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T10. Elementos placa
Teoría de placas: ecuaciones de equilibrio y relaciones momento-curvatura10.1.1. Placas delgadas: teoría de Kirchhoff10.1.2. Placas gruesas: teoría de Reissner-Mindlin10.1.3. Consideraciones generales
10.2. Aplicación del PTV y formulación de los elementos
10.2.1. Placas delgadas10.2.2. Placas gruesas
10.3. Elementos finitos para placas delgadas
10.3.1. Elemento rectangular MZC10.3.2. Otros elementos rectangulares10.3.3. Elementos triangulares: elemento DKT
10.4. Elementos finitos para placas gruesas
10.4.1. Matriz de deformación y rigidez10.4.2. Cuadraturas de integración y bloqueo de la solución
10.5. Cálculo de esfuerzos y tensiones10.5. Efecto del esviaje10.6. Ejemplos de aplicación
Estructura laminar: una de las dimensiones (espesor t) es mucho menor que las otras dos, lo quepermite trabajar únicamente con su superficie media
La distinción entre placas y láminas es artificial, el comportamiento puro como placa solo existe enteoría lineal y casos especiales de geometría
T10. Elementos placa: introducción
Placa delgada:
t/L <
Placa gruesa:
t/L >
Placas
trabajan sólo a flexión y cortante
Láminas
se añade el trabajo de membrana al de placa
Las placas son una generalización de los elementos viga a 2D, con un acoplamiento de la flexión enlas dos direcciones ortogonales del plano
Teorías de placas:
Placas delgadas
Teoría de Kirchhoff (Euler-Bernuilli en barras)
Placas gruesas
Teoría de Reissner-Mindlin (Timoshenko en barras)
En las placas delgadas se desprecia la deformación por cortante transversal, mientras que las placasgruesas la incluyen
Relación entre esfuerzos y tensiones
T10. Elementos placa: Teoría de placas
Los esfuerzos son por unidad de longitud
Los valores máximos de las tensiones son
−
−
−
−
−
τ
=
τ
=
τ = σ = σ =
2 t
2 t
yz
y
2 t
2 t
xz
x
2 t
2 t
xy
xy
2 t
2 t
y
y
2 t
2 t
x
x
dz
V
dz
V
dz
z
M
dz
z
M
dz
z
M
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
⎞⎟ ⎟⎠
⎛ ⎜⎜⎝
−
=
τ
⎞⎟⎟⎠
⎛ ⎜⎜⎝
−
=
τ
(^22)
y
yz
(^22)
x
xz
z 4 t
1 t V 3 2
z 4 t
1 t V 3 2
V 5 t 1
V 5 t 1
M t 6
M t 6
M t 6
y
yz
x
xz
2 xy
xy
2
y
y
2
x
x
.
.^
= τ = τ = τ = σ = σ
q
V y
V x
F
y
x
z^
∑
y
xy
y
x^
V x M y M 0 M = ∂ ∂ + ∂ ∂ ⇒ = ∑
x
xy
x
y^
V y M x M 0 M = ∂ ∂ + ∂ ∂ ⇒ = ∑
q
M y
y M x
M x
y
xy
x^
2 2
2
2 2
(^
)
4
4
4
4
2
2
4
3
2
q
x
x
y
y
D
E t
D
Ecuaciones de equilibrio en el elemento diferencial
D = rigidez a flexión de la placa
Placas delgadas:
Teoría de Kirchhoff
T10. Elementos placa: Teoría de placas delgadas
Se desprecia la deformación por cortante
(^
(^
)^
y
y
x
x
w z
dy
y x
dw z
z
v
yz
En
w z
dx
y x
dw z
z
b b
u
, ,
− = − = θ − = − = − = θ − = =
(^
(^
(^
{
T}y
x
x y
w w w y x w
y x
w z
y x w z z y x w
z y x v
z y x u
,
,
, ,
u
u
- Campo de deformaciones y tensiones
= γ = γ ≈ ε
γ
ε
ε
