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FÍSICA GENERAL II:
APUNTES DE ELECTROMAGNETISMO
1. El campo electrostático
1.1 La carga eléctrica:
- Atributo de la materia (protones+electrones)
- Base del electromagnetismo
- Los griegos descubrieron (600 A.C.) que al frotar el ámbar ( elektron el griego) con la lana, éste podía atraer ciertos objetos. Propiedades:
- Dos tipos (+) y (-).
- Cargas del mismo signo se repelen y distinto signo se atraen.
- Está cuantizada ⇒ múltiplo de ±e (+e carga del protón, -e carga del electrón). Carga de un objeto Q=± N e (pero N es muy grande por lo que la cuantización a nivel macroscópico es imperceptible). (Los quarks tienen carga ±1/3e, ±2/3e pero no se observan de forma aislada)
- La carga eléctrica de un sistema aislado se conserva: ppio. de conservación de la carga.
Al frotar el vidrio con la seda ⇒ se transfieren electrones del vidrio a la seda:
vidrio defecto de electrones seda exceso de electrones
+ (^) −
La carga neta es la misma (no se destruye, sino que se transfiere de un cuerpo a otro: carga por frotamiento )
La serie triboeléctrica ordena los materiales en función de su facilidad para perder electrones cuando se frotan con otros. Por ejemplo, si se frota la seda con el vidrio ésta se carga negativamente, pero si se frota con ámbar se cargará positivamente.
- Unidad en el SI es el culombio (C), definido a través de I “ cantidad de carga que fluye por la sección transversal de un cable en un segundo, cuando por éste fluye una corriente de 1 A” 1 A=1 C/s Tabla I: Carga y masa de las partículas fundamentales Carga (C) Masa (Kg) Electrón -1.602×10 -19^ 9.109×10- Protón +1.602×10 -19^ 1.673×10- Neutrón 0 1.675×10-
Serie triboeléctrica Piel de conejo + Vidrio Cabello Tendencia a perder electrones
Nylon Lana Seda Papel Algodón Madera Ámbar Plástico …. -
1.3 El campo electrostático (constante, creado por
cargas en reposo):
El campo electrostático en un punto es la fuerza por unidad de carga que una carga experimenta en dicho punto.
La carga prueba q 0 ha de ser muy pequeña para que su presencia no modifique el campo que deseamos medir.
Realmente, se calcula como: 0 lim 0 0 0 (N/C o V/m) q q
F E → q =
Campo electrostático creado por cargas puntuales:
Distinguiremos:
- punto campo (punto en donde queremos calcular el campo, esto es, en donde colocaríamos la carga prueba q 0 ). Denotaremos su vector de posición mediante r^
- punto/s fuente (punto/s donde se encuentran las cargas que crean el campo). Denotaremos su vector de posición mediante variables primadas r^ ′
- Denotamos por R^ ^ = r ^ − r ′^ el vector de posición del punto campo referido a la carga fuente
Una carga puntual Colocamos una carga prueba q 0 en P y calculamos la fuerza por la Ley de Coulomb: 0 0 0 q | | 2 ˆ | | 3 F K q q^ R K q q R R R
Por definición, el campo en ese punto es la fuerza por la unidad de carga: (^02 ) 0
( ) ˆ | | | | E P F^ q^ K q^ R K q R q R R = = =
N cargas puntuales: principio de superposición
Ahora Ri = r − ri ′
es el vector de posición del punto campo referido a la carga i -ésima
3 (^ )
1 1
1 3 0 1 3
N N i i i^ i i i N (^) i N i i i^ i i i i
E P E P K q r r r r K q^ R q R
R πε R
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑
Campo electrostático creado por distribuciones continuas de carga:
- R^ ^ = r ^ − r ′^ vector de posición del punto campo relativo al elemento de carga
- Campo creado por ese elemento de carga infinitesimal (carga puntual)
( ) (^) | | 3 dE P K dq R R
El campo total se calcula sumando la contribución de todos los elementos de carga: ( ) (^) Q ( ) (^) Q | | (^3) Q | | 3 E P dE P K R^ dq K R R dq R = (^) ∫ = (^) ∫ = ∫
^
