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Apuntes de Ingeniería Estructuras 3 Elementos finitos unidimensionales. Elemento viga Elemento viga de 2 nudos 9.3.1. Matriz de rigidez elemental 9.3.2. Vectores de fuerzas nodales equivalentes
Tipo: Apuntes
1 / 12
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Viga plana, recta y simétrica respecto al plano de carga (
), la sección y propiedades constantes
Viga esbelta
h/L < 1/
Teoría de Euler-Bernouilli: las secciones transversales de la viga permanecen planas y ortogonalesal eje longitudinal de la deformada tras cargar
^
dx
dM
V
y
EI
M
Luego
z
dx
x
w
d z
dudx
E
z
M I
dx
x
dw z x z b b u
y
2
2
x
y
x
/
:
)
(
)
(
)
(
' ' '
=
χ
χ − = − = = σ = ε
=
σ
− = θ − = =
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
−
= ⎫⎪⎬ ⎪⎭
)
(
)
(
)
( u
x
(^0) w
dx
x
dw z
u v w
z
y,
x,
2
2
2 dx
x
w
d
zE
x
x
− = ε = σ 9
Campos de movimientos, deformaciones y tensiones
{
}
T 2 2 1 1 T 2 2 1 1 e
dwdx
,
w ,
dwdx
, w , w , θ , w
⎫⎬ ⎭
⎧⎨⎩
⎞⎟ ⎠
⎛⎜ ⎝
⎞⎟ ⎠
⎛⎜ ⎝
=
θ
=
a
[
] 4
3
2
1
2 4 2 3 1 2 1 1 e
N , N , N , N
con
θ N w N θ N w N x w
=
=
=^ N
Na
)
(
4 , 3 , 2 , 1 i d c b a N
3 i 2 i i i
i^
= ξ + ξ + ξ + = ξ
↔
⎧ ⎪⎪⎨ ⎪ ⎪⎩
ξ
=
ξ −
=
ξ
2 1
x
N
2 1
N
2 G
1 G
)
(
)
(
Geometría real
Geometría natural
Elemento viga de dos nudos: funciones de interpolación geométrica
1 e 2 2 G 1 1 G 2
1 i
i
Gi
∑
=
ξ
ξ
ξ
ξ
2 2
2 e
2 2
e
d
w
d
dx
w
d
dwd
(^2) L
d dx
dwd
dwdx
Transformación geométrica
4 , 3 , 2 , 1 i d c b a N
3 i 2 i i i
i^
= ξ + ξ + ξ + = ξ
1
dN
1
/d
ξ
2
dN
2
/d
ξ
3
dN
3
/d
ξ
4
dN
4
/d
ξ
ξ
ξ
(
) 3
1
ξ + ξ − = ξ
(
) 3
2
2
ξ + ξ − ξ − = ξ
(
) 3
3
ξ − ξ + = ξ
(
) 3
2
4
ξ + ξ + ξ − − = ξ
⎤ ⎥ ⎦
4 e 3 2 e 1
2 e 4 2 3 1 e 2 1 1 e
N
L^2 ,
N ,
N
L^2 ,
N
con
θ
L^2
N
w
N
θ
L^2
N
w
N
w
N
Na
)
(
∫
∫−
e L
1 1
e
T
y
T
y
e
ξ
ξ
ξ
ξ −
ξ −
∫−
2
2
2
2
3
1 1
e e 2 e e 2 e e
2 e
e
2 e
y
d
2 L
ξ 6
ξ 3 ,
)
ξ 6 L
ξ 3
e
K
ξ
∫
∫
−
p
pL
p
pL
d
p
dx p
2 e e 2 e e e
1 1
4
e
3
2
e
1
L
T
e
e
) ( ) ( N f
Fuerzas nodales equivalentes para una carga distribuida
[
] 2 2 2 1 1 1 e
w
u
w
u
θ
θ
a
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
−
−
−
−
−
− −
−
=
EI L 4
L EI 6
0
EI L 2
EI L 6
0
EI L 6
L
EI
12
0
L EI 6
L
EI
12
0
0
0
EAL
0
0
EAL
EI L 2
L EI 6
0
EI L 4
EI L 6
0
L EI 6
L
EI
12
0
L EI 6
L
EI
12
0
0
0
EAL
0
0
EAL
2
2
2
3
2
3
2
2
2 3 2 3 e K e
e G
e
e G
e
e G
T
T
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
α
α
−
α
α
α
α
−
α
α
=
1 0 0 0 0 0 0
sen
0
0
0
0
sen
0
0
0
0 0 0 1 0 0 0
0
0
0
sen
0
0
0
0
sen
cos
cos
cos
cos
T
u
j^
= u
k
v
j^
= v
k
Aplicación de ecuaciones de restricción en una estructura plana
M = K
θ
rel
E = 2e
7 T/m
2
Iy = 19610 cm
4
.
Viga biapoyada sometida a carga distribuida y un momento externo
m 8 3
x
en
cm
205 0
y
x
12 1
x 4 3
x 6
x 6
(^1) EI
y
4
3
2
.
.
max
=
→
⎞⎟ ⎠
⎛⎜ ⎝
−
−
=
Resultados con distintas discretizacionesr
Elementos
u
ymax
(cm)
2
-0.
5
-0.
10
-0.
Ley de flector
Conexiones
Solución exacta
Flectores con un único elemento: -12 mT y 4 mt
Pilares plantas 1 a 3: # 300.500.12Pilares plantas 4 a 6: # 200.400.12Pilares plantas 7 a 10: # 200.300.10Vigas: IPE 400Acero A-42b E = 2.1·
6 Kg/cm
2
ν
= 0. γ
= 7.85 T/m
3 .
Geometría del pórtico y secciones utilizadas
390 Kg/m
2
400 Kg/m
2
100 Kg/m
2
2 entre 0 y 30 m de altura y 125 Kg/m
2 entre 31 y 100 m.
f
≤
h/500 = 8 cm
Deformada (izda.) y leyes de flectores (dcha) en el caso de carga de viento