w z 2
v
u
w z
v
w z
u
yz
xz
z
xy
x
y
xy
yy
y
y
xx
x
x
,
,
,
,
,
,
,^
{
}
{
T} xy
yy
xx
T xy
y
x^
w
w
w
z
{
T} xy
y
x^
Las tensiones tangenciales
xz
y
yz
se calculan a posteriori a partir de las ecuaciones de equilibrio
entre flectores y cortantes.La tensión
z^
es nula, respecto a
z^
su valor se puede calcular a posteriori como:
)
( E
y
x
z^
σ + σ ν − = ε
^
Placas gruesas:
Teoría de Reissner-Mindlin
T10. Elementos placa: Teoría de placas gruesas
Se considera de forma simplificada la deformación por cortante • Campo de movimientos• Campo de deformaciones y tensiones
⎞⎟ ⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
φ
∂ ω ∂ − = θ − =
⎞⎟ ⎠
⎛^ ⎜ ⎝
φ
∂ ω ∂ − = θ − =
y
y
x
x
y
z
z
v
x
z
z
u
(^
)
(^
)
(^
)
{
}
,^
,^
( ,
)^
( ,
)
,^
,^
( ,
)^
/ /
( ,
)
,^
,
x y^
x^
x^
y
y
u x y z
z
x y
w x y
v x y z
z
x y
w
x
w
w
y
w x y
w x y z
θ θ
φ
θ
θ
φ
⎧
⎫
⎧
⎫
⎧
⎫
−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
=
=
−
→
∂
∂
=
⎨
⎬
⎨
⎬
⎨
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
∂
∂
⎩
⎭
⎩
⎭
⎩
⎭
u
u
Los giros y la flecha de cada punto del plano medio pasan a ser variables independientes
y
y
y
y
z
yz
x
x
x
z
x
xz
x y y x x y
xy
z
y y
y
y
x x
x
x
w
w
v
w
u
w
z
v
u
z
v
z
u
,
,
,
,
,
,
, , , , , ,
,
,^
{
} T yz
xz
xy
y
x^
γ γ γ ε ε = ε
{
} T yz
xz
xy
y
x^
T10. Elementos placa: Teoría de placas gruesas
Relación momento-curvatura
(^
)
{
}
{
}
− θ − θ θ + θ θ θ − =
T y y x x x y y x y y x x
3 T y
x
xy
y
x
) w ( ) w ( ) (
t
t 12
t
V
V
M
M
M
con
, , , , , ,
C
K
C
XK
XRM
XRM
D
D
D
D
M D
D
M
χ
χ
χ
0
Relación tensión-deformación^ En el caso de material homogéneo e isótropo, a partir de las expresiones de elasticidad 3D y aplicandoque
z^
G
y
con
c
c
K
RM
RM
D
D
0 D D ) ( D
0
Con
D
K
la matriz constitutiva de Kirchhoff asociada a la flexión, y
D
C
la de cortadura.
Coeficientes de distorsión transversal:En el caso de placas de espesor constante e isótropas se toma:
2
1
E
D
c
α
1
=
α
2
= 5/
Placas gruesas:
Teoría de Reissner-Mindlin
Se considera un elemento placa en equilibrio bajo la acción de la carga distribuida q, las cargas
nodales de equilibrio P
zi
y los momentos nodales de equilibrio M
xi
y M
yi
T10. Elementos placa: PTV y formulación de los elementos finitos
Elementos de clase C
1
^
^
^
) M M ( P w
dA
wq
dV
yi
yi
i
xi
xi
i
zi i
A
V
T
e
e
δθ
δθ
∑
∑
∫
∫
σ ε
dA
M w 2 M w M w
dA
W
Luego
dA
dA
dz z
dV
z
dV
W
e
e
e
e
e
e
A
xy
xy
y
yy
x
xx
A
Τ
F
A
Τ
2 t
2 t
A
Τ
V
Τ
V
T
F
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫∫
∫
∫
δ = δ = δ = δ =
−
,
,
,
/ /
χ
Μ χ σ χ σ χ σ
ε^ int
int
Para asegurar la continuidad nodal de flechas y giros se toman como variables nodales
la flecha y los dos giros en cada nudo
{
}
{
}
{
} yi
xi
zi
yi
xi
i
1
M
M
P
w
i
i
n^
r
a
a
a
a
K
T10. Elementos placa: PTV y formulación de los elementos finitos
-^
