teniendo en cuenta que dt = dt’
ecuación que en componentes cartesianas queda
dr dt
dr'
z
' y z
' x y
' Vx =V - v; V = V ; V =V
Derivando nuevamente
dt
dV dt
dV' = a^ a ; a a ; a az
' y z
' x y
' x '^ = ' = ' =
Por lo tanto, ambos observadores miden la misma aceleración ⇒ la aceleración medida por todos los observadores con movimiento relativo de traslación uniforme es la misma , permanece invariante al pasar de un sistema a otro.
ii) Rotación uniforme
Sean dos observadores O y O’ que rotan uno respecto al otro sin movimiento de traslación relativo. Cada uno de ellos usa un sistema de refe- z A
x
j y
k i (^) x
y
z
y’
x’
i’^
k’ j’ O’
z’
ω
r = r’ z’^ x’
rencia fijo a sí mismo pero con origen común. Se supone que O usa el sistema x, y, z y O’ el sistema x’, y’, z’ que rota respecto al otro con velocidad angular ω.
