PROBABILIDAD
Hoja 3: Variables aleatorias unidimensionales
1. Sea una urna con 3 bolas blancas, 2 negras y 1 verde. Se extraen 3 bolas al azar y se
considera Xde…nida como el "número de bolas blancas extraídas". Construir la función
de probabilidad inducida por Xy su función de distribución.
2. Sean = N,A=P() yP(f!g) = 2!,8!2. Se de…ne X(!)como el "resto
de !(módulo k)". Demostrar que Xes una variable aleatoria y determinar los valores
P(X=r), para r2 f0;1; :::; k 1g.
3. Sea f:R! [0;1)una función Riemann-integrable tal que R1
1 f(u)du = 1. Demostrar
que F(x) = Rx
1 f(u)du de…ne una función de distribución absolutamente continua.
4. La duración Tde las conferencias telefónicas en una central es una variable aleatoria con
función de densidad
f(t) = ekt;si t > 0;
0;si t0:(k > 0)
(4.a) Calcular para que fsea función de densidad.
(4.b) Si 1=k = 2 minutos, calcular la probabilidad de que una conversación dure más de
3 minutos.
(4.c) Probabilidad de que una conversación dure entre 3 y 6 minutos.
5. Sea Fla función de…nida por
F(x) = 8
<
:
0;si x < 1=3;
x21;si 1=3x < ;
1;si x:
(5.a) Determinar los valores de para que Fsea función de distribución.
(5.b) Determinar para que Fsea discreta. Análogo para el caso absolutamente con-
tinuo.
(5.c) Calcular P(lim inf An)yP(lim sup An)cuando An=1
3+1
3n+1 ; .
6. Sea
F(x) = 8
>
>
<
>
>
:
0;si x < 1;
(x+ 1)=10;si 1x < 3=2;
1=3+(x3=2)=3;si 3=2x < 5=2;
1;si 5=2x:
(6.a) Comprobar que Fes función de distribución. Determinar las funciones de distribu-
ción F1discreta y F2absolutamente continua tales que F(x) = F1(x)+ (1)F2(x),
8x2IR.