Placas delgadasEn un elemento de n nudos habrá 3n términos en el polinomio de aproximación de la flecha
K + α + α + α + α + α =
xy
x
y
x
w
5 2 4 3 2 1
Calculándose los 3n coeficientes mediante la flecha y los giros en cada nudo
n
i
w y
w x
w
w
i
yi
i
xi
i
i^
(^
θ
θ
Ba
Na
y
w
Los vectores y matrices elementales se definen como:
r q r a ) (
N f N a a N
B D B K a B D B a
e e
XK
e
XK
=
⇒
δ
δθ
δθ
δ
= ⇒ δ = δ = δ
= ⇒ δ = δ = δ
∑
∑
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
T
yi
yi
i
xi
xi
i
zi i
A
T
A
T
T
A
A
A
T
A
T
T
A
V
T
M
M
P w
dA q
dA q
dA q
dA
wq
dA
dA
dA
dV
e
e
e
e
e
e
e
e
χΜ
σ ε
Ensamblando las contribuciones elementales se obtiene la ecuación de equilibrio global
∑
∫∫
∑∫∫
e^
A
T
e^
A
T
e
e
dA
q
y
dA
con
N f B D B K f a K
XK
T10. Elementos placa: Elementos finitos placa delgada
Elemento rectangular MCZ
b
y
y
a
x
x
o o
−
η
ξ
3
12
3 11
3 10
2
9
2 8
3 7 2 6 5 2 4 3 2 1
xy
y
x
y
xy
y
x
x
y
xy
x
y
x
w
Na
w
Na
,
,
(^41) i
i y i i x i i
i^
w N w N w N w
[^
]^
[^
]^
b
N
a
N
N
siendo
w
N
N
N
i
i
2
i
i
i
2
i
2 2 i i i i i
T yi
xi
i
i
i
i
, , a ; a a a ; , , N ; N , N , N , N N
i 4 1 e i 4 3 2 1
K
La flecha es continua entre elementos con una variación cúbica en los lados del elemento, pero losgiros en las caras del elemento son incompatiblesSolución explícita de Melosh para las funciones de forma:
T10. Elementos placa: Elementos finitos placa delgada
Elemento rectangular MCZFunciones de forma
8 / )
2 )(
1 )(
(^1) (
N
2
2
1
η − ξ − η − ξ − η − ξ − =
0
N
rad 1
N
N
Luego
a
N
8 1 1 1 a N
1 1
1
x 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1
2
1
=
= ξ⋅
=
=
η − − ξ − ξ =
− − η
− − ξ − − − − ξ
) , ( ,
, ) , ( , ) , ( , ) , (
, )
(
) ( ) ( : ) ( / )
)(
)(
(
rad 1
N
N
Luego
a
N
0
N
8 1 1 1 b N
y 1 1 1 1 1 y
1 1 1
1
1 1
1
2
1
= η⋅
=
= =
ξ − − η − η =
− − η − − − − η
− − ξ
, ) , ( , ) , ( , ) , ( ,
) , ( ,
) ( ) ( : ) (
)
(
/ )
)(
)(
(
Matriz de deformación
[^
]
4
3
2
1
(^41) i
i i^
B,
B,
B,
B
B
;
a B
Ba
=
=
=
∑=
χ
∑=
⎫ ⎪⎪⎬ ⎪ ⎪⎭
⎧ ⎪⎪⎨ ⎪ ⎪⎩
−
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
− − −
(^41) i
i y
xy i
i x
xy i
i
xy i
i y
yy i
i x
yy i
i
yy i
i y
xx i
i x
xx i
i
xx i
xy xx yy
w N 2 w N 2 w N 2
w N w N w N w N w N w N w
w w 2
) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, , , , , ,
, ,
χ
xy i
xy i
xy i
yy i
yy i
yy i
xx i
xx i
xx i
i
N 2 N 2 N 2
N
N
N
N
N
N
,
,
,
,
,
,
,
,
,
T10. Elementos placa: Elementos finitos placa delgada
Otros
elementos rectangulares
- Hay una gran variedad de elementos a los que se añaden nuevas variables nodales como w
,xy
, pero
ninguno de ellos garantiza la convergencia
- Los elementos rectangulares conformes se obtienen por unión de triángulos conformes
Elementos triangulares• Los elementos triangulares de tres nudos no son compatibles, volviendo a producirse el problema
de falta de continuidad en los giros normales entre elementos
