Matem`atiques 2. Curs 2012-2013/T
Grau en Enginyeria
Treball T2b: SOLUCIO
Justifica clarament els resultats presentats i posa la f`ormula del
que utilitzes
1. a) Calcula el pl`a tangent a la superf´ıcie z=x2+ 3y2en el punt
x= 1, y= 2.
El pl`a tangent est`a definit per z=f(a, b)+∇f(a, b)(x−a, y −b)0:
z= 13 + (2,12) x−1
y−2= 13 + 2(x−1) + 12(y−2) .
b) Sigui el camp vectorial G(x, y, z) = (2x+y , xyz) i el camp
escalar h(x, y) = x2+y2. Calcula la matriu diferencial D(h◦
G)(1,1,1).
D(h◦G)(2,1,1) = Dh(G(1,1,1))·DG(1,1,1) = ∇h(3,1)·DG(1,1,1)
D(h◦G)(2,1,1) = (2·3,2·1)·2 1 0
yz xz xy |(1,1,1) = (6,2)·210
111
D(h◦G)(2,1,1) = (16,8,2)
c) Considera la funci´o escalar definida per
f(x, y) = x2+y2−1
2x.
Calcula la derivada direccional de f(x, y) en (3,2) en direcci´o del
vector (−1,2).
D(−1,2)f(3,2) = ∇f(3,2) ·(−1,2)
√5
2. Un excursionista es troba en mig d’una tempesta en plena muntan-
ya. Sap que la temperatura en cada punt de l’espai segueix la fun-
ci´o T(x, y, z) = 30 −x2−y2−z2+e−x2−y2graus Celsius. El seu GPS
li diu que es troba en la posici´o (1,2,1
2)km. En quina direcci´o ha de
caminar per tal d’aumentar la temperatura ambient? Si es camina
en aquesta direcci´o a una velocitat de 5km/h, amb quina velocitat
disminuir`a la temperatura ambient?