Distribución volumétrica de carga: Volumen V y densidad ρ Densidad volumétrica de carga ρ: 3 lim V 0 (C/m ) q dq ρ (^) ∆ → V d V dq ρ dV = ∆ = ⇒ = ∆ sustituyendo dq :
0 3
4 V | |
E P R d R
V
πε = (^) ∫∫∫ ρ
(Distribución uniforme de carga: ρ =Q/V) Distribución superficial de carga: Superficie S y densidad σ Densidad superficial de carga σ: 2 lim A 0 (C/m ) q dq A d q A σ = (^) ∆ → ∆ = ⇒ d = σ dA ∆ sustituyendo d q :
3 0
4 S | |
E P R d R
A
π
σ ε
= (^) ∫∫
(Distribución uniforme de carga: σ =Q/A) Distribución lineal de carga: Longitud L y densidad λ Densidad lineal de carga λ: lim 0 (C/m) q dq (^) dq d d λ= (^) ∆ → ∆ = ⇒ λ ∆ =
sustituyendo dq :
0 3
4 L | |
E P R d
πε R
= (^) ∫ λ
(Distribución uniforme de carga: λ =Q/L)
1.4. Potencial electrostático
1.4.1 Energía potencial eléctrica:
El trabajo realizado por una fuerza F
para trasladar una partícula desde el punto a al punto b está dado por
·
b a b a
W (^) → = (^) ∫ F dl
Si la fuerza (^) F
es conservativa, el trabajo realizado por dicha fuerza siempre puede expresarse en términos de una energía potencial U
· ( ) (trabajo realizado por una fuerza conservativa)
b a b a b b a a
W (^) → = (^) ∫ F dl = U − U = − U − U = −∆ U
En un campo conservativo se conserva la energía mecánica total:
mec a , mec b ,
a a b b E E
K + U = K + U ⇒ ∆ K = −∆ U
Esto es, bajo una fuerza conservativa, el incremento de energía cinética de una partícula es a
costa de disminución de su energía potencial.
- Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales:
Supongamos que tenemos una carga q estacionaria en el origen de coordenadas y vamos a calcular el trabajo que realizaría el campo creado por esa carga para desplazar una carga prueba q 0 desde el punto a hasta el punto b en dos casos:
a) A lo largo de una línea radial
0 0 20 0 0 0
· · · 1 1 1 4 4
b b a a
b b r^ r a b a b a a (^) F r r
W F dl q E dl q E dr qq^ dr qq → πε r πε r r = = = = = ^ −
^ (^)
Comparando con la expresión anterior, identificamos:
0 0 0 0
0 0
1 1 1 1 4 , a b (^) a b a b a (^4) a b (^4) b W qq U U U qq^ qq r r U → πε r πε r πε = ^ − = − ⇒
= =
como la energía potencial eléctrica de esas cargas puntuales cuando la carga prueba, q 0 , está en a y en b , respectivamente.
b) A lo largo de una línea arbitraria
Aunque los puntos a y b no están a lo largo de la misma línea radial, pero se obtiene el mismo resultado que antes.
0 20 20 0 0 0 0
· cos 1 cos^1 1 4 4 4
b b b a a a
b r^ r^ r a b a r r dr r a b
W F dl q E dl qq^ dl qq^ qq →^ θ πε r θ πε r πε r r = = = = = ^ −
Según la figura cos θ dl = dr .El trabajo realizado durante un desplazamiento pequeño dl
depende solo del cambio dr en la distancia r entre las cargas, el cual es la componente radial del desplazamiento. Por tanto el trabajo que efectúa sobre q 0 el campo electrostático
E
producido por q , solamente depende de r (^) a y r (^) b y no de los detalles de la trayectoria.
¡El campo creado por la carga estacionaria q es conservativo!
Por tanto, la energía potencial de dos cargas puntuales q y q 0 situadas a una distancia r , se
calcula como: 0 0
U qq
πε r
- Energía potencial eléctrica de N cargas puntuales:
Para calcular la energía potencial electrostática total de un sistema de N cargas puntuales habría que contabilizar la energía potencial implicada en la colocación de todas las cargas
(menos la primera que no requiere trabajo): 0
1 4
N (^) i j i j (^) ij
U q q πε (^) < r = (^) ∑
(esta suma se extiende a todos los pares de cargas; no se permite que i = j , y solo se incluyen
términos con i < j para garantizar que cada par de cargas se tome en cuenta una única vez)
¡Esto se corresponde con la energía necesaria que habría que aportar al sistema para
colocar las N cargas!
¿Cómo es el potencial si la carga no está en el origen?