- Para conseguir un elemento triangular conforme es necesario introducir nudos adicionales en el
centro de las aristas, y con una única variable asociada, el giro normal
- Elemento DKT (Discrete Kirchhoff Triangle): se obtiene a partir del elemento de tres nudos y la
imposición de ecuaciones de restricción en puntos de su contorno. El comportamiento del elementoes bueno, incluso con distorsiones altas de su geometría
" #
$
%
T10. Elementos placa: Elementos finitos placa gruesa
Permiten analizar placas delgadas y gruesas, sin embargo, al utilizarse en placas delgadas sonmenos precisos que los elementos de Kirchhoff
- Elementos más habituales• Matrices de deformación y rigidez
^
Bilineal (12 GDL)
Cuadrático Lagrangiano (27 GDL)
Serendipito (24 GDL)
[^
] n
1
n^1 i
i i^
B
B
B
a B
Ba
∑
χ
i
n^1 i
i
n^1 i
yi i
i yi
xi i
i xi
yi x i
ix yi
yi yi
xi xi
y
y
x
x
x y
y x
y y
x x
N
w
N
N
w
N
N
N
N N
w w
a B
)
(
, ,
,
,
, ,
, ,
,
,
, ,
∑
∑
=
=
= ⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩
θ
−
θ
−
θ
θ
−
θ
−
θ
−
= ⎫ ⎪ ⎪⎪⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
⎧ ⎪ ⎪⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩
θ −
θ θ −
θ
θ θ
−
χ
⎫ ⎪ ⎪⎪⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
⎧ ⎪ ⎪⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩
−
−
−
−
−
−
=
i
yi
i
xi
xi
yi
y i
xi
i
N
0
N
0
N
N
N
N
0
N
0
0
0
N
0
, ,
,
,
,
,
Β
dA
e A
T
∫∫
B
D
B
K
XRM
e^
dA = det(
J
e)d
d
T10. Elementos placa: Elementos finitos placa gruesa^9
Cuadraturas de integración y comparación de resultados
Elementos placa gruesa, integración y mecanismos
Tipo de integración
Tipo de elemento
K
f^
K
c^
Mecanismos
Bilineal (B)12 GDL
R S C
1 x 12 x 22 x 2
1 x 11 x 12 x 2
4 2 0
Lagrangiano (L)27 GDL
R S C
2 x 23 x 33 x 3
2 x 22 x 23 x 3
4 1 0
Serendipito (S)24 GDL
R S C
2 x 23 x 33 x 3
2 x 22 x 23 x 3
1 0 0
Heterosis (H)26 GDL
S
3 x 3
2 x 2
0
(R = Reducida, S = Selectiva, C = Completa) 0.9 0.8 0. 1 1.2 1.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
L/t
w c/w t
B-CL-CS-CB-SL-R,S y HS-R,S
Comportamiento de los elementos placa gruesa (wc/wt = flecha calculada/teórica)
T10. Elementos placa: Cálculo de esfuerzos y tensiones^9
Conocidos los desplazamientos, las relaciones momento curvatura permiten calcular los esfuerzos,y a partir de estos las tensiones mediante las relaciones tensión esfuerzo.
Los errores máximos tensionales se producen en el cálculo de las tensiones tangencialestransversales
En elementos lineales el error mínimo se produce siempre en el centro del elemento. Es habitualasumir ese valor central como constante en todo el elemento
El error debido a la distorsión por esviaje es importante tanto en elementos triangulares comocuadrangulares
N
90º
80º
40º
(^4814)
-10 -15 -
(^0) -
1/N
% error
P4-80ºP4-40ºP3-80ºP3-40º