Cálculo del potencial: cargas puntuales Una carga puntual Ahora el punto campo P es el punto donde quiero calcular el potencial:
0 0
4 | i | 4 | |
V P q^ q
πε r r πε R
0 2
comparar con ( ) 1 ˆ 4 | | E P q R πε R
(^) =
(^)
N cargas puntuales: principio de superposición
1 0 0 1
N (^) i N i i (^) i i i
V P q^ q
= πε r^ r^ πε = R
∑ (^) − ′ ∑
Para distribuciones continuas de carga es igual:
0
( ) 1 1 (distrib. volumétrica)
4 V | |
V P dV
R
= (^) ∫∫∫
0
( ) 1 1 (distrib. superficial)
4 S | |
V P dA
R
= (^) ∫∫
0
( ) 1 1 (distrib. lineal) (^4) L | | V P d R
= (^) ∫ ^
- Interpretación del potencial:
Hemos definido −∆ V = Va − Vbcomo el trabajo realizado por el campo eléctrico W a^1 → Cb para
desplazar la unidad de carga desde a hasta b: W a^1 → Cb = Va − Vb = −∆ V
Pto de vista alternativo : para desplazar la misma carga lentamente desde a hasta b se necesita aplicar
una fuerza externa Fext = − F E = − qE = − E.
En dicho caso, el trabajo externo realizado será:
,
ext a b a b
C b^ b C ext b a a a
W (^) → = (^) ∫ F dl = − (^) ∫ E dl = − W (^) → = V − V = ∆ V
^
Por lo que el potencial entre dos puntos también es igual al trabajo externo que debe realizarse para llevar la carga unitaria de a a b en contra del campo E
Si escogemos V r ( → ∞ =) 0, V(P) es el trabajo externo que hay que realizar para trasladar la unidad de carga desde el infinito al punto P, o lo que es lo mismo, para colocar dicha carga en ese punto.
- Definición del Electronvoltio (eV)
1 Electronvoltio=1 eV es una unidad de energía: equivale al trabajo necesario para desplazar un electrón a través de una diferencia de potencial de 1V.
Dicho trabajo se puede calcular a través de la variación de energía potencial, esto es, multiplicando la carga por la diferencia de potencial:
W = ∆ U = q 0 (^) ∆ V = e ·(1 V) = (1.602· 10 −^19 C) (1 V) = 1.602· 10 −^19 J =1 eV
- Relación entre V y el campo
E
He obtenido:
· ·
b a ∫ E dl^ = −∆ V^^ ⇒^ E dl^ = − dV
^
En coordenadas rectangulares podemos poner:
ˆ (^ )
x y z x y z
E E i E j E k
dV E dx E dy E dz
dl dxi dyj dzk
⇒^ = −^ +^ +
de donde:
, ,
ˆ ˆ ˆ
x y z
E V^ E V^ E V
x y z
E V^ i V^ j Vk V x y z
= − ∂^ = − ∂^ = −∂
= − ^ ∂^ + ∂^ + ∂ =
Conclusiones:
- El campo electrostático es el gradiente negativo de V ( E = −∇ V ),
por lo que las líneas de (^) E
apuntan en la dirección en la que disminuye con más rapidez Si colocamos una carga q 0 en el seno de un campo electrostático, ésta se desplazará de forma que disminuya su energía potencial asociada: si la carga es positiva se desplazará en la dirección de (^) E
(dirección en la que el potencial
Producto escalar E dl ·
1.5. La Ley de Gauss
1.5.1 Flujo eléctrico a través de una superficie
- Interpretación Vamos a considerar la superficie de un cubo para estimar como es el flujo total a través de una superficie cerrada para varias situaciones de carga.
a) Sin carga No hay líneas de campo ⇒ φ E = 0
b) Una carga +q en el centro Hay líneas de campo hacia afuera ( ) 0 ( ) 0
E E
saliente entrante
φ φ
<
c) Una carga -q en el centro Mismo flujo en b) pero de sentido contrario
d) Una carga +q desplazada del centro mismo flujo neto que en b)
e) Una carga +2q en el centro el doble de flujo que en b) y d)
f) Una carga +q fuera del cubo flujo neto cero, como en a)
g) Una carga +q y otra – q dentro del cubo: flujo neto cero, como en a) y f)
Varias situaciones:
- Cálculo del flujo eléctrico a través de una superficie S
E =^ ·^ =^ ·^ ˆ cos S S S
φ ∫ E dA (^) ∫ E n dA =∫ EdA φ
n ˆ vector normal a la superficie S Convenio para su sentido:
- Superficie es cerrada: n ˆ siempre se escoge hacia afuera (calculo el flujo saliendo)
- Superficie abierta: n ˆ se puede escoger en dos sentidos, calculando el flujo en dicho sentido
1.5.2 Ley de Gauss
“El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga total (neta) dentro de la superficie dividida entre ε 0 ”
0
E ·^ enc Ley de Gauss
S
Q
φ E dA
ε = (^) ∫ =
Si tenemos una distribución continua de carga , la carga encerrada se calcula como:
.
.
.
(dist. volumétrica)
(dist. superficial)
(dist. lineal)
enc enc Supf en
enc Vo
c enc Linea enc
l enc
dq dV Q d
Q dq dq dA Q dA
dq d Q d
ρ V
σ σ
λ λ
ρ
=^ →
= (^) ∫∫∫
∫ ∫∫ (^) ∫
Nos sirve para calcular el campo en problemas de alta simetría
0 porque
E = E int = 0
E dA
(^) R → 0 ⇒ E cte
0 porque E ⊥ dA
1.6. Conductores y dieléctricos. Condensadores
Conductores: materiales que permiten el paso de la corriente eléctrica al tener cargas libres (electrones, huecos, etc.)
Aislantes o dieléctricos: materiales que no conducen la corriente eléctrica. Bajo un campo eléctrico lo suficientemente grande ( campo de ruptura del dieléctrico → rigidez dieléctrica ) estos materiales se ionizan convirtiéndose en conductores.
P. ej. aire seco: Emax≈3 MV/m
1.6.1 Conductor cargado en equilibrio electrostático
Suponemos un conductor cargado con una carga neta Q.
Propiedades de un conductor en equilibrio electrostático:
a) Campo interior nulo (en caso contrario, las cargas libres del interior serían aceleradas)
b) Si Q≠0, la carga neta se distribuye sobre la superficie (dem. por Gauss)
c) Si Q≠0, existe un campo solamente en puntos de la superficie, pero solo tiene componente normal (la componente tangencial movería las cargas)
Cálculo del campo en los puntos de la superficie
- En situación de equilibrio el campo en el exterior solo puede tener componente normal y en el interior será cero.
- Escojo como superficie gaussiana SG : cilindro de radio R y altura h , donde R →0 y h → 0
int
G tapa ext tapa tapa lat
E S S S S
φ = ∫ E dA = ∫ E dA + ∫ E dA + ∫ E dA
Puesto que la carga encerrada en dicha superficie es σ A , siendo A el área de cualquiera de las tapas del cilindro, tenemos:
0 0 0
tapa ext tapa ext tapa ext
E enc S S S
φ E dA EdA E dA EA Q^^ σ A E σ
Por lo que el campo en la superficie del conductor es: 0
E^ σ n ˆ ε
d) La superficie del conductor es una superficie equipotencial****.
Varias situaciones:
Apantallamiento: Jaula de Faraday
- Ejemplos de condensadores a) Condensador de placas paralelas (condensador plano) Formado por 2 placas conductoras paralelas de área A y separadas una distancia s (muy pequeña en comparación con A ) Modelo idealizado (despreciamos efectos de borde) Para calcular el campo en el modelo idealizado se aplica Gauss para obtener el campo de cada una de las placas, las cuales consideramos como planos infinitos con densidades de carga +σ
y -σ. Si tenemos una densidad superficial de carga σ =^ Q A :
0
0
1
2
ˆ (placa izquierda: campo de un plano infinito con carga + )
ˆ (placa derecha: campo de un plano infinito con carga ) 2
n -
n
E
E^ σ σ
( n^ ˆ con sentido hacia la derecha, signo superior drcha. placa, signo inferior izqda. placa)
El campo total se obtiene por superposición:
1 2 0
ˆ (interior del condensador) 0 (exterior del condensador)
n E E E
σ ε
= + =
Si la diferencia de potencial entre las placas es V , como E es constante: 2 2 2 1 1 1 0 0
V E · d E d E d Es s Q s A
σ ε ε
= (^) ∫ = (^) ∫ = (^) ∫ = = =
La capacidad está dada por: 0
Q^0 A
C Q^ Q^ A
V (^) ε s s
Campo real
